数论据/h1>
有关……据/h4>
- 数论据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="chevron">>据/S.P.一种N>据D.一世v class="chapter">
模块化的算术运算据/一种>据/D.一世v>
数论据/S.trong>是对性质的研究吗据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/integers/" class="wiki_link" title="整数GyD.F4y2Ba" target="_blank">整数据/一种>.由于整数在数学中的基本性质,以及数学在科学中的基本性质,著名的数学家和物理学家据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/gauss-the-prince-of-mathematics/" class="wiki_link" title="高斯GyD.F4y2Ba" target="_blank">高斯据/一种>写道:据/P.>据P.>据S.trong>数学是科学的女王,数论是数学的女王。据/S.trong>
有大量关于整数的简单表述的问题,这些问题只涉及基本的加法和乘法据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/ring-theory/" class="wiki_link" title="环GyD.F4y2Ba" target="_blank">环据/一种>对整数的运算),但仍未解决或极难解决。例如:据/P.>据B.罗CK.问:uote>
哪些整数可以写成四个平方和?据/P.>据/li>
如果据S.P.一种NClass="katex"> N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是正整数,可以是正的吗据S.P.一种NClass="katex"> N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">th据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>幂总是被写成两个正数的和据S.P.一种NClass="katex"> N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">th据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>权力?据/P.>据/li>
是否有一个矩形盒,其侧长度,面对角线长度和身体对角线长度都是整数?据/P.>据/li>
第一个问题很久以前已经解决了据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/" class="wiki_link" title="拉格朗日GyD.F4y2Ba" target="_blank">拉格朗日据/一种>:据em>每一个据/em>可以以这种方式编写非负整数。据/P.>据P.>第二个问题是由于据S.P.一种NClass="katex"> 1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">7.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">th据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>费马在1637年提出了一个著名的证明,证明了答案是否定的。尽管答案是否定的,但直到1995年,安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)在几十位当代顶尖数学家的工作基础上,完成了一个困难而复杂的证明,这才得以严格确立。其结果被普遍称为据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-last-theorem/" class="wiki_link" title="费马特的最后定理GyD.F4y2Ba" target="_blank">费马特的最后定理据/一种>.据/P.>据P.>第三个问题是许多数论问题中的一个,其答案目前还不清楚。有可能产生无限多个盒子(有时称为据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/leonhard-euler/" class="wiki_link" title="欧拉GyD.F4y2Ba" target="_blank">欧拉据/一种>砖块),所有的边和面对角线都是整数,但没有人能够构建这样一个具有整数体对角线长度的盒子,或证明不存在这样的盒子。据/P.>据/D.一世v>
内容据/h4>
可分性据/h2>
关于整数的第一个非活动事实涉及可分配性的概念:如果据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>两个是整数吗据S.P.一种NClass="katex"> B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">∣据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(读作“据S.P.一种NClass="katex"> B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>划分据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>)当且仅当存在整数时据S.P.一种NClass="katex"> C据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这样据S.P.一种NClass="katex"> B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">C据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>
整数有a据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/division-algorithm/" class="wiki_link" title="划分算法GyD.F4y2Ba" target="_blank">划分算法据/一种>,其中两个整数可以被余数整除:对于任意据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">Z.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>=据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>有一个唯一的整数据S.P.一种NClass="katex"> 问:据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>一个唯一整数据S.P.一种NClass="katex"> R.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> 0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">据据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∣据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">∣据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>令人满意的据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">问:据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">R.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这里据S.P.一种NClass="katex"> 问:据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是商品和据S.P.一种NClass="katex"> R.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>其余部分。据/P.>据P.>在分割算法中,如果据S.P.一种NClass="katex"> D.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">∣据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> D.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">∣据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>然后据S.P.一种NClass="katex"> D.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">∣据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">R.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>所以迭代划分算法给出了计算的方法据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/greatest-common-divisor/" class="wiki_link" title="最大公约数GyD.F4y2Ba" target="_blank">最大公约数据/一种>的据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>被称为据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/euclidean-algorithm/" class="wiki_link" title="欧几里得算法GyD.F4y2Ba" target="_blank">欧几里得算法据/一种>.