九点圈

这九点圈三角形是一个经过9个关键点的圆圈：

• 三角形侧面的三个中点（下图中的蓝色），
• 三角形的三英尺（下图中的黄色），和
• 从顶点到顶点的三个中点<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-orthocenter/" class="wiki_link" title="矫形器" target="_blank">矫形器三角形（下图中的绿色）。

除了它存在的令人惊讶的事实之外，九点圈满足了几个重要和有趣的特性。

让中点 $AB.$是 $M_C.$，中点 $公元前$是 $嘛$和中点 $加利福尼亚州$是 $M_B.$。同样地，让海拔高度 $一种$是 $啊$，高度的脚 $B.$是 $B_H.$和高度的脚 $C$是 $C_H.$。让...... $啊$那 $B_H.$， 和 $C_H.$是H.最后，让中点 $啊$是 $D.$，中点 $BH.$是 $E.$和中点 $CH.$是 $F$。目标是展示这一点 $M_A，M_B，M_C，A_H，B_H，C_H，D，E$和 $F$所有人都躺在一个圆圈上。

首先，自从 $M_B.$和 $M_C.$是中点 $AC.$和 $AB，$分别是细分 $m_bm_c.$与细分平行 $公元前$。此外， $E.$和 $F$是中点 $BH.$和 $CH，$分别为段 $EF.$与细分平行 $公元前$也是。所以， $m_bm_c.$和 $EF.$是平行的。

同样，以来 $M_C.$和 $E.$是中点 $AB.$和 $Bh，$分别是细分 $M_CE.$与细分平行 $啊$。类似地， $M_BF.$是平行的 $啊$， 所以 $M_CE.$和 $M_BF.$也是平行的。

因此 $m_cm_bfe.$是平行四边形。但 $M_CE.$是平行的 $啊$，这是与 $aa_h.$。此外， $aa_h.$垂直于 $公元前$，以来.. $m_cm_b.$是平行的 $公元前$那 $aa_h.$垂直于 $m_cm_b.$也是。所以， $M_CE.$垂直于 $m_cm_b.$， 意思是 $m_cm_bfe.$是一个矩形。

通过类似的逻辑， $m_bm_aed.$和 $m_am_cdf.$是矩形，所以 $m_c，d，m_b，f，m_a$， 和 $E.$一切都躺在同一个圆圈上。

让 $M_CF.$和 $dm_a.$在一个点交叉 $N.$，这是循环的中心经过上述六点 $（$自从 $m_cdfm_a.$是一个矩形 $）。$所以， $N.$是中点 $dm_a.$。但 $\角度da_hm_a = 90 ^ {\ circ}$， 所以 $N.$是个<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-circumcenter/" class="wiki_link" title="诞生" target="_blank">诞生三角形 $da_hm_a.$。因此 $啊$在与上述六个点相同的圆圈，并且通过相同的逻辑所以这样做 $B_H.$和 $C_H.$。

因此，点 $M_A，M_B，M_C，A_H，B_H，C_H，D，E，$和 $F$根据需要，所有人都在一个圆圈上。

九点圈的中心，称为九点中心 $N.$，谎言<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/euler-line/" class="wiki_link" title="欧拉线" target="_blank">欧拉线三角形，是欧拉线部分的中点<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-orthocenter/" class="wiki_link" title="矫形器" target="_blank">矫形器 $H$到了<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-circumcenter/" class="wiki_link" title="诞生" target="_blank">诞生 $O.$。

九点中心 $N.$是细分的中点 $哦$。还显示：质心 $G$

九点圈也是<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/circumscribed-triangles/" class="wiki_link" title="割礼套件" target="_blank">割礼套件的<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-orthocenter/" class="wiki_link" title="orthic三角形" target="_blank">orthic三角形和内侧三角形（三角形的顶点是三个中点）。

此外，由于对称性，我们有以下几点：

三角形的九个点圆圈 $ABC，ABH，BCH，$和 $CAH.$都是一样的。

因此，这四个三角形的环绕是相等的，并且作为必论之限，我们具有以下内容：

$na ^ 2 + nb ^ 2 + nc ^ 2 + nh ^ 2 = 3r ^ 2$， 在哪里 $R.$是三角形的环绕。

同样，任何点 $P.$在九点圈上，

$PA ^ 2 + PB ^ 2 + PC ^ 2 + pH ^ 2 = 4R ^ 2。$

因此，九点圆的半径正恰好是三角形的恒定的一半：

$r_n = \ frac {1} {2} r。$

值得注意的是，如果 $P.$是一个点 $A，B，C$， 和 $P.$不要形成一个<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-orthocenter/" class="wiki_link" title="正管系统" target="_blank">正管系统，然后是九点圆圈 $\三角形ABC，\三角形ABP，\三角形BCP$， 和 $三角帽$所有人都在一个点。

同样，九点圆对三个中的每一个外部切相<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/incircles-and-excircles/" class="wiki_link" title="轴胎" target="_blank">轴胎，内部与三角形切相<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/inscribed-triangles/" class="wiki_link" title="inc" target="_blank">inc。九点圆对自动循环切实的点被称为<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/feuerbach-point/" class="wiki_link" title="Feuerbach Point." target="_blank">Feuerbach Point.。

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