欧姆定律(微观解释)gydF4y2Ba

显微镜下,gydF4y2Ba欧姆定律gydF4y2Ba是关于在导电材料上施加电场如何产生电流的陈述:gydF4y2Ba

$\vec{J} = \sigma \vec{E}。gydF4y2Ba$

在上式中，gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$一个常数叫做gydF4y2Ba导电率gydF4y2Ba一种材料，gydF4y2Ba $vec {E} \gydF4y2Ba$外加电场，和gydF4y2Ba $vec {J} \gydF4y2Ba$是一点上的电流密度。因此，材料的电导率衡量的是材料中电子对应用场的响应程度。gydF4y2Ba

电流通过盒式加热器，由于低导电性/高电阻导致红热发光。gydF4y2Ba^[1]gydF4y2Ba

通过考虑导电材料中电子的动力学，可以了解不同材料的不同电学性质。例如，电子动力学的变化导致了超导体、导体、半导体和绝缘体之间的区别，所有这些都有大量的技术用途。gydF4y2Ba

欧姆定律通过公式将导体中的电流密度与外加电场联系起来gydF4y2Ba $J = \sigma EgydF4y2Ba$鉴于以上。的导电率gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$是由公式给出的gydF4y2Ba

$\sigma = n_e e^2 \frac{\tau}{m_e}gydF4y2Ba$

与gydF4y2Ba $n_egydF4y2Ba$传导电子的体积密度，gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$电子电荷，gydF4y2Ba $m_egydF4y2Ba$电子质量，和gydF4y2Ba $\τgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba平均空闲时间gydF4y2Ba在电子中，表示一个传导电子在与导体相互作用之前平均移动了多长时间。一个也经常在数量方面起作用gydF4y2Ba $\rho = \frac{1}{\sigma}gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba电阻率gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

利用这个公式，电子的电流密度可以用电子的平均速度来表示，通常称为gydF4y2Ba漂移速度gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

$\vec{J} = -en_e \bar{\vec{v}}。gydF4y2Ba$

对于电子在杆中的运动，微观欧姆定律可以与宏观欧姆定律联系起来gydF4y2Ba $V =红外gydF4y2Ba$．注意电流密度是单位面积上的电流gydF4y2Ba $J = \frac{I}{A}gydF4y2Ba$．同样，电场是单位长度的电压:gydF4y2Ba $E = \frac{V}{L}gydF4y2Ba$．把两者结合起来，你会发现gydF4y2Ba

$V = \左(\frac{L}{A\sigma}\右)gydF4y2Ba$

在横截面积的导电杆中gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和长度gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$与电导率gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$时，电阻定义为gydF4y2Ba

$R = \frac{L}{A\sigma} = \frac{\rho L}{A}。gydF4y2Ba$

在复杂材料中，电导率随导体长度的变化而变化，电阻可以通过将上述一切视为无穷小的量并进行积分来得到。gydF4y2Ba

横截面积奇怪的金属棒gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$从gydF4y2Ba $x = 1gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $x = LgydF4y2Ba$与电阻率gydF4y2Ba $\rho(x) = \frac{1}{x}gydF4y2Ba$．计算这根棒的电阻。gydF4y2Ba

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小块棒材的电阻为gydF4y2Ba

$dR = \frac{\rho(x) dx}{A}。gydF4y2Ba$

积分，你会发现gydF4y2Ba

$R = \int_1^L \frac{1}{xA} dx = \frac{\log(L)}{A}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

电阻率的纯锗线gydF4y2Ba $\rho = 1.2 \乘10^{-3}\:\Omega\cdot \text{m}gydF4y2Ba$和长度gydF4y2Ba $10 \text{cm}gydF4y2Ba$连接到a的任意一端gydF4y2Ba $9 \text{V}gydF4y2Ba$电池。假设导线的总质量是gydF4y2Ba $20 \text{g}gydF4y2Ba$每个锗原子只有一个电子能传导。求导线中电子的漂移速度。gydF4y2Ba

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如上所示，电流密度的大小为gydF4y2Ba

$J = en_e v，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$是漂移速度。有两件事需要计算:密度gydF4y2Ba $n_egydF4y2Ba$导电电子和电流密度的关系gydF4y2Ba $JgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

电流密度由gydF4y2Ba

$J = \sigma E = \frac{V}{\rho L}，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$是导线的总长度，这是已知的。gydF4y2Ba

导电电子的数量可以从锗原子的总数中计算出来，因为每个原子只提供一个导电电子。锗原子的数量可以从总质量计算出来:因为锗很重gydF4y2Ba $72.3 \text{g}gydF4y2Ba$每摩尔，有gydF4y2Ba

