模运算GYDF4.Y2.BA.

模运算GYDF4.Y2.BA.一个算术系统是为了什么GYDF4.Y2.BA.整数GYDF4.Y2.BA.，考虑到GYDF4.Y2.BA.剩余部分GYDF4.Y2.BA.. 在模运算中，数字到达一个给定的固定数量（这个给定的数量称为模）后“环绕”，留下一个余数。例如，模运算通常与素数联系在一起GYDF4.Y2.BA.威尔逊定理GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.卢卡斯定理GYDF4.Y2.BA.和GYDF4.Y2.BA.Hensel引理GYDF4.Y2.BA.，通常出现在以下字段中：GYDF4.Y2.BA.密码学GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.计算机科学GYDF4.Y2.BA.，以及计算机代数。GYDF4.Y2.BA.

模运算的直观用法是用一个12小时的时钟。如果现在是10点，那么5个小时后时钟会显示3点而不是15点。3是15的余数，模是12。GYDF4.Y2.BA.

一个数字GYDF4.Y2.BA. $x \ bmod NGYDF4.Y2.BA.$这相当于要求得到剩余的钱GYDF4.Y2.BA. $xGYDF4.Y2.BA.$当除以GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$. 两个整数GYDF4.Y2.BA. $A.GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $BGYDF4.Y2.BA.$是同余的(或在同一等价类中)模的GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$如果它们在除以后有相同的余数GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$.在这种情况下，我们说GYDF4.Y2.BA. $a \相等b\pmod N。GYDF4.Y2.BA.$

理解模运算最简单的方法是把它看成是一个数除以另一个数的余数。例如，因为15和-9除以12剩下的余数是一样的，所以我们说GYDF4.Y2.BA.

$15 \ 9枚\ pmod{12}。GYDF4.Y2.BA.$

这允许我们有一个做模运算的简单方法:首先执行通常的运算，然后找到余数。例如，寻找GYDF4.Y2.BA. $123 + 321 \pmod{11}GYDF4.Y2.BA.$，我们可以GYDF4.Y2.BA.

$123 + 321 = 444GYDF4.Y2.BA.$

然后除以11，得到GYDF4.Y2.BA.

$123+321\equiv 4\pmod{11}。GYDF4.Y2.BA.$

然而，当数字变大时，这可能会变得混乱。我们可以采用的一种方法是，首先求出123和321除以11的余数(余数都是2)，然后执行通常的算术，再求出余数。在这个例子中，sinceGYDF4.Y2.BA. $123\equiv 2\pmod{11}GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $321\equiv 2\pmod{11}GYDF4.Y2.BA.$，我们可以得出结论GYDF4.Y2.BA.

$\begin{align} 123 + 321 & \equiv 2+2 & \pmod{11} \\ & \equiv 4 & \pmod{11}。结束\{对齐}GYDF4.Y2.BA.$

对于正整数GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$的整数GYDF4.Y2.BA. $A.GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $BGYDF4.Y2.BA.$都是相等的GYDF4.Y2.BA. $\ bmod \ nGYDF4.Y2.BA.$如果他们的余数除以GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$都是一样的。GYDF4.Y2.BA.

$52 \equiv 24\pmod 7GYDF4.Y2.BA.$

正如我们在上面看到的，52和24是全等的（mod 7），因为GYDF4.Y2.BA. $52\pmod 7=3GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $24\pmod 7=3。GYDF4.Y2.BA.$

请注意,GYDF4.Y2.BA. $=GYDF4.Y2.BA.$不同于GYDF4.Y2.BA. $\枚。GYDF4.Y2.BA.$

另一种定义方法是整数GYDF4.Y2.BA. $A.GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $BGYDF4.Y2.BA.$都是相等的GYDF4.Y2.BA. $\ bmod \ nGYDF4.Y2.BA.$如果他们的区别GYDF4.Y2.BA. $（a-b）GYDF4.Y2.BA.$是的整数倍GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$，即GYDF4.Y2.BA. $\分形{a-b}{n}GYDF4.Y2.BA.$余数是0。GYDF4.Y2.BA.

$36 \ 10枚\ pmod {13}GYDF4.Y2.BA.$

36和10被认为是全等的（mod 13），因为它们是不同的GYDF4.Y2.BA. $36 - 10 = 26GYDF4.Y2.BA.$是的整数倍GYDF4.Y2.BA. $n = 13GYDF4.Y2.BA.$,也就是说,GYDF4.Y2.BA. $26 = 2\乘以13。GYDF4.Y2.BA.$

模运算中加法的性质：GYDF4.Y2.BA.

