模算术误区
这是关于常见的误解.
同余模积
这是对的还是错的?
如果 而且 然后
为什么有些人说这是真的:这是一部分中国剩余定理.
为什么有人说它是错误的:你可以乘 而且 但是你不能乘以模。
这个陈述是 .
证明:
事实上,这个说法只适用于互质整数 而且 这是中国余数定理的“唯一性”部分的结果。直接看到它是正确的,如果 而且 都是相对质数的,注意到了吗 而且 所以 如果 而且 都是质数, 所以 所以
这个证明使得一般的结果很清楚:如果 而且 然后 (反之亦然。)
例如,如果 然后 而且 但 所以这是对原命题的反例。 请注意, 而且
反驳:如果 而且 是 然后它们都出现在因式分解中 所以他们的产品也出现了。所以
回复只有当 而且 是相对质数的。在上面的例子中, 但 而且 不要出现在相同的因式分解中
反驳在很多情况下,这个结果是正确的。例如,如果 而且 是不同的质数,结果为真。
回复这是正确的,但这种说法仍然是错误的,因为它并不适用于所有情况
全等整数的模量不同吗?
两边的模乘法
这是对的还是错的?
如果 然后
为什么有些人说这是真的:把所有式子乘以
为什么有人说它是错误的:方程两边乘以是有意义的 但是改变模量也是不同的。
这个陈述是 .
证明:
转换成关于可除性的命题。开始 这意味着 所以 对于某个整数 现在两边乘以 所以
反驳:这是唯一真正的mod 不是国防部回复: mod也是真的 但这句话更有力。证明也是不同的:而不是工作mod 转换为关于整数的语句是必要的。
对消和模乘
这是对的还是错的?
如果 而且 然后
为什么有些人说这是真的:对于整数是成立的,所以对于整数mod也应该成立
为什么有人说它是错误的:除以 可能不允许mod
这个陈述是 .
证明:
如果 而且 都不是相对质数,这个说法是不是对所有质数都成立 转换 得到一个可除性命题 但结论是 要求 而且 是相对质数的。
反例是 而且 是不是相对素数是 然后 但
反驳只要两边都乘以回复:乘法逆 mod不存在 除非 而且 是相对质数的。
取消和模乘法-第2部分
这是对的还是错的?
如果 而且 然后
为什么有些人说这是真的:把所有式子除以
为什么有人说它是错误的:除以 不允许mod
这个陈述是 .
证明:
将第一个同余转换为可除性语句: 或 这是一个整数 这样 自 我们可以取消 从两边看,所以 所以 所以
反驳:你不能取消 除非它相对于模量是素数。回复:这在一般情况下是正确的,但在这里,我们在取消后改变模数。该语句仍然可以通过将其转换为关于整数的语句来证明,其中允许取消任何非零整数。
另请参阅