最大公约数也满足据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/bezouts-identity/" class="wiki_link" title="Bezout的身份GyD.F4y2Ba" target="_blank">Bezout的身份据/一种>- 表格的整数据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是的最大公约数的倍数吗据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>特别是据S.P.一种NClass="katex"> G据/S.P.一种N>光盘据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>它本身可以写成据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>对于一些整数据S.P.一种NClass="katex"> X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>实际上,可能的值据S.P.一种NClass="katex"> X据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> y据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>可以用据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/extended-euclidean-algorithm/" class="wiki_link" title="扩展欧几里德算法GyD.F4y2Ba" target="_blank">扩展欧几里德算法据/一种>.据/P.>据P.>这些计算和算法在初级理论的各种应用中是有用的;见下文。据/P.>据/D.一世v>
质数据/h2>
主要文章:据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-numbers/" class="wiki_link" title="质数GyD.F4y2Ba" target="_blank">质数据/一种>据/P.>据!-- end-meta -->
让据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是一个正整数。如果据S.P.一种NClass="katex">
B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是一个分歧据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>它不等于据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>或据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(即。据S.P.一种NClass="katex">
B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>的非平凡固有因子是据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>),然后据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>可以被分解为据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">C据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>在哪里据S.P.一种NClass="katex">
B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
C据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>的非平凡固有因子是据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>然后我们就可以崩溃了据S.P.一种NClass="katex">
B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
C据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>类似地得到for的表达式据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>作为更小的因数的乘积。据/P.>据P.>只有当产品中的每个因数不能被进一步分解时,这个过程才会停止;换句话说,当乘积中的因数没有任何非平凡的固有因数时。据/P.>据B.罗CK.问:uote class="example">
如果据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>然后据S.P.一种NClass="katex">
B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是一个非竞争适当的除法。所以据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>现在据S.P.一种NClass="katex">
2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>没有非凡的适当除数,但是据S.P.一种NClass="katex">
6.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>:据S.P.一种NClass="katex">
2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">∣据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">6.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>所以据S.P.一种NClass="katex">
6.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N> 整数大于据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>没有任何非凡的适当分配据S.trong>质数据/S.trong>.据/P.>据!-- end-definition -->
上面的讨论表明,每个整数都可以作为素数的乘积分解。因此,素数是整数的乘法构建块。这一事实是如此重要的是,它被称为据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/fundamental-theorem-of-arithmetic/" class="wiki_link" title="算术基本定理GyD.F4y2Ba" target="_blank">算术基本定理据/一种>:据/P.>据B.罗CK.问:uote class="theorem">
每个正整数都可以写成质数的乘积。因数分解是唯一的,直到因子重新排列。据!-- end-theorem --> 这据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/distribution-of-primes/" class="wiki_link" title="分布素数GyD.F4y2Ba" target="_blank">分布素数据/一种>整数内部是一个困难而又丰富的研究课题。有据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/infinitely-many-primes/" class="wiki_link" title="无穷多个素数GyD.F4y2Ba" target="_blank">无穷多个素数据/一种>这是欧几里得所知的事实。一个更复杂的估计是据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/distribution-of-primes/" class="wiki_link" title="素数定理GyD.F4y2Ba" target="_blank">素数定理据/一种>,它粗略地说,一个随机整数的概率据S.P.一种NClass="katex">
≤据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">X据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是素质的据S.P.一种NClass="katex">
ln据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace mtight" style="margin-right:0.19516666666666668em;">X据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>其他,更精确的估计通常涉及据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-hypothesis/" class="wiki_link" title="黎曼假设GyD.F4y2Ba" target="_blank">黎曼假设据/一种>这是一个关于某一特定值的零点的深奥而未解的猜想据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复杂的GyD.F4y2Ba" target="_blank">复杂的据/一种>价值函数。据/P.>据P.>关于质数的其他基本问题仍然悬而未决。特别是,据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/twin-primes/" class="wiki_link" title="双胞胎'GyD.F4y2Ba" target="_blank">双胞胎'据/一种>关于存在无限多个质数的猜想据S.P.一种NClass="katex">
P.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这样据S.P.一种NClass="katex">
