许多算术函数可以表示为其他函数对其参数的正约数的和:gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∑gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.在这种情况下,有可能解出gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba的值gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba;一般的解决方案由Möbius函数提供。gydF4y2Ba
下面的引理解释了为什么Möbius函数是如此基本:gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∑gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba{gydF4y2Ba1gydF4y2Ba0gydF4y2Ba如果gydF4y