1. 如果GYDF4.Y2.BA. $a+b=cGYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $a\pmod N+b\pmod N \equiv c \pmod N。GYDF4.Y2.BA.$
2. 如果GYDF4.Y2.BA. $一个\枚b \ pmod NGYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $a+k\equiv b+k\pmod NGYDF4.Y2.BA.$对于任何一个整数GYDF4.Y2.BA. $KGYDF4.Y2.BA.$
3. 如果GYDF4.Y2.BA. $一个\枚b \ pmod NGYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $c\equiv d\pmod NGYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $a+c\相当于b+d\pmod N。GYDF4.Y2.BA.$
4. 如果GYDF4.Y2.BA. $a\equiv b\pmod NGYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $-a\equiv-b\pmod N。GYDF4.Y2.BA.$

现在是晚上7点。1000小时后是几点(上午或下午)?GYDF4.Y2.BA.

---

时间每24小时“重复”一次，所以我们以24为模数工作。自GYDF4.Y2.BA.

$1000\equiv 16+（24乘以41）\equiv 16\pmod{24}，GYDF4.Y2.BA.$

1000小时的时间等于16小时的时间。因此，1000小时后是上午11点。GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

求模24中31和148的和。GYDF4.Y2.BA.

---

解决方案1：GYDF4.Y2.BA.
31取24的模等于7。如果我们使用wiki中提到的第一个模块加法规则，我们会发现GYDF4.Y2.BA. $31 + 148 \equiv 7 + 148 \equiv 155\pmod{24}GYDF4.Y2.BA.$．155取24的模是11。GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

解决方案2：GYDF4.Y2.BA.
如前所述，模24中的31是7。我们将使用第二条规则，而不是使用第一条规则。148是模24中的4。现在，我们需要找到的是7+4，也就是GYDF4.Y2.BA. $11GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

求下面的余数GYDF4.Y2.BA. $123 + 234+ 32+ 56+ 22 + 12 + 78GYDF4.Y2.BA.$除以GYDF4.Y2.BA. $3.GYDF4.Y2.BA.$

---

我们知道GYDF4.Y2.BA. $123 \equiv 0 \pmod{3}GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $\equiv 0 \pmod{3}GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $32 \equiv 2 \pmod{3}GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $56\equiv 2\pmod{3}GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $22 \equiv 1 \pmod{3}GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $12\equiv 0\pmod{3}GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $78\equiv 0\pmod{3}GYDF4.Y2.BA.$.从3号酒店，我们有GYDF4.Y2.BA.

$123 + 234+ 32+ 56+ 22 + 12 + 78 \equiv 0+0+2+2+1+0+0 \equiv 5 \pmod{3}。GYDF4.Y2.BA.$

自GYDF4.Y2.BA. $5.GYDF4.Y2.BA.$有剩余的GYDF4.Y2.BA. $2.GYDF4.Y2.BA.$当除以GYDF4.Y2.BA. $3.GYDF4.Y2.BA.$,那么GYDF4.Y2.BA. $123 + 234+ 32+ 56+ 22 + 12 + 78，GYDF4.Y2.BA.$因此答案是GYDF4.Y2.BA. $2.GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

模乘法出现在数学的许多领域，并有许多广泛的应用，包括密码学、计算机科学和计算机代数。GYDF4.Y2.BA.

模运算中乘法的性质GYDF4.Y2.BA.:GYDF4.Y2.BA.

1. 如果GYDF4.Y2.BA. $a\cdot b=cGYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $a\pmod N\cdot b\pmod N\ equiv c \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.
2. 如果GYDF4.Y2.BA. $a \equiv b \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $ka \equiv kb \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$对于任何一个整数GYDF4.Y2.BA. $KGYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.
3. 如果GYDF4.Y2.BA. $a \equiv b \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $c\equiv d\pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $ac\equiv bd\pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

是什么GYDF4.Y2.BA. $（8乘以16）\pmod{7}？GYDF4.Y2.BA.$

---

自GYDF4.Y2.BA. $8 \相等1 \pmod{7}GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $16 \equiv 2 \pmod{7}GYDF4.Y2.BA.$,我们有GYDF4.Y2.BA.

$(8 \乘以16)\equiv(1 \乘以2)\equiv 2 \pmod{7} .\ _\平方GYDF4.Y2.BA.$

求下面的余数GYDF4.Y2.BA. $124\cdot 134\cdot 23\cdot 49\cdot 235\cdot 13GYDF4.Y2.BA.$除以GYDF4.Y2.BA. $3.GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

---

我们做过一个类似的问题，符号都是GYDF4.Y2.BA. $+GYDF4.Y2.BA.$而不是GYDF4.Y2.BA. $\ *GYDF4.Y2.BA.$．在这种情况下，手动加数字不会花费那么多时间，尽管模块化算法的解决方案更快。GYDF4.Y2.BA.

