蒙提霍尔问题
的蒙提霍尔问题一个著名的,看似矛盾的问题在吗条件概率和推理使用贝叶斯定理.信息会影响你的决定,乍一看似乎是不应该的。
在问题中,你在一个游戏节目中,被要求在三扇门中做出选择。每扇门后面,不是一辆车就是一只山羊。你选择一扇门。主人蒙蒂·霍尔(Monty Hall)选择了另一扇门,他知道那扇门后面有一只山羊,他打开门,让你看那只山羊。(你知道,根据游戏规则,Monty总会露出一只山羊。)然后Monty问你是否愿意把你选择的门换到剩下的另一扇门上。假设比起养山羊,你更喜欢有车,你会选择换车还是不换?
解决方案是,改变选择将让你比坚持最初的选择获得两倍的胜利,这一结果似乎与许多人的直觉相悖。著名的Monty Hall问题让一大批拥有博士学位的数学家感到尴尬,当时他们试图“修正”Marilyn vos Savant的解游行杂志.[1]
可能的结果
看到解决方案的一种方法是明确地列出所有可能的结果,并计算如果你留下或换车,你多久能得到一辆车。在不丧失一般性的前提下,假设你的选择是门 .那么可能的结果如下表所示:
在三分之二的情况下,你会在其中一扇门被打开后改变选择,从而赢得汽车。这是因为你第一次选择一扇后面有山羊的门的概率更大,然后是Monty保证发现另一扇门后面有只山羊。因此,通过改变你的选择,你的获胜概率翻倍。
查看同一组选项的另一种方法是将其绘制为决策树,如下图所示:
使用贝叶斯定理
蒙蒂霍尔问题有两个方面是许多人难以认同的。首先,为什么主人开门后,赔率不是五五开?为什么换门的几率是2 / 3而坚持第一个选择的几率只有1 / 3呢?其次,为什么如果Monty真的是随机打开一扇门,并且碰巧出现了一只山羊,那么留下来和换门的几率现在是五五开呢?贝叶斯定理可以回答这些问题。
贝叶斯定理是一个公式,它描述了在给定证据的情况下,如何更新假设正确的概率。在这种情况下,假设Monty打开了一扇门,门后是一只山羊:Monty向我们展示了我们没有选择的一个选项是错误的,那么我们最初选择的门后面有一辆车的概率(保持不变是正确的)。让 假设" 1号门后面有辆车"然后 证明蒙蒂发现了一扇门后面有只山羊那么这个问题可以重新表述为计算 的条件概率 鉴于 .
因为每扇门后面要么有一辆车,要么有一只山羊,假设" 和" 1号门后面有只山羊"是一样的
在这种情况下,贝叶斯定理说明
问题是,蒙蒂·霍尔故意告诉你一扇门后面有只山羊。
将这个方程的每个组成部分分解,我们得到如下:
- 是门1后面有一辆车的先验概率,而不知道Monty打开的那扇门。这是 .
- 就是我们没有撞到门的概率因为车在门后面。既然门后面要么有车,要么没有, .
- 是假设门1后有一辆车,Monty显示一扇后面有山羊的门的概率。因为蒙蒂总是在门上画一只山羊,这等于 .
- 是Monty显示山羊的概率,假设1号门后面有一只山羊。再说一遍,因为蒙蒂总是展示一扇有山羊的门,这等于 .
将所有这些信息结合起来就得到了
汽车在1号门后的概率是完全不变的证据。然而,由于汽车只能在1号门后或蒙蒂没有透露的门后,它在未透露的门后的概率是 .因此,换车的可能性是原地不动的两倍。
变体:随机蒙蒂霍尔问题
这个结果主要取决于这样一个事实:Monty总是保证打开一扇后面有山羊的门,不管你一开始选的是哪扇门。也就是说, .现在想想如果蒙蒂随机打开一扇我们没有打开的门,里面有一只山羊。不管我们选的是哪扇门,第一个选择正确的概率是多少?
