第一个定理的技巧可以用来写产品配方乘法功能。例如,考虑乘法函数
nϕ(n)。当
n=pk,这个评估
pkpk−pk−1=1−p1,所以
nϕ(n)=p主要的p∣n∏(1−p1)。
让
n=p1α1⋯pkαk时,可以用类似的方法推导出下列公式:
σ0(n)σr(n)=我=1∏k(1+α我)=我=1∏kp我r−1p我r(α我+1)−1(r∈N)。
把这两个定理放在一起,可以用来导出几个涉及乘函数的有趣恒等式。第一个定理表明在素数幂参数上一致的两个乘法函数一定是同一个函数。这对证明很有用。
让
ω(n)=的不同素数因子的个数
n。让
rad(n)=的不同素数因子的乘积
n。表明,
∑d∣nμ(d)σ0(d)=(−1)ω(n)rad(n)。
证明:乘法函数的乘积显然是乘法的
μσ0是乘法。左边的和是狄利克雷卷积
μσ0∗1,所以它可以乘以第二定理。右边的乘积也是乘法的,因为很容易检查两者
(−1)ω(n)和
rad(n)是乘法函数。
所以它足以证明定理是正确的
n=pk,
p主要的在这种情况下,左边是
1+−(p+1)=−p右边是
(−1)1p=−p因此,双方在主要权力上达成了一致,因此在任何地方都达成了一致。
□
表明,
∑d∣nσ0(d2)=σ0(n)2。
证明:两边都是乘的(类似于前面的例子),因此检查它们是否一致就足够了
n=pk。在这种情况下,左边是
1+3.+5+⋯+(2k+1)
右边是
(k+1)2,
但是很容易检查它们是否相等。
□
计算
d∣2015!∑μ(d)ϕ(d)。
符号:
-
μ(d)表示Möbius函数。
-
ϕ(d)为欧拉全力函数。
-
d积极因素是
2015!。