在这个例子中，相乘是非常乏味的。相反，我们重复使用性质3。我们知道GYDF4.Y2.BA. $124 \枚1GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $134 \枚2GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $23 \枚2GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $49相当于1GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $235 \枚1GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $13相当于1GYDF4.Y2.BA.$因此GYDF4.Y2.BA.

$124 \cdot 134 \cdot 23 \cdot 49 \cdot 235 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1 \pmod{3}GYDF4.Y2.BA.$

表示产品，按GYDF4.Y2.BA. $3.GYDF4.Y2.BA.$剩下的GYDF4.Y2.BA. $1.GYDF4.Y2.BA.$ $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

证明模运算中乘法的性质3如下所示:GYDF4.Y2.BA.

如果GYDF4.Y2.BA. $a \equiv b \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $c\equiv d\pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $ac\equiv bd\pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

---

根据等价的定义，GYDF4.Y2.BA. $一个- bGYDF4.Y2.BA.$是的倍数GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $c-dGYDF4.Y2.BA.$是的倍数GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$就是，GYDF4.Y2.BA.

$a-b=k_1N，四元c-d=k_2NGYDF4.Y2.BA.$

为常量GYDF4.Y2.BA. $k_1GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $k_2GYDF4.Y2.BA.$．然后GYDF4.Y2.BA.

$\开始{aligned}ac-bd&=ac-bd+bc-bc\\&=c（a-b）+b（c-d）\&=c（k\u 1n）+b（k\u 2N）\\\&=（ck\u 1+bk\u 2）N.\end{aligned}GYDF4.Y2.BA.$

这意味着GYDF4.Y2.BA. $ac-bdGYDF4.Y2.BA.$是的倍数GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$因此GYDF4.Y2.BA. $ac - bd \equiv 0 \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$,或GYDF4.Y2.BA. $ac\equiv bd\pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

由于取幂是重复的乘法，我们得到:GYDF4.Y2.BA.

模运算中幂的性质:GYDF4.Y2.BA.

如果GYDF4.Y2.BA. $a\equiv b\pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $a^k \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$对于任何正整数GYDF4.Y2.BA. $KGYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

我们可以写GYDF4.Y2.BA. $A.GYDF4.Y2.BA.$以GYDF4.Y2.BA. $a = Np + bGYDF4.Y2.BA.$,在那里GYDF4.Y2.BA. $PGYDF4.Y2.BA.$是一些整数。然后我们有GYDF4.Y2.BA.

$a ^{k}=（Np+b）^{k}=\sum{i=0}{k}\binom{k}{i}（Np）^{k-i}b^{i}。GYDF4.Y2.BA.$

注意这个和的所有项都是GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$，除了最后一次GYDF4.Y2.BA. $i=kGYDF4.Y2.BA.$因此GYDF4.Y2.BA.

$一个^ {k} \枚0 + 0 + \ cdots + 0 + b ^ {k} = b ^ {k} \ pmod {N}。\ _ \广场GYDF4.Y2.BA.$

是什么GYDF4.Y2.BA. $3^{16}\pmod{4}？GYDF4.Y2.BA.$

---

我们注意到GYDF4.Y2.BA.

$3^2\equiv 9\equiv 1\pmod{4}。GYDF4.Y2.BA.$

然后根据指数的性质，我们得到GYDF4.Y2.BA.

$\开始{对齐}3 ^ {16}\ pmod{4} & \枚\大(3 ^ 2 \大)^ 8 \ pmod{4} \ \ & \枚(1)^ 8 \ pmod{4} \ \ & \枚1 \ pmod{4}。\ \ _ \广场结束{对齐}GYDF4.Y2.BA.$

在上面的例子中，我们不需要找到的准确值GYDF4.Y2.BA. $3 ^ {16}GYDF4.Y2.BA.$它非常大GYDF4.Y2.BA.

最后一位是什么GYDF4.Y2.BA. $17 ^ {17} ?GYDF4.Y2.BA.$

---

一个数的最后一位等于取模于10的数。以10为模，我们有GYDF4.Y2.BA.

$\开始{array}{l}{17}&\equiv 7}&\equiv\big（7^2\big）^8\cdot 7&\pmod{10}和\equiv（49）^8\cdot 7和\equiv 9^8\cdot 7和\pmod{10}和\equiv\big（9^2\big）^4\cdot 7和\equiv（81）^4\cdot 7和\pmod 10}和\equivot 7和\pmod{10}10}和\equivot 7{GYDF4.Y2.BA.$

找出的最后三位数字GYDF4.Y2.BA. $2 ^{40}。GYDF4.Y2.BA.$

---

我们有GYDF4.Y2.BA.