P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>也是质数,并且据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/the-goldbach-conjecture/" class="wiki_link" title="哥德巴赫猜想的GyD.F4y2Ba" target="_blank">哥德巴赫猜想的据/一种>任何一个偶数据S.P.一种NClass="katex">
≥据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>可以写成两个质数的和,尽管数不清的数学家努力了几个世纪,这个问题仍然没有解决。据/P.>据/D.一世v>
模块化算术据/h2>
涉及可整除性的结果通常最容易使用据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模运算GyD.F4y2Ba" target="_blank">模运算据/一种>.如果两个整数据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>除以整数时余数不变据S.P.一种NClass="katex"> N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>我们写据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace allowbreak">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>读 ”据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是相等的据S.P.一种NClass="katex"> B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>国防部据S.P.一种NClass="katex"> N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>“例如,据S.P.一种NClass="katex"> 6.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">4.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace allowbreak">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>7.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>或据S.P.一种NClass="katex"> −据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">7.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace allowbreak">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>
模块化算术帮助的基本规则解释各种各样据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/proof-of-divisibility-rules/" class="wiki_link" title="可分性测试GyD.F4y2Ba" target="_blank">可分性测试据/一种>小学时学的。例如,据/P.>据B.罗CK.问:uote>
每个正整数都相等据S.P.一种NClass="katex">
(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>等于它的位数的和。据/P.>据/B.罗CK.问:uote>
例如,据S.P.一种NClass="katex">
2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">6.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">8.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是相等的据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>因为据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是一致的吗据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>国防部据S.P.一种NClass="katex">
3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这适用于任何力量据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">K.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>≡据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">K.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>≡据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace allowbreak">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>所以不管这个整数有多少位,这个命题都成立。据/P.>据P.>加法、减法和乘法运算如预期的那样工作,但也有一种形式的除法。特别是这个方程据S.P.一种NClass="katex">
X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">/据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace allowbreak">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>如果据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace allowbreak">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这样一个据S.P.一种NClass="katex">
X据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>存在,如果且仅当据S.P.一种NClass="katex">
肾小球囊性肾病据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>通过Bezout的身份。据/P.>据P.>一组据S.P.一种NClass="katex">
{据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">......据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">}据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>表示整数mod据S.P.一种NClass="katex">
N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>用模加法和模乘法给出的运算,常被称为据S.P.一种NClass="katex">
Z.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>N据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>的子集据S.P.一种NClass="katex">
Z.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>N据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>由可逆元素组成据S.P.一种NClass="katex">
Z.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>N据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>∗据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>;它在乘法下是封闭的据S.P.一种NClass="katex">
φ据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>元素,据S.P.一种NClass="katex">
φ据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-totient-function/" class="wiki_link" title="欧拉totient函数GyD.F4y2Ba" target="_blank">欧拉totient函数据/一种>.特别是,当据S.P.一种NClass="katex">
P.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是'据S.P.一种NClass="katex">
Z.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>P.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>∗据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>由……的所有要素组成据S.P.一种NClass="katex">
Z.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>P.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>除了据S.P.一种NClass="katex">
0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>所以它有据S.P.一种NClass="katex">