$20 \text{g} \ * \frac{1 \text{mol}}{72.3 \text{g}} \ * \frac{6.022\ * 10^{23} \text{电子}}{1 \text{mol}} = 1.67 \ * 10^{23} \text{电子}。gydF4y2Ba$

的因素gydF4y2Ba $n_egydF4y2Ba$给出了导电电子的密度，所以我们需要总的体积。在gydF4y2Ba $20 \text{g}gydF4y2Ba$锗的体积是gydF4y2Ba $\大(gydF4y2Ba$从密度来看gydF4y2Ba $5.5 \text{g}/\text{cm}^3gydF4y2Ba$锗的gydF4y2Ba $\大)gydF4y2Ba$

$V = \压裂{20 \文本{g}} {5.5 {g} / \ \文本文字}{厘米^ 3}= 3.64 \文本}{厘米^ 3,gydF4y2Ba$

所以电子密度是gydF4y2Ba

$n_e = \压裂{\ 1.67 * 10 ^{23}}{3.64 \文本{厘米}^ 3}= 4.59 \ * 10 ^{22}\文本}{厘米^{3}。gydF4y2Ba$

因此，漂移速度为gydF4y2Ba

$\{对齐}开始v & = \压裂{J} {en_e} \ \ & = \压裂{v}{\ρL e n_e} \ \ & = \压裂{9 \文本{v}}{(1.2 \ * 10 ^{3} \: \ω\ cdot \文本{m})(10 \文本}{厘米)(1.6 \ * 10 ^{-19}\文本{C})(4.59 \ * 10 ^{22} \文本{厘米}^ {3 } )} \\&= 1.02 \ * 10 ^{5} \文本{m} /{年代}\文本。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这个速度非常慢!电信号的大部分速度来自于带电的“空穴”在材料中的传播，而不是实际的物理电荷。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

以上，电导率由公式定义gydF4y2Ba

$\sigma = n_e e^2 \frac{\tau}{m_e}，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $\τgydF4y2Ba$是一个未知的时间尺度。我们可以通过考虑这个公式是如何推导出来的来确定这个时间尺度:在一段时间内施加电场所产生的动量变化有两种不同的计算方法。一个电作用力加速一个传导电子的总时间就是它在金属中散射掉一个原子并失去能量的时间。因此gydF4y2Ba $\τgydF4y2Ba$是导体中电子的平均自由时间。这意味着gydF4y2Ba $\τgydF4y2Ba$是传导电子与导体中的原子相互作用并损失能量所需的平均时间。在高导电性材料中，传导电子在与导体相互作用前可能会被长时间加速，与上述公式一致。gydF4y2Ba

平均空闲时间可能与gydF4y2Ba平均自由程gydF4y2Ba $\λgydF4y2Ba$使用公式gydF4y2Ba

$\lambda = v \tau，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$是电子的漂移速度。也就是说，平均自由程是电子在平均自由时间内倾向于移动的总距离。gydF4y2Ba

在某些金属中，传导电子的密度是gydF4y2Ba $N_e = 10^{30} \text{m}^{-3}gydF4y2Ba$，电子的漂移速度为gydF4y2Ba $10^{-6} \text{m}/\text{s}gydF4y2Ba$，金属电阻率为gydF4y2Ba $\rho = 10^{-3} \Omega \cdot \text{m}gydF4y2Ba$．计算传导电子的平均自由程。gydF4y2Ba

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从电导率的公式中，gydF4y2Ba

$\压裂{1}{\ρ}= n_e e ^ 2 \压裂{\τ}{m_e} = n_e e ^ 2 \压裂{\λ}{m_e v},gydF4y2Ba$

哪个重排到gydF4y2Ba

$\lambda = \frac{m_e v}{n_e \rho e^2}。gydF4y2Ba$

代入所有的量，就得到了结果gydF4y2Ba

$\lambda = 3.548 \乘10^{-26}\text{m} .\ _\square . txtgydF4y2Ba$

利用电流密度的大小与漂移速度有关的事实gydF4y2Ba

$J = \sigma E = en_ev，gydF4y2Ba$

漂移速度与电导率之间的关系与应用场有关gydF4y2Ba

$\frac{v}{E} = \frac{\sigma}{en_e}。gydF4y2Ba$

左边的量叫做gydF4y2Ba电子漂移迁移率gydF4y2BaAnd常被写成gydF4y2Ba

$\mu = \frac{v}{E}。gydF4y2Ba$

假设金属中测量到的电子漂移迁移率为gydF4y2Ba $\mu = 12 \text{cm}^2 \text{V}^{-1} \text{s}^{-1}gydF4y2Ba$金属中传导电子的密度是gydF4y2Ba $2\乘10^{28}\text{m}^{-3}gydF4y2Ba$．这种金属的导电性是多少?gydF4y2Ba