在这种情况下, 蒙蒂给我们看一扇后面有山羊的门的概率假设我们的第一个选择是正确的,后面确实有一辆车,仍然是 .如果你选了有车的那扇门,另外两扇门肯定有山羊。
但 的变化。这表示Monty选择一扇后面有山羊的门的概率假设你最初选择的门后面有山羊。在这个例子中,Monty随机选择一扇后面有山羊的门和一扇后面没有山羊的门。因此,他选择一扇有山羊的门的概率是 .
把它放出来,我们得到
有一个 或者50%,我们第一次选对的概率随机打开一扇门,门后面刚好有一只山羊。愚弄了许多数学家的天真推理在这个例子中起了作用。
例子问题
很多人可能都听说过蒙蒂霍尔问题。这是一个不同的版本。
你正在参加一个游戏节目,已经进入了最后一轮。你有机会赢得一辆车!游戏节目主持人会向你展示三扇门。他说其中一扇门后面是汽车,另外两扇门后面是山羊。游戏节目主持人要求你选择一扇门,并解释你选择后会发生什么。在你的门被打开之前,主人会打开另外两扇门中的一扇随机.如果那扇门露出了车,你就自动赢了!如果结果是一只山羊,你将可以选择更换你所选择的门,打开你一开始没有选择的门。如果你打开的门露出了车,你就赢得了车。
事情是这样的:你选择右边的门。主人选择打开中间的门。事实证明,那扇门上放着一只山羊。现在您可以选择切换。你应该改变,坚持,还是不管你选择做什么?
哪一个动作能让你最有可能赢得这辆车?
蒙蒂·霍尔决定表演他的最后一集让我们做个交易系列与小扭转,和加尔文是兴高采烈的时候,他是第一个选手被叫到舞台上。每个人都急切地看着卡尔文走近舞台,等着看霍尔先生将带来的惊喜。
霍尔先生对着麦克风喊道:“这个惊喜是......加尔文会玩1000扇门而不是3扇。”观众倒吸了一口冷气,但霍尔先生继续讲,解释着规则:
- 1000扇门中的999扇盖着一头猪,最后一扇盖着最令人惊叹的超级特别的宏伟的超级跑车你的梦想.
- Calvin将从1000扇门中选择1扇,之后我将打开998扇门,其中包括一头猪,剩下两扇门供Calvin选择。
- 卡尔文将不得不选择是打开他最初选择的那扇门还是打开我关着的那扇门。
卡尔文是打开他原来选择的那扇门,还是切换到霍尔先生没有打开的那扇门?
你发现自己在一个游戏节目中,有10扇门。其中九辆车的后面是各式各样的农场动物,包括各种各样的猪、山羊和鹅,但其中一辆车的后面是一辆崭新的、闪亮的、用真金打造的金色汽车!
游戏过程如下:
- 你选一扇门。
- 然后游戏节目主持人会打开一扇你没有选择的门,他知道门后面只有农场动物。
- 然后你可以选择切换到另一扇未打开的门,之后他会打开另一扇门,门后有农场动物。
这个过程一直持续,直到只剩下两个门,一个是你当前的选择。(每次主人打开一扇门,你就会得到另一个选择,可以选择切换或坚持使用当前选择的门。)
如果你发挥最佳,你赢得汽车的机会是形式 ,在那里 而且 是互素正整数。
找到 .
细节和假设:
- 你提前知道这个过程将会继续,直到你只剩下两扇门。
- 假设你喜欢汽车胜过任何农场动物!
图片来源:http://iloboyou.com/
更多的概率问题:
看看我的其他问题。
问题:你能设计出蒙蒂霍尔问题的自己的变体吗?
引用
[1]克罗克特,扎卡里。每个人“纠正”世界上最聪明的女人的时间。Priceonomics.2015年2月19日。检索自2016年2月29日http://priceonomics.com/the-time-everyone-corrected-the-worlds-smartest/。