$\开始{aligned}2^{40}&=&\big（2^{10}\big）^4\\&=&1024^4\\&\equiv&24^4\\&\equiv&576^2\pmod{1000}。\end{aligned}GYDF4.Y2.BA.$

我们可以写GYDF4.Y2.BA. $576 ^ 2GYDF4.Y2.BA.$像GYDF4.Y2.BA.

$\begin{aligned}(500+76)(500+76) &=& 250000+2\times500\times 76+76\times76 \\ &=& 250000+ 76000 + 5776 \\ & equiv& 0+ 5776 \\ & equiv& 776 \\ \pmod{1000}.\end{aligned}GYDF4.Y2.BA.$

自GYDF4.Y2.BA. $2^{40}GYDF4.Y2.BA.$剩下的GYDF4.Y2.BA. $776GYDF4.Y2.BA.$当除以GYDF4.Y2.BA. $1000GYDF4.Y2.BA.$，后三位数是GYDF4.Y2.BA. $776GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

找一个整数的例子GYDF4.Y2.BA. $a、 x，y，n，GYDF4.Y2.BA.$在哪里GYDF4.Y2.BA. $X \equiv y \pmod{n}GYDF4.Y2.BA.$,但GYDF4.Y2.BA. $a^x\not\equiv a^y\pmod{n}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

---

多种组合GYDF4.Y2.BA. $a、 x，y，nGYDF4.Y2.BA.$将在这里工作。我们以GYDF4.Y2.BA. $N = 3 a =2 x =2GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $y = 5GYDF4.Y2.BA.$，我们到哪里去了GYDF4.Y2.BA. $2 \相等5 \pmod{3}GYDF4.Y2.BA.$,但GYDF4.Y2.BA. $2^2 \equiv 1 \pmod {3}GYDF4.Y2.BA.$虽然GYDF4.Y2.BA. $2 ^ 5 \枚2 \ pmod {3}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

重要的是，指数性质只适用于底数。如果你想和异能者合作，你需要GYDF4.Y2.BA.欧拉定理GYDF4.Y2.BA.．GYDF4.Y2.BA.

这很棘手。GYDF4.Y2.BA. $4\equiv 8\pmod{4}GYDF4.Y2.BA.$．注意，我们不能简单地把方程两边都除以2，因为GYDF4.Y2.BA. $2\not\equiv 4\pmod{4}GYDF4.Y2.BA.$．这表明，在一般情况下，除法并没有很好地定义。如下面的属性所示，如果我们添加条件为GYDF4.Y2.BA. $k、 NGYDF4.Y2.BA.$是互质数，那么除法就得到了很好的定义。GYDF4.Y2.BA.

模运算中除法的性质GYDF4.Y2.BA.:GYDF4.Y2.BA.

如果GYDF4.Y2.BA. $\肾小球囊性肾病(k, N) = 1GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $ka \equiv kb \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $a \equiv b \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

这个性质为真，因为GYDF4.Y2.BA. $k (a - b)GYDF4.Y2.BA.$是的倍数GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $\肾小球囊性肾病(k, N) = 1GYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$必须分GYDF4.Y2.BA. $a - bGYDF4.Y2.BA.$同样,GYDF4.Y2.BA. $a \equiv b \pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

的模逆GYDF4.Y2.BA. $A.GYDF4.Y2.BA.$整数环中的模GYDF4.Y2.BA. $MGYDF4.Y2.BA.$是一个整数GYDF4.Y2.BA. $xGYDF4.Y2.BA.$这样GYDF4.Y2.BA.

$ax\equiv 1\pmod{m}。GYDF4.Y2.BA.$

从GYDF4.Y2.BA.欧几里得辗转相除法GYDF4.Y2.BA.和GYDF4.Y2.BA.贝佐特的身份GYDF4.Y2.BA.，关于模算术中乘法逆的存在性，得到如下结果:GYDF4.Y2.BA.

如果GYDF4.Y2.BA. $A.GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$是整数GYDF4.Y2.BA. $\gcd（a，N）=1GYDF4.Y2.BA.$，则存在一个整数GYDF4.Y2.BA. $xGYDF4.Y2.BA.$这样GYDF4.Y2.BA. $ax\equiv 1\pmod{N}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

$xGYDF4.Y2.BA.$被称为GYDF4.Y2.BA.乘法逆GYDF4.Y2.BA.的GYDF4.Y2.BA. $A.GYDF4.Y2.BA.$模GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$

下面的Python代码显示了如何通过实现扩展的欧几里德算法来计算模逆：GYDF4.Y2.BA.