P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>元素。据/P.>据P.>这是基本数字理论的第一个非竞争定理之一的设置,称为据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-little-theorem/" class="wiki_link" title="费马小定理GyD.F4y2Ba" target="_blank">费马小定理据/一种>.据/P.>据B.罗CK.问:uote class="theorem">
如果据S.P.一种NClass="katex">
P.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>',据S.P.一种NClass="katex">
P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∤据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>然后据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mbin mtight">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mtight">1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>≡据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace allowbreak">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N> 这概括了任何模量据S.P.一种NClass="katex">
N据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>:据/P.>据B.罗CK.问:uote class="theorem">
这些定理有无数不同的应用,例如,据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="素性测试GyD.F4y2Ba" target="_blank">素性测试据/一种>,分数和现代加密的小数次膨胀时期。后者的一些例子将在以下部分列出。据/P.>据/D.一世v>
应用密码学据/h2>
初等数论中的一些基本问题很适合用于现代密码学。许多密码系统需要一个计算上很困难的单向过程,这个过程做起来很快,但是很难逆转。这两个最常见的过程都来自数论。据/P.>据P.>一个这样的过程是据S.trong>要约据/S.trong>:计算机很容易将两个大型素数乘以,但非常难以给出他们的产品恢复素数。如果据S.P.一种NClass="katex"> N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">问:据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>在哪里据S.P.一种NClass="katex"> P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">问:据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是大素数,发现据S.P.一种NClass="katex"> P.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> 问:据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和找到的难度相等吗据S.P.一种NClass="katex"> φ据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.10903em;">N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">问:据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">问:据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这一事实,加上欧拉定理,是广泛应用的基础据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/rsa-encryption/" class="wiki_link" title="RSA密码系统GyD.F4y2Ba" target="_blank">RSA密码系统据/一种>.据/P.>据P.>另一个这样的过程就是所谓的据S.trong>离散对数问题据/S.trong>:给定Coprime Integers据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> N据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(据S.P.一种NClass="katex"> N据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>取非常大),和一个整数据S.P.一种NClass="katex"> K.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这很容易计算据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">K.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>但很难恢复据S.P.一种NClass="katex"> K.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>鉴于据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">K.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这个想法是据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/diffie-hellman-protocol/" class="wiki_link" title="diffie - hellman协议GyD.F4y2Ba" target="_blank">diffie - hellman协议据/一种>.据/P.>据P.>最近,这些思想得到了扩展和丰富,用更奇特的点上运算取代了模运算据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/elliptic-curves/" class="wiki_link" title="椭圆曲线GyD.F4y2Ba" target="_blank">椭圆曲线据/一种>.据/P.>据/D.一世v>
丢番图方程据/h2>
数论中许多最古老的问题都涉及到我们现在所知道的据S.trong>丢番图方程据/S.trong>:多项式方程在多个变量中具有整数系数,其中未知数也被约束为整数。实际上,找到了最简单的线性循环系统方程的解决方案的问题,据S.P.一种NClass="katex"> 一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">C据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>本质上是贝祖身份的内容。据/P.>据P.>非常简单的丢番图方程往往有非常困难的解。涉及的技术常常来自其他领域的数学,尤其是代数几何:丢番图方程的解决方案可以被视为特殊点(与整数坐标点)在更大的像一条曲线或曲面几何对象,切断通过真实的或复杂的解决方案相同的方程。据/P.>据P.>例如,毕达哥拉斯方程的正整数解据S.P.一种NClass="katex"> X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">Z.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>作为。。而被知道据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-triples/" class="wiki_link" title="毕达哥拉斯的三元组GyD.F4y2Ba" target="_blank">毕达哥拉斯的三元组据/一种>它在2500多年前就引起了人们的兴趣。通过除以据S.P.一种NClass="katex"> Z.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>给了据S.P.一种NClass="katex"> (据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">/据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">Z.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">/据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">Z.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>一个勾股定理对应一个点据S.P.一种NClass="katex"> (据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">/据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">Z.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">/据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">Z.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据em>合理的据/em>圆上的坐标据S.P.一种NClass="katex"> X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>参数化所有此类点的一种方法是通过圆上的理性点开始的几何诀窍(例如据S.P.一种NClass="katex"> (据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>),画一条有理性斜率的直线,并寻找另一个有理性的交点。据S.P.一种NClass="image-caption center">
