Muirhead不平等

Muirhead不等式是泛化的吗AM-GM不平等．像AM-GM不等式一样，它涉及涉及多个变量的单项的对称和的比较。它在涉及不等式的证明中通常是有用的。

让 $a_1, \ ldots an$是非负实数。让 $x_1、\ ldots x_n$是变量。然后

$文本\ sum_ {\ {sym}} x_1 ^ {a_1} x_2 ^ {a₂}\ ldots x_n ^ {an}$

等于 $n !$表格条款 $间{\σ(1)}^ {a_1}间{\σ(2)}^ {a₂}\ ldots间{\σ(n)} ^ {an},$在哪里 $\σ$碾过排列的 $\ {1 \ ldots n \}。$

$\ sum_ {sym}}{\文本xy z ^ 3 ^ 2 = xy z ^ 3 ^ 2 + xy ^ 2 z ^ 3 + x ^ 2 y z ^ 3 + x ^ 2 yz ^ 3 + x ^ 3 y ^ 2 z + x ^ 3 yz ^ 2$

现在假设 $a_1, \ ldots an$而且 $b_1、\ ldots b_n$是否两个非负实数序列满足以下条件:

(1） $A_1 \ge a_2\ge \cdots \ge a_n$而且 $B_1 \ge b_2\ge \cdots \ge b_n$
（2） $A_1 \ge b_1，$ $A_1 +a_2 \ge b_1+b_2，$ $\ ldots,$ $A_1 +a_2+\cdots+a_{n-1} \ge b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}$
（3） $A_1 +a_2+\cdots+a_n = b_1+b_2+\cdots + b_n。$

然后是序列 $(ai)$据说majorize序列 $(b_i)。$

$7、3、1$majorizes $5、4、2、$因为 $7 \ge 5，$ $7+3 \ge 5+4，$而且 $7 + 3 + 1 = 5 + 4 + 2。$

Muirhead不等式:

假设 $(ai)$majorizes $(b_i)。$然后，对于所有非负的 $x_i,$

$文本\ sum_ {\ {sym}} x_1 ^ {a_1} \ ldots x_n ^ {an} \通用电气\ sum_{\文本{sym}} x_1 ^ {b_1} \ ldots x_n ^ {b_n}。$

在前一节的示例中，如果 $x, y, z$那么是非负实数吗

$\{对齐}开始x ^ 7 z + x y ^ 3 ^ 7 yz ^ 3 + x ^ 3 y ^ 7 z + x ^ 3 yz ^ 7 + xy ^ 7 z z ^ 3 + xy ^ 3 ^ 7 \通用电气x ^ 5 y ^ 4 z ^ 5 x ^ 2 + y ^ 2 z ^ 4 + x ^ 4 y ^ 5 z ^ 4 x ^ 2 + y ^ 2 z ^ 5 x ^ 2 + y ^ 5 z ^ 4 x ^ 2 + y ^ 4 z ^ 5。\{对齐}结束$

为了更紧凑的符号，请写

$米(a_1,, \ ldots, an) = \ sum_ {sym}}{\文本x_1 ^ {a_1} \ ldots x_n ^ {an}。$

那么缪尔黑德不等式说如果 $(ai)$majorizes $(b_i),$然后 $M(a_1，\ldots,a_n) \ge M(b_1，\ldots,b_n)。$

自 $(1 0 0 \ ldots 0)$majorizes $\离开(\ frac1 {n}, \ frac1 {n}, \ ldots \ frac1 {n} \右),$ $米(1 0 0 \ ldots 0) \通用电气M \离开(\ frac1 {n} \ frac1 {n} \ ldots \ frac1 {n} \右)$根据缪尔黑德不等式。在对称和中 $米(1 0 0 \ ldots 0),$有 $(n - 1) !$给出每一项的变量的排列。例如，术语 $X_1 ^1 x_2^0 x_3^0 \ldots x_n^0$被所有的排列所保留 $1$固定和移动 $2 \ ldots n$周围。在对称和中 $左(M \ \ frac1 {n} \ frac1 {n} \ ldots \ frac1 {n} \右),$所有的 $n !$排列得到相同的单项。

