多项定理
多项式定理声明
多项式定理的证明
多项式定理示例 - 条款数量
多项定理的例子 - 具体条款
另请参阅
引用如下:多项式定理。bright.org.。检索到从//www.parkandroid.com/wiki/multinomial-theorem/
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第一个重要的定义是多项式系数:
对于非负整数 B.1那B.2那......那B.K.这样 我=1σ.K.B.我=N那当多项式系数是
(B.1那B.2那......那B.K.N)=B.1!!B.2!!⋯B.K.!!N!!。
请注意,当 K.=2那这是二重传系数:
(B.1那B.2N)=B.1!!B.2!!N!!=B.1!!(N-B.1)!!N!!=(B.1N)。
现在多项式定理可以表述为如下:
多项定理
对于一个正整数 K.和一个非负整数 N那
(X.1+X.2+⋯+X.K.)N=B.1+B.2+⋯+B.K.=Nσ.(B.1那B.2那B.3.那......那B.K.N)j=1πK.X.jB.j。
这笔款项的项数由给定星星和酒吧说法:它是 (K.N+K.-1)。
有多项式定理的两个证明,通过感应的代数证明,并通过计数一个组合证明。代数证明第一次提出。
继续通过归纳上 m。
什么时候 K.=1结果是真实的,当 K.=2结果是二项式定理。假设 K.≥3.并且该结果是真 K.=P.。什么时候 K.=P.+1那
(X.1+X.2+⋯+X.P.+X.P.+1)N=(X.1+X.2+⋯+X.P.-1+(X.P.+X.P.+1))N。
treat X.P.+X.P.+1作为一个单一的术语和使用归纳假设,
B.1+B.2+⋯+B.P.-1+B.=Nσ.(B.1那B.2那B.3.那......那B.P.-1那B.N)j=1πP.-1X.jB.j×(X.P.+X.P.+1)B.。
通过二项式定理,这成为了
B.1+B.2+⋯+B.P.-1+B.=Nσ.(B.1那B.2那B.3.那......那B.P.-1那B.N)j=1πP.-1X.jB.j×B.P.+B.P.+1=B.σ.(B.P.B.)X.P.B.P.X.P.+1B.P.+1。
自从 (B.1那B.2那B.3.那......那B.P.-1那B.N)(B.P.B.)=(B.1那B.2那B.3.那......那B.P.+1N)那这可以被改写为
B.1+B.2+⋯+B.P.+1=Nσ.(B.1那B.2那B.3.那......那B.P.+1N)j=1πK.X.jB.j。□
这里是组合证明,它依赖于一个事实,从为多项式系数维基。
考虑扩展的术语 (X.1+X.2+⋯+X.K.)N。它必须是形式 α.我=1πK.X.我β我对于一些整数 α.非负整数 β我。由于每个学期必须来自从选择一个加数 X.1+X.2+⋯+X.K.那我们必须有 β1+β2+⋯+βK.=N。我们可以获得这个术语的不同方式的数量将是选择的方式数量 β1副本 X.1那 β2副本 X.2等等。通过从结果为多项式系数维基,这正是 α.=(β1那β2那......那βK.N)。□
确定的系数 A.2B.4.D.在多项式的膨胀 (3.A.+5.B.-2C.+D.)7.。
在扩大的通用术语 (3.A.+5.B.-2C.+D.)7.将是这样的形式的 (B.1那B.2那B.3.那B.4.7.)(3.A.)B.1(5.B.)B.2(-2C.)B.3.(D.)B.4.。要与术语 A.2B.4.D.那我们需要 B.1=2那B.2=4.那B.3.=0.那B.4.=1。这给了我们
(2那4.那17.)(3.A.)2(5.B.)4.(D.)1=4.!!2!!1!!7.!!(9.A.2)(6.25.B.4.)(D.)=10.5.(5.6.25.)A.2B.4.D.=5.9.0.6.25.A.2B.4.D.那
暗示答案是590625。 □
查找系数 T.20.在膨胀 (T.3.-3.T.2+7.T.+1)11。
膨胀的一般术语具有以下形式 (B.1那B.2那B.3.那B.4.11)(T.3.)B.1(-3.T.2)B.2(7.T.)B.3.(1)B.4.。为了具有系数 T.20.那我们必须有 B.1+B.2+B.3.+B.4.=11和 3.B.1+2B.2+B.3.=20.。我们可以写 B.3.=20.-2B.2-3.B.1和 B.4.=11-B.1-B.2-B.3.=2B.1+B.2-9.。
因此,该系数将总和 B.1那B.2≥0.σ.(B.1那B.2那20.-2B.2-3.B.1那2B.1+B.2-9.11)这样 2B.2+3.B.1≤.20.和 2B.1+B.2≥9.。
我们可以评估这个作为 -7.6.4.3.4.7.23.4.2。 □
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