毕达哥拉斯方程的推广有很多,但难度迅速上升。特别地,增加指数会引出一个非常困难的定理:据/P.>据B.罗CK.问:uote class="theorem">
限制注意据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/" class="wiki_link" title="广场的总和GyD.F4y2Ba" target="_blank">广场的总和据/一种>引出关于整数可以表示为2、3和4的平方和的基本经典结果;特别是,据em>每一个据/em>正整数是四个平方和。询问更高次幂的和会导致更深层次的结果,统称为据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/warings-problem/" class="wiki_link" title="Waring的问题GyD.F4y2Ba" target="_blank">Waring的问题据/一种>.据/P.>据P.>另一方面,导论中的欧拉砖问题给出了一个具体丢番图方程组的例子,该方程组的解尚未确定。甚至有一个普遍的否定结果被称为据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/hilberts-tenth-problem/?wiki_title=Hilbert's tenth problem" class="wiki_link new" title="希尔伯特的十个问题GyD.F4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">希尔伯特的十个问题据/一种>它认为不可能有普遍存在据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/algorithm/" class="wiki_link" title="算法GyD.F4y2Ba" target="_blank">算法据/一种>用来确定丢番图方程是否有解。目前这一领域的研究倾向于集中于丢番图方程的特定类型,出于某种原因,这类方程对数学家们特别感兴趣(据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/elliptic-curves/" class="wiki_link" title="椭圆曲线GyD.F4y2Ba" target="_blank">椭圆曲线据/一种>是一个特别丰富的主题),但在这方面仍有许多未解决的问题。据/P.>据/D.一世v>
代数数论据/h2>
主要文章:据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/algebraic-number-theory/" class="wiki_link" title="代数数字理论GyD.F4y2Ba" target="_blank">代数数字理论据/一种>据/P.>据!-- end-meta -->
这是一个可以使用属性来解决的问题据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/ring-theory/" class="wiki_link" title="环GyD.F4y2Ba" target="_blank">环据/一种>除整数之外。(初步分析也以常见的方式使用模块化算术。)据/P.>据B.罗CK.问:uote class="example">
求所有的整数解据S.P.一种NClass="katex"> y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">3.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>
这是一份校样。据/P.>据P.>首先要注意据S.P.一种NClass="katex">
X据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是偶数,那么据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>≡据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace allowbreak">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">m据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">O.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathrm">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>4.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这是不可能的,所以呢据S.P.一种NClass="katex">
X据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是奇数,因此据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是偶数。改写为据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">3.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和因素据S.P.一种NClass="katex-display">
(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">3.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>任何共同因素据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>必须是他们差异的共同因素据S.P.一种NClass="katex">
2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这并不难验证据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是素质,在以下意义上:其唯一的二数是单位(除数)据S.P.一种NClass="katex">
±据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">±据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一世据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和单位倍数本身。但如果据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>划分据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>说据S.P.一种NClass="katex">
(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">C据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">D.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>我们得到了据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">C据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">D.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">C据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">D.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这意味着这一点据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>很奇怪,这是不可能的。据/P.>据P.>所以据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是相对素质的。两个相对素质的数字,其产品是立方体必须都是立方体本身。但据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">3.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>给了据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">3.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">3.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这仅适用于据S.P.一种NClass="katex">
B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">2据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>都是据S.P.一种NClass="katex">
±据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>只有可能的情况据S.P.一种NClass="katex">
B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这将导致据S.P.一种NClass="katex">
y据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这是唯一的解。据/P.>据!-- end-example -->