缪尔黑德不等式就变成了

$\{对齐}(n - 1)开始!（x_1 + x_2 + \cdots + x_n) &\ge n!\left(x_1^{1/n} x_2^{1/n} \ldots x_n^{1/n}\right) \\ \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} &\ge (x_1x_2\ldots x_n)^{1/n}, \end{aligned}$

也就是AM-GM不等式。这是缪尔黑德不等式的一个特例。

求的最小值

$\压裂{(a + b) (b + c) (c + a)} {abc}$

作为 $a, b, c$大于正实数的范围。

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把分子乘出来 $2abc + M(2,1,0)$请注意, $M(1,1,1) = 6abc，$表达式是

$2 + \压裂{M (2 1 0)} {abc} = 2 + \压裂{6米(2,1,0)}{M (1, 1, 1)},$

而且 $M(2,1,0) \ge M(1,1,1)$根据Muirhead不等式，表达式是 $\ge 2+6 = 8。$但是请注意如果 $a = b = c,$然后表达式求值为 $8，$所以答案是 $8.$ $_ \广场$

Muirhead不等式有时可以推广用于证明非齐次不等式:

假设 $x, y, z$正实数是多少 $xyz = 1。$表明, $X ^{10}+y^{10}+z^{10} \ge X ^9+y^9+z^9。$

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诀窍在于乘法 $x y ^ ^ 9 + 9 + z ^ 9$通过 $(某某)^ {1/3}= 1,$使得两边的度数相等。也就是说,

$\开始{对齐}米(10 0 0)& \通用电气M \离开(9 \ ! \ frac13 \ frac13 \ frac13 \) \ \ 2 ! \离开(x ^ {10} + y ^ {10} + z ^{10} \右)& \通用电气2 ! \离开(x ^ 9(某某)^ {1/3}+ y ^ 9(某某)^ {1/3}+ z ^ 9(某某)^ {1/3}\)\ \ x ^ {10} + y ^ {10} + z ^{10} & \通用电气x y ^ ^ 9 + 9 + z ^ 9。\ _\方形\端{对齐}$

最后一个例子稍微难一点，但说明了该技术的强大。

[IMO 1995 $a, b, c > 0$与 $美国广播公司(abc) = 1,$证明

$\ frac1 {^ 3 (b + c)} + \ frac1 {b ^ 3 (c + a)} + \ frac1 {c ^ 3 (a + b)} \通用电气\ frac32。$

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乘以分母的乘积:

$b c ^ 3 ^ 3 (c + a) (a + b) + c ^ 3 ^ 3 (b + c) b (a + b) + ^ 3 ^ 3 (b + c)通用电气(c + a) \ \ b frac32 ^ 3 ^ 3 c ^ 3 (b + c) (c + a) (a + b)。$

使用 $a ^ 3 ^ 3 c ^ 3 = 1$在右边，它变成了

$米(4、3、1)+ \ frac12 M (4 4 0) + \ frac12 M(3、3、2)通用电气\ frac32 \ \大(2 abc + M(2, 1,0) \大)= 3 abc + \ frac32 M(2, 1, 0)。$

左边是度 $8，$右边是度数 $3.$为了使两边的度数相等，我们可以在右边乘以 $(abc) ^{5/3} = 1。$请注意, $(abc) ^ {8/3} = \ frac16 M \离开(\ frac83 \ frac83 \ frac83 \右)。$所以,

$M(4,3,1) +\ frac12 M(4,4,0) +\ frac12 M(3,3,2) \ge \frac12 M\left(\frac83，\frac83，\frac83\right)+\frac32 M\left(\frac{11}3，\frac83，\frac53\right)。$

现在 $4、3、1$而且 $4 4 0$两个majorize $\压裂{11}3 \ frac83 \ frac53,$所以

$M(4,3,1)+\frac12M(4,4,0) \ge M\left(\frac{11}3，\frac83，\frac53\right)+\frac12 M\left(\frac{11}3，\frac83，\frac53\right) = \frac32 M\left(\frac{11}3，\frac83，\frac53\right)，$

而且 $3、3、2$majorizes $\ frac83 \ frac83 \ frac83,$所以

$\frac12 M(3,3,2) \ge \frac12 M\左(\frac83，\frac83，\frac83\右)，$

把这些不等式加起来就得到了结果。 $_ \广场$