蒙提霍尔问题

的蒙提霍尔问题一个著名的，看似矛盾的问题在吗条件概率和推理使用贝叶斯定理．信息会影响你的决定，乍一看似乎是不应该的。

在问题中，你在一个游戏节目中，被要求在三扇门中做出选择。每扇门后面，不是一辆车就是一只山羊。你选择一扇门。主人蒙蒂·霍尔(Monty Hall)选择了另一扇门，他知道那扇门后面有一只山羊，他打开门，让你看那只山羊。(你知道，根据游戏规则，Monty总会露出一只山羊。)然后Monty问你是否愿意把你选择的门换到剩下的另一扇门上。假设比起养山羊，你更喜欢有车，你会选择换车还是不换?

解决方案是，改变选择将让你比坚持最初的选择获得两倍的胜利，这一结果似乎与许多人的直觉相悖。著名的Monty Hall问题让一大批拥有博士学位的数学家感到尴尬，当时他们试图“修正”Marilyn vos Savant的解游行杂志．[1]

看到解决方案的一种方法是明确地列出所有可能的结果，并计算如果你留下或换车，你多久能得到一辆车。在不丧失一般性的前提下，假设你的选择是门 $1$．那么可能的结果如下表所示:

在三分之二的情况下，你会在其中一扇门被打开后改变选择，从而赢得汽车。这是因为你第一次选择一扇后面有山羊的门的概率更大，然后是Monty保证发现另一扇门后面有只山羊。因此，通过改变你的选择，你的获胜概率翻倍。

查看同一组选项的另一种方法是将其绘制为决策树，如下图所示:

蒙蒂霍尔问题有两个方面是许多人难以认同的。首先，为什么主人开门后，赔率不是五五开?为什么换门的几率是2 / 3而坚持第一个选择的几率只有1 / 3呢?其次，为什么如果Monty真的是随机打开一扇门，并且碰巧出现了一只山羊，那么留下来和换门的几率现在是五五开呢?贝叶斯定理可以回答这些问题。

贝叶斯定理是一个公式，它描述了在给定证据的情况下，如何更新假设正确的概率。在这种情况下，假设Monty打开了一扇门，门后是一只山羊:Monty向我们展示了我们没有选择的一个选项是错误的，那么我们最初选择的门后面有一辆车的概率(保持不变是正确的)。让 $H$假设" 1号门后面有辆车"然后 $E$证明蒙蒂发现了一扇门后面有只山羊那么这个问题可以重新表述为计算 $P (H \ E)中期$的条件概率 $H$鉴于 $E$．

因为每扇门后面要么有一辆车，要么有一只山羊，假设" ${不}H \文本$和" 1号门后面有只山羊"是一样的

在这种情况下，贝叶斯定理说明

$P E)中期(H \ = \压裂{P H)中期(E \} {P (E)} P (H) = \压裂{P H)中期(E \ \乘以P (H)} {P H)中期(E \ \乘以P (H) + P (E{不是}\ \中期文本H) \乘以P(\文本{不是}H)}。$

问题是，蒙蒂·霍尔故意告诉你一扇门后面有只山羊。

将这个方程的每个组成部分分解，我们得到如下:

• $P (H)$是门1后面有一辆车的先验概率，而不知道Monty打开的那扇门。这是 $\压裂{1}{3}$．
• $P(文本\{不是}H)$就是我们没有撞到门的概率因为车在门后面。既然门后面要么有车，要么没有， $P(\text{not} H) = 1 - P(H) = \frac{2}{3}$．
• $P (E中期\ H)$是假设门1后有一辆车，Monty显示一扇后面有山羊的门的概率。因为蒙蒂总是在门上画一只山羊，这等于 $1$．
• $P (E{不是}\ \中期文本H)$是Monty显示山羊的概率，假设1号门后面有一只山羊。再说一遍，因为蒙蒂总是展示一扇有山羊的门，这等于 $1$．

将所有这些信息结合起来就得到了

$P(H \mid E) = \frac{1 \times \frac13} {1 \times \frac13 + 1\times \frac23} = \frac{\hspace{1mm} \frac13\hspace{1mm}}{1} = \frac{1}{3}。$

汽车在1号门后的概率是完全不变的证据。然而，由于汽车只能在1号门后或蒙蒂没有透露的门后，它在未透露的门后的概率是 $\压裂{2}{3}$．因此，换车的可能性是原地不动的两倍。

这个结果主要取决于这样一个事实:Monty总是保证打开一扇后面有山羊的门，不管你一开始选的是哪扇门。也就是说, $P(E \mid \ H) = P(E \mid \text{not}H)$．现在想想如果蒙蒂随机打开一扇我们没有打开的门，里面有一只山羊。不管我们选的是哪扇门，第一个选择正确的概率是多少?

在这种情况下, $P (E \ H中期),$蒙蒂给我们看一扇后面有山羊的门的概率假设我们的第一个选择是正确的，后面确实有一辆车，仍然是 $1$．如果你选了有车的那扇门，另外两扇门肯定有山羊。

但 $P(E \mid \text{not} H)$的变化。这表示Monty选择一扇后面有山羊的门的概率假设你最初选择的门后面有山羊。在这个例子中，Monty随机选择一扇后面有山羊的门和一扇后面没有山羊的门。因此，他选择一扇有山羊的门的概率是 $P(E \mid \text{not} H) = \frac{1}{2}$．

把它放出来，我们得到

$P(H \mid E) = \frac{P(E\mid H) \times P(H)} {P(E \mid H) \times P(H) + P(E\mid \text{not} H) \times P(E\mid \text{not} H)} = \frac{1\times \frac13} {1\times \frac13 + \frac12 \times \frac23} = \frac{\hspace{1mm} \ \hspace{1mm}\frac23\hspace{1mm} = \frac12。$

有一个 $\ frac12,$或者50%，我们第一次选对的概率随机打开一扇门，门后面刚好有一只山羊。愚弄了许多数学家的天真推理在这个例子中起了作用。

问题:你能设计出蒙蒂霍尔问题的自己的变体吗?

[1]克罗克特,扎卡里。每个人“纠正”世界上最聪明的女人的时间。Priceonomics．2015年2月19日。检索自2016年2月29日http://priceonomics.com/the-time-everyone-corrected-the-worlds-smartest/。