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通过重新排列电子漂移迁移率公式，可以直接计算电导率:gydF4y2Ba

$\σ= en_e \μ= \大(1.6 \ * 10 ^ {-19}{C} \ \文本大)、大(2 \ * 10 ^{28}\文本{m} ^{3} \大)\大文本(12 \{厘米}{V} ^ ^ 2 \文本文本{年代}{1}\ ^{1}\大)= 3.86 \ * 10 ^ 6 \{年代}^ 3 \文本{一}{公斤}^ ^ 2 \文本文本{m}{1} \ ^{3}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

在导电材料中，电子松散地束缚在它们的组成元素上，少量的能量(通过外加电场)就足以调动它们，产生电流。电流以安培为单位，其中一安培等于一库仑每秒的电荷。gydF4y2Ba

如果有一个体积密度gydF4y2Ba $n_igydF4y2Ba$关于指控的指控gydF4y2Ba $q_igydF4y2Ba$和速度gydF4y2Ba $vec {v} \ _igydF4y2Ba$，则材料中的电流密度为gydF4y2Ba

$\vec{J} = \sum_i n_i q_i \vec{v}_i;gydF4y2Ba$

这个公式来自量纲分析。由于某种电荷，单位面积上的总电流就是单位面积上的电荷密度gydF4y2Ba $n_i q_igydF4y2Ba$乘以电荷的速度gydF4y2Ba $vec {v} \ _igydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

由于在一种材料中通常有许多电荷，通常用gydF4y2Ba平均gydF4y2Ba电荷速度。一种特殊类型的电荷(如电荷的电子)的平均速度gydF4y2Ba $- egydF4y2Ba$)以电子密度的形式给出gydF4y2Ba $n_egydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba

$vec {v}}{\ \酒吧= \压裂{1}{n_e} \ sum_i n_i vec {v} \ _i。gydF4y2Ba$

由电子产生的电流密度可以写成gydF4y2Ba

$\vec{J} = -en_e \bar{\vec{v}}。gydF4y2Ba$

为了将电流密度与外加电场联系起来，考虑电子的平均速度与外加电场的关系是有用的。电子动量的变化等于场对它的脉冲:gydF4y2Ba $p = F\taugydF4y2Ba$．一方面，电子的动量由gydF4y2Ba $\ p= m_e \bar{\vec{v}}gydF4y2Ba$．另一方面，电子受到的力是gydF4y2Ba $vec {E - E \}gydF4y2Ba$．因此我们可以这样写gydF4y2Ba

$m_e vec {v}}{\ \酒吧vec {E} \τ= - E \ \意味着vec {J} = \ \离开(N_e E ^ 2 \压裂{\τ}{m_e} \) \ vec {E}。gydF4y2Ba$

定义gydF4y2Ba $\sigma = n_e e^2 \frac{\tau}{m_e}gydF4y2Ba$因此，欧姆定律是由导体中电子的微观运动推导出来的。gydF4y2Ba

欧姆定律并不代表自然的基本定律。它描述了所产生的电流之间的关系gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$与施加的电动势成正比gydF4y2Ba $\ mathbb {E} = IRgydF4y2Ba$．Emf是gydF4y2Ba $\mathbb{E}=\oint E\cdot dsgydF4y2Ba$．在欧姆定律中，电阻率gydF4y2Ba $ρ= \ \压裂{AR} {1}gydF4y2Ba$只是材料的性质，而不是它的尺寸。或者，我们考虑电导率gydF4y2Ba $\σ= \压裂{1}{\ρ},gydF4y2Ba$欧姆定律被定义为gydF4y2Ba $J =σ\ EgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $JgydF4y2Ba$是电流密度。gydF4y2Ba

为了得到欧姆定律的正确推导，我们需要量子力学和微观理解。我们写作的地方gydF4y2Ba $E = - \微分算符\φgydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $\ mathfrak {E} = VgydF4y2Ba$，即导线两端之间的电位差。gydF4y2Ba

1. Maxellator。gydF4y2Bacc - 3.0许可gydF4y2Ba．从检索gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cartridge-heater-hot.jpggydF4y2Ba