上面的证明草图可以做得很严谨,但是书面证明中存在一些漏洞——特别是最后一段的前两句假设据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/gaussian-integers/" class="wiki_link" title="高斯整数GyD.F4y2Ba" target="_blank">高斯整数据/一种>的复数形式据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一世据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>在哪里据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">B.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是整数,对整数本身具有类似的属性。特别是,需要是一个明确的“相对素质”和类似的类似物据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/fundamental-theorem-of-arithmetic/" class="wiki_link" title="算术基本定理GyD.F4y2Ba" target="_blank">算术基本定理据/一种>在环据S.P.一种NClass="katex">
Z.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>[据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">]据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>的高斯整数。据/P.>据P.>而环据S.P.一种NClass="katex">
Z.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>[据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">一世据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">]据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>确实具有使上述证明严格的性质——最明显的是,一个独特的分解成不可约元素的形式——其他,类似的环没有相同的性质。据/P.>据B.罗CK.问:uote class="example">
在环据S.P.一种NClass="katex">
Z.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>[据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord sqrt">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">5.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>
]据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>分解成不可约元素并不一定是唯一的。例如,据S.P.一种NClass="katex-display">
6.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">5.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>
)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">5.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>
)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这四个因素中的每一个都是不可约的(唯一的因素是据S.P.一种NClass="katex">
±据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>本身或1)。据/P.>据!-- end-example -->
关于这种类型的戒指的假设不正确导致False在19世纪的Fermat的最后定理证明中开始。这种戒指的理论是美丽而有趣的,但它也有许多关于整数的地球问题的应用。这里有一些例子:据/P.>据ul>
如上面的例子,对于许多特定的丢番图方程,通过在一个大于整数的环上使用算术方法找到解并证明给定解集是完整的据/P.>据/li>
Fermat两方定理的证明(使用高斯整数)和拉格朗日的四方定理(使用四分音符)据/P.>据/li>
更深刻的理解据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/law-of-quadratic-reciprocity/" class="wiki_link" title="二次互反性GyD.F4y2Ba" target="_blank">二次互反性据/一种>并将其推广到更高的互易定律据/P.>据/li>
质数检验(通过据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/lucas-lehmer-primality-test/?wiki_title=Lucas-Lehmer primality test" class="wiki_link new" title="Lucas-Lehmer素性测试GyD.F4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">Lucas-Lehmer素性测试据/一种>)和因子分解算法(通过据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/number-field-sieve/" class="wiki_link" title="数域筛GyD.F4y2Ba" target="_blank">数域筛据/一种>)据/P.>据/li>
分析数字理论据/h2>
的使用据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-analysis/" class="wiki_link" title="复杂的分析GyD.F4y2Ba" target="_blank">复杂的分析据/一种>解决困难的数论问题有着丰富的历史,可以追溯到近200年前的法国数学家狄利克雷。最初的激励问题是据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/distribution-of-primes/" class="wiki_link" title="素数定理GyD.F4y2Ba" target="_blank">素数定理据/一种>,给出了这个数的一个有效的渐近估计据S.P.一种NClass="katex">
π据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>的质数据S.P.一种NClass="katex">
≤据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">X据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>Dirichlet自己使用了复杂的分析工具来证明他的着名据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/dirichlets-theorem/" class="wiki_link" title="定理GyD.F4y2Ba" target="_blank">定理据/一种>关于等差数列中素数的密度:他证明了对于素数的正整数据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>和据S.P.一种NClass="katex">
N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>有无穷多个素数和据S.P.一种NClass="katex">
一种据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>国防部据S.P.一种NClass="katex">
N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>但他的实际结果要强烈得多据S.P.一种NClass="katex">
φ据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>素数模的可能同余类据S.P.一种NClass="katex">
N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>狄利克雷证明了质数在这些类中是(渐近地)平均分布的。据/P.>据P.>解析数论的技术通常可以用下列一般方法来描述:据/P.>据ul>
创建一个与感兴趣的数论对象相关的复值函数,如质数或幂的和;据/P.>据/li>
使用复杂分析的工具(例如,线路集成,据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/residue-theorem/" class="wiki_link" title="残数定理GyD.F4y2Ba" target="_blank">残数定理据/一种>,分析/亚纯延续)以获得有关该功能的分析信息;据/P.>据/li>
建立函数的解析性质与原始数论对象之间的对应关系;据/P.>据/li>
将解析信息转化为希望研究的数论对象的结果(通常是渐近估计)。据/P.>据/li>
这种技术的一个经典例子包括据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-zeta-function/" class="wiki_link" title="黎曼ζ函数GyD.F4y2Ba" target="_blank">黎曼ζ函数据/一种>据S.P.一种NClass="katex-display">
ζ据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">S.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mrel mtight">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mtight">1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>∑据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>∞据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>N据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">S.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>在哪里据S.P.一种NClass="katex">
S.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是一个复杂的数字,其真实部分大于据S.P.一种NClass="katex">
1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>表达据S.P.一种NClass="katex">
ζ据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">S.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>由于某个积分允许将其扩展(或“持续”)到在复杂平面上到处定义的函数,除了一个简单的杆据S.P.一种NClass="katex">
S.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N> 与质数的关系是通过据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-zeta-function/" class="wiki_link" title="欧拉产品代表GyD.F4y2Ba" target="_blank">欧拉产品代表据/一种>据S.P.一种NClass="katex-display">
ζ据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">S.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord text mtight">主要的据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>∏据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">P.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="msupsub">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault mtight">S.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>1据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>着名的,关于价值观的事实据S.P.一种NClass="katex">
S.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>的据S.P.一种NClass="katex">
ζ据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">S.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>对应素数分布的深层事实。在点有“平凡的”零据S.P.一种NClass="katex">
S.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">−据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">4.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">那据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">......据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">那据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>但是从解析延拓的形式可以直接看出,其他的零一定都在条上据S.P.一种NClass="katex">
0.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">再保险据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">S.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>质数定理等价于一条直线的边缘没有零据S.P.一种NClass="katex">
再保险据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">S.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N> 事实上,计算证据表明,所有的零都位于带状的中心,据S.P.一种NClass="katex">
再保险据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault">S.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">/据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">2据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mpunct">;据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>这是著名的据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-hypothesis/" class="wiki_link" title="黎曼假设GyD.F4y2Ba" target="_blank">黎曼假设据/一种>.它仍然是未解的,它是非常有趣的,因为它暗示了关于质数分布的许多有趣的事实,包括对素数定理中给出的估计精度的改进。据/P.>据P.>函数的推广称为据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/dirichlet-series/" class="wiki_link" title="狄利克雷级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">狄利克雷级数据/一种>可以用来学习其他吗据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-function/" class="wiki_link" title="算术函数GyD.F4y2Ba" target="_blank">算术函数据/一种>也据/P.>据P.>另一个使用分析技术证明的著名结果(由Hardy和Littlewood提出)是对Waring问题中涉及的幂级数的明确估计:据/P.>据B.罗CK.问:uote class="theorem">
(Vinogradov)让据S.P.一种NClass="katex">
K.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>是一个正整数。每个正整数都可以写成据S.P.一种NClass="katex">
G据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">K.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>非负面据S.P.一种NClass="katex">
K.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>权力,在哪里据S.P.一种NClass="katex">
G据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mopen">(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">K.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">K.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">日志yD.F4y2BaG据/S.P.一种N>据/S.P.一种N>(据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">K.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mclose">)据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">1据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">K.据/S.P.一种N>据S.P.一种NClass="mord">.据/S.P.一种N>据/S.P.一种N> 参见据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/srinivasa-ramanujan/" class="wiki_link" title="ramanujan.GyD.F4y2Ba" target="_blank">ramanujan.据/一种>其他的例子。据/P.>据/D.一世v>
参考文献据/h2>
- 戴维斯,J.据em>Stereoprojzero据/em>.2007年4月28日从据一种href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stereoprojzero.svg">https://commons.wikimedia.org/wiki/file:stereoprojzero.svg.据/一种>据/li>
问题加载…据/P.>据P.Class="note-text">注意加载......据/P.>据P.Class="set-text">设置加载…据/P.>据/D.一世v>