整数的奇偶性

奇偶校验是我们用来表示给定整数是偶数还是奇数的术语。一个数的奇偶性只取决于它除以余数后的余数 $2$．偶数有奇偶校验 $0$因为除以后的余数 $2$是 $0$，而奇数有奇偶校验 $1$因为除以后的余数 $2$是 $1$．

以下是一些非常有用的奇偶校验算术规则:

1. 甚至 $下午\$Even = Even
2. 奇怪的 $下午\$奇数=偶数
3. 甚至 $下午\$奇数=奇数
4. 甚至 $\ *$Even = Even
5. 甚至 $\ *$奇数=偶数
6. 奇怪的 $\ *$奇数=奇数。

通过使用算术的奇偶校验规则来查看两边是否具有相同的奇偶校验，奇偶校验通常用于验证一个等式是否为真或假。

如果 $n$是整数，它的奇偶校验是多少 $2 n + 2$?

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自 $n$为整数， $n + 1$也是整数。因此, $2n+2 = 2(n+1) + 0$的奇偶性 $2 n + 2$是 $0$． $_ \广场$

如果 $a、b$是整数，奇偶校验是多少 $A \乘以b$?

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我们知道奇数乘以奇数仍然是奇数，偶数乘以奇数仍然是偶数，偶数乘以偶数仍然是偶数。这可以总结为(自己检查)

$(\mbox{a的校验)\times (\mbox{b的校验)= (\mbox{ab的校验)。\ _ \广场$

如果 $k$是整数，它的奇偶校验是多少 $K ^2 + K$?

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$K ^2 + K = K (K +1)$．请注意, $k$而且 $(k + 1)$有不同的平价。因此，根据奇偶的算术规则，的奇偶 $k (k + 1)$是 $0$． $_ \广场$

你知道什么是奇怪的吗?不能被整除的整数 $2$！另一种说法是一个数字 $n$是奇数气味 $N \equiv 1 \pmod2$．等于的整数 $0 \ pmod2$被称为偶数。

在数学问题的解决中，宇称经常是有用的。奇数和偶数的一些性质在解决问题时非常有用。

[RMO 2016]
$f (x) = x ^ {3} - (k3) x ^ {2} -11 x + (4 k - 8)$

找到所有整数 $k$这样的根 $f (x)$都是整数。

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让 $a, b, c$的积分根 $f (x),$然后

$A +b+c=(k-3)，\quad ab+bc+ac=-11，\quad abc=4(2-k)。$

自 $a, b, c$都是整数和 $美国广播公司(abc) = 4 (2 k),$至少一个 $A b c$是偶数，还是 $k = 2。$但 $k = 2$没有积分根。然后,自 $公元前ab + + ac = -11$因此不可能有两三个 ${a, b, c}$是偶数，所以只有一个是偶数。

不失一般性，让 $一个$那就扯平吧 $a + b + c = k3$是偶数，这意味着 $k$是奇数。然后自 $f (x) = (x)(取向)(得到),$对于整数 $x,$ $f (x)$也是整数。

请注意，使用 $x = 2时,$的 $k$Term消失在 $f (x) = x ^ {3} - (k3) x ^ {2} -11 x + (4 k - 8)。$然后插 $x = 2$成 $f (x)$给了 $f (2) = (a) (2 b) (2 c) = -10。$自 $一个$是偶数, $(a) = 2$或 $(a) = 2,$在哪里 $a = 2$基本情况是否为 $a = 2$使 $k$偶数。

所以 $一个= 4$是根 $f (x)。$堵塞 $x = 4$成 $f (x),$我们得到了

$K =5，\quad b=1，\quad c= 3，$

哪个符合我们的条件 ${k, b, c}$都是奇数。 $_ \广场$

奇偶校验出现在解决问题时，可以证明基本的，但有趣的结果:

约翰 $r$盒装巧克力，在哪里 $r$是奇数，每个盒子都包含吗 $米$巧克力, $m = 2 n$对于某个正整数 $n$．

约翰的朋友亚历克斯偷东西 $w$约翰寄来的箱子。亚历克斯太匆忙了，误把一个偷来的盒子里的一块巧克力放进了其中一个盒子里 $r w$剩余的(未被盗的)盒子。他以为约翰从此就不会注意到什么了 $r$是一个相当大的数字。然而，约翰用数学证明了有些事情是错误的，并立即指出了他淘气的朋友亚历克斯。

你知道是怎么回事吗?

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棘手的问题吗?不!我们在数学上有一个非常强大的工具，奇偶校验．

起初，约翰有一个奇怪的箱子数量。每个盒子里有一个甚至巧克力的数量。所以巧克力的总数一定是偶数(even + even + even +…)奇数次=偶数)。

现在，让我们暂时假设亚历克斯偷了东西 $w$几盒巧克力“没有1块巧克力事件”。我们不知道是否 $w$是偶数还是奇数。但这并不重要。不管是偶数还是奇数，被偷巧克力的数量都是偶数(even + even + even +…) $w$times = EVEN)，也就是剩下的巧克力数量。

然而，因为亚历克斯把一个偷来的盒子里的一颗巧克力放到了剩下的盒子里，他把剩下的巧克力做成了等额奇怪的，即1，与初始奇偶校验为0相反。

约翰一定有某种系统来检查所有巧克力的数量是否相等，这样他就能发现其中的差异。 $_ \广场$