牛顿拉富生方法
的牛顿迭代法(也称为牛顿法)是一种快速找到实值函数根的良好近似值的方法 .它使用的思想是一个连续可微函数可以被与其相切的直线近似。
它是如何工作的
假设你需要找到一个连续可微函数的根 ,你知道你要找的根在点附近 .牛顿法告诉我们根的更好的近似是 这个过程可以根据需要重复很多次,以获得所需的精度。一般来说,任何 价值 ,下一个值由
注意:术语“接近”的使用比较松散,因为在这里它不需要一个精确的定义。然而, 应该比任何其他根更接近您需要的根(如果函数有多个根)。
几何表示法
下面是一张演示牛顿方法的图片:
我们在图上画一条切线 在点 .这条直线有斜率 穿过这个点 .因此它有一个方程 .现在,我们求出这条切线的根 而且 对于新的近似。解这个方程得到新的近似,也就是 .
求方程的根 附近 精确到千分之一。
我们有 .为了使用牛顿法,我们还需要知道的导数 .在这种情况下, , .
利用牛顿法,我们得到了如下的近似序列:
我们现在可以停止了,因为的千位数和万分位数 而且 都是一样的。如果我们继续,它们将保持不变,因为我们已经足够接近根:
因此我们的最终答案是5.317。
牛顿法的局限性
如果周围有拐点、局部极大值或极小值,牛顿法可能不起作用 或根。
例如,假设您需要找到的根
这是附近
.
正确答案是
然而,牛顿的方法会给你以下结果:
这显然是没有用的。这是因为函数的图像 是这样的:
如你所见,这个图有一个局部最大值,一个局部最小值和一个拐点 .要知道为什么牛顿的方法在这里没有帮助,想象一下随机选择一个点 而且 在这一点上画一条切线。这条切线斜率为负,因此与 -轴在远离根的点处。
在这种情况下,得到一个更接近的起点会有帮助,在这个起点上这些临界点不会相互干扰。