Python实现GYDF4.Y2.BA.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14GYDF4.Y2.BA.

defGYDF4.Y2.BA.egcdGYDF4.Y2.BA.(GYDF4.Y2.BA.A.GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.BGYDF4.Y2.BA.):GYDF4.Y2.BA.xGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.YGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.UGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.vGYDF4.Y2.BA.=GYDF4.Y2.BA.0GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.1.GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.1.GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.0GYDF4.Y2.BA.虽然GYDF4.Y2.BA.A.GYDF4.Y2.BA.!=GYDF4.Y2.BA.0GYDF4.Y2.BA.:GYDF4.Y2.BA.QGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.RGYDF4.Y2.BA.=GYDF4.Y2.BA.BGYDF4.Y2.BA.//GYDF4.Y2.BA.A.GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.BGYDF4.Y2.BA.%GYDF4.Y2.BA.A.GYDF4.Y2.BA.MGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.NGYDF4.Y2.BA.=GYDF4.Y2.BA.xGYDF4.Y2.BA.-GYDF4.Y2.BA.UGYDF4.Y2.BA.*GYDF4.Y2.BA.QGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.YGYDF4.Y2.BA.-GYDF4.Y2.BA.vGYDF4.Y2.BA.*GYDF4.Y2.BA.QGYDF4.Y2.BA.BGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.A.GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.xGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.YGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.UGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.vGYDF4.Y2.BA.=GYDF4.Y2.BA.A.GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.RGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.UGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.vGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.MGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.NGYDF4.Y2.BA.肾小球囊性肾病GYDF4.Y2.BA.=GYDF4.Y2.BA.BGYDF4.Y2.BA.回来GYDF4.Y2.BA.肾小球囊性肾病GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.xGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.YGYDF4.Y2.BA.defGYDF4.Y2.BA.modinvGYDF4.Y2.BA.(GYDF4.Y2.BA.A.GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.MGYDF4.Y2.BA.):GYDF4.Y2.BA.肾小球囊性肾病GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.xGYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.YGYDF4.Y2.BA.=GYDF4.Y2.BA.egcdGYDF4.Y2.BA.(GYDF4.Y2.BA.A.GYDF4.Y2.BA.,GYDF4.Y2.BA.MGYDF4.Y2.BA.)GYDF4.Y2.BA.如果GYDF4.Y2.BA.肾小球囊性肾病GYDF4.Y2.BA.!=GYDF4.Y2.BA.1.GYDF4.Y2.BA.:GYDF4.Y2.BA.回来GYDF4.Y2.BA.没有一个GYDF4.Y2.BA.#模逆不存在GYDF4.Y2.BA.其他的GYDF4.Y2.BA.:GYDF4.Y2.BA.回来GYDF4.Y2.BA.xGYDF4.Y2.BA.%GYDF4.Y2.BA.MGYDF4.Y2.BA.

马克·亨宁斯GYDF4.Y2.BA.

是否有一个正整数GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$的GYDF4.Y2.BA. $n^7-77GYDF4.Y2.BA.$是斐波那契数吗?GYDF4.Y2.BA.

---

如果GYDF4.Y2.BA. $PGYDF4.Y2.BA.$是形式的质数GYDF4.Y2.BA. $7 k + 1GYDF4.Y2.BA.$，则有GYDF4.Y2.BA. $k + 1GYDF4.Y2.BA.$7次幂(其中+1表示0)。这就给了残数有别于斐波那契残数的斗争机会。我们试一下最小的质数GYDF4.Y2.BA. $7 k + 1GYDF4.Y2.BA.$，这是29。GYDF4.Y2.BA.

我们可以检查一下GYDF4.Y2.BA. $N ^7 \equiv 0, 1, 12, 17, 28 \pmod {29}GYDF4.Y2.BA.$，这给了我们GYDF4.Y2.BA.

$N ^7 - 77 \equiv 9, 10, 11, 22, 27 \pmod{29}。GYDF4.Y2.BA.$

当我们看模为29的斐波那契数的剩余部分时，我们得到了重复序列GYDF4.Y2.BA.

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 5, 26, 2, 28, 1, 0, ldots。GYDF4.Y2.BA.$

快速检查显示两个序列中都没有数字，因此答案是否定的。GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

• 中国剩余定理GYDF4.Y2.BA.

• 求幂的最后一位GYDF4.Y2.BA.