蒙特卡罗模拟

蒙特卡洛模拟定义了一种使用大量随机样本来获得结果的计算方法。它们通常用于物理和数学问题，在难以或不可能使用其他数学方法时最有用。蒙特卡罗方法主要用于三个不同的问题类别:优化、数值积分和生成图形概率分布．

蒙特卡洛模拟通常用于手头的问题有一个概率成分。一个期望值的概率分量可以用蒙特卡罗来研究，因为大数定律．有了足够的数据，即使是随机抽样，蒙特卡洛也可以深入研究问题的真相。例如，我们可以估计圆周率的值只要把随机的针扔进地上画的正方形内的圆里。在抛下许多针后，检查圆的一个象限。正方形内的针数与圆内的针数之比是圆周率很好的近似值。落下的针越多，近似值就越接近。

瑞利泰勒不稳定性使用蒙特卡罗预测两种液体如何相互作用

牛顿力学最令人欣慰的一点是，万事皆有因。例如，如果你推杠杆的一端，另一端就会上升。你扔一个物体，它沿抛物线运动。物质世界是一个完全的确定的位置:所有未来的状态都是从之前的状态衍生出来的。几个世纪以来，我们一直拥有这种普遍的科学智慧，然后出现了由玻尔和海森堡领导的哥本哈根主义。这一理论的支持者认为，在最基本的层面上，物理系统的行为是无法确定的。这引发了一场关于因果非决定论有效性的严肃辩论，即每个事件都不是由之前的事件引起的。像爱因斯坦和薛定谔这样的人认为这种哲学是不可接受的，爱因斯坦经常重复的评论就是一个例子:“上帝不玩骰子。”因果非决定论的问题仍未解决，但有足够的证据证明某些系统只能精确地建模随机过程．如果一个过程的下一步既取决于之前的状态又取决于某个随机事件，那么这个过程就被称为随机过程。

我们大多数人都能计算出某些事件发生的基本概率，但我们如何解释所得结果的意义呢?答案是，在这个快速计算机时代，我们可以对一个事件进行多次模拟，记录结果，并将结果与数学计算值进行比较!那么就在我们自己的眼前，我们可以看到概率论是多么强大!

的蒙特卡罗法是一种利用统计学解决问题的方法。给定某一事件在特定条件下发生的概率，可以使用计算机反复生成这些条件。

蒙特卡罗法过程:

1. 选择一个可能的样本空间。
2. 在这个空间中使用a随机采样概率分布．
3. 对随机样本执行定义的操作。
4. 聚合数据。

为了将这个过程与更具体的东西联系起来，我们以估计π下面将更详细地解释这一点。这个过程的第一步是选择可能样本的空间。这就是正方形内圆的物理空间。然后，通过将针随机扔进这个空间来随机采样。然后进行定义的数针操作。最后，计算出这些针的比例。

蒙特卡洛过程可能有点难以接受。如果我们只是随机收集数据，如何帮助我们找到正确答案呢?

让我们考虑一枚硬币。我们想知道硬币是否均匀。均匀硬币具有这些特性

$P(文本\{头})= \压裂{1}{2},\四P(\文本{尾巴})= \压裂{1}{2}。$

如果你抛硬币一个时间，会发生什么?它要么正面着地或尾巴。如果你抛硬币，硬币背面朝上，然后你离开了，你证明了吗 $P(\text{tails}) = 1$硬币是不公平的?当然不是!毕竟，一枚均匀的硬币也可以在一次尝试后背面朝上。

也许你再抛一次硬币，结果是正面朝上，这就证明了这一点 $P(\text{tails}) = P(\text{heads}) = \frac{1}{2}$，硬币是公平的。但你真的证明了这个硬币是公平的吗?也许硬币并不完全公平，但有时确实两面都有。

也许你会抛尾巴再一次，你就更相信了 $P(\text{tails}) = 1$．遗憾的是，我们仍然不知道，因为一枚正常硬币和一枚假硬币都有能力连续两次抛反面。

关键是我们需要多次抛硬币才能确信它是公平的。让我们用一些代码来看看。在下面的Python代码片段中，有一个函数，它接受硬币投掷正面的概率(如果硬币是均匀的，则为o.5)和投掷硬币的次数。然后它返回一个关于硬币公平性的猜测(同样，如果是公平的，它是0.5)。

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进口随机defgetCoinProb（headsProb，numFlips)：概率＝0．0为翻转在范围（numFlips)：currentFlip＝随机．随机（）如果currentFlip< =headsProb：#正面的概率概率+ =1返回概率/numFlips

我们先看一枚均匀硬币。我们可以抛一次硬币，得到反面，所以这个硬币看起来不公平。然后我们抛了5次，看起来更好了，但我们仍然不能完全相信硬币是完全公平的。即使经过100次试验，也很接近，但不是100%。我们需要抛10万次硬币才能开始相信这枚硬币是公平的(我们应该做更多来完全确定)。

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>>>getCoinProb（．5，1）0．0>>>getCoinProb（．5，5）0.4>>>getCoinProb（．5，One hundred.）0.54>>>getCoinProb（．5，100000）0.50065

现在让我们抛一个假硬币。假设这个硬币朝上的概率是75%(所以是a真的假硬币)。我们抛了一次，结果是反面，远远超出我们的预期!抛5次使我们更接近75%的标记，但抛5次后它和实际的均匀硬币一样远离公平。将它翻转100和100000次，我们离目标更近了。

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>>>getCoinProb（．75，1）0．0>>>getCoinProb（．75，5）0.6>>>getCoinProb（．75，One hundred.）0.78>>>getCoinProb（．75，100000）0.75006

这是蒙特卡罗方法的要点。当有一些概率性的事情(比如抛硬币)我们无法预测时，我们就需要去做很多来确保我们正确理解系统。

概率论历史上最有影响力的人物之一是布莱斯·帕斯卡。他对这一领域的兴趣始于一个朋友问他的问题:

“让我们掷24次骰子，赌至少有一次是双6，这有利可图吗?”

写一个函数，使用蒙特卡罗来模拟在24次骰子中得到一对6的概率。

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一次摇到一对6的概率是 $\压裂{1}{36}$．因此摇到双6的概率 $24$卷是 $大(1 - \ \压裂{35}{36}\大)^ {24}= 0.49$．

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进口随机defrollDie():"""返回1到6之间的随机整数""" "返回随机．选择([1，2，3.，4，5，6])defMonteprob（numTrials)：numwins＝0．0为我在范围（numTrials)：为j在范围（24)：d1＝rollDie（）d2＝rollDie（）如果d1= =6而且d2= =6：numwins+ =1打破打印numwins/numTrials

现在我们可以测试代码，看看我们进行的试验次数如何影响概率结果。

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# 100次试验>>>Monteprob（One hundred.）0.52>>>Monteprob（One hundred.）0.55>>>Monteprob（One hundred.）0.54# 10000次试验>>>Monteprob（10000）0.4918>>>Monteprob（10000）0.4875>>>Monteprob（10000）0.4964# 100000次试验>>>Monteprob（100000）0.49017>>>Monteprob（100000）0.49077>>>Monteprob（100000）0.49138

我们做的试验越多，答案就越接近。当试验的次数延伸到无穷大时，我们会趋近于一个答案。在这里，我们可以从上一组蒙特卡洛运行中猜测，答案大约是0.491或49.1%。

蒙特卡罗模拟在处理不确定性问题时很有用。然而，有趣的是，蒙特卡罗模拟(和随机算法一般来说)可以用来解决本质上不是随机的问题，即对结果没有不确定性的问题。

让我们想象一个矩形的高度 $h$、宽度 $b$和区域 $一个= h (b)$这样函数 $f (x)$在矩形的边界内。然后计算 $n$随机数对 $间{我}$而且 $y_{我}$与 $A \leq x_{i} \leq b$而且 $0\leq y_{i} \leq h$．点的分数 $间{我}$而且 $y_{我}$满足条件 $y_{我}\ leq f(间{我})$是对 $f (x)$矩形的面积。因此有了这个估计 $G_ {n}$是由

$G_ {n} = \压裂{n_ {h}} {n},$

在哪里 $n_ {h}$命中数是否低于曲线 $n$是矩形上的总命中数。

在数值积分中，方法如梯形法则使用确定性方法。另一方面，蒙特卡洛积分采用了一种不确定的方法:每种实现都提供了不同的结果。在蒙特卡洛，最终结果是正确值的近似值。当涉及到近似时，总是会有一些误差，而蒙特卡洛的近似只是它的近似误差范围．不过，如果收集的样本越来越多，边界可以缩小，这就是蒙特卡洛的力量。

早在计算机发明之前，法国数学家布丰(1707-1788)和拉普拉斯(1749-1827)就提出使用随机模拟来估计的价值 $π$．想象一下在边长相同的正方形上刻一个圆 $2$，使半径 $r$的圆长度 $1$．

这是圆的面积 $\πr ^{2} = \π$．但是是什么 $\π吗?$布冯提出，他可以通过在广场附近丢下大量的针来估计一个圆的面积(他认为这些针在下落时会沿着随机的路径下落)。方形内针尖的针数与圆内针尖的针数之比就可以用来估计圆的面积:

$\压裂{{一}_ {c}}{{一}_{年代}}= \压裂{\πr {} ^ {2}} {4} {r ^{2}} \意味着\π= 4 \压裂{{一}_ {c}}{{一}_{年代}}。$

越来越多的针落在圆圈里^[1]

注意，我们在圆上掉落的针越多，我们的近似值就越接近的实际值 $\π。$

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从随机进口随机从数学进口战俘，√6试验＝1000000支安打＝0抛出＝0为我在范围（1，试验)：抛出+ =1x＝随机（）y＝随机（）经销＝√6（战俘（x，2）+战俘（y，2）)如果经销< =1．0：支安打＝支安打+1．0#命中/投掷= 1/4 Piπ＝4＊（支安打/抛出）打印（"pi is= "，π）

上述算法模拟了第一次使用掉针的过程随机得到一对正的笛卡尔坐标( $x$而且 $y$值)。然后使用勾股定理计算带底直角三角形的斜边 $x$和高度 $y。$这是针尖到原点(正方形中心)的距离。因为圆的半径是 $1$，当且仅当与原点的距离不大于时，我们知道针位于圆内 $1$．我们用这个事实来数圆里的针数。

1. 乔,C。单词查找树．检索2016年6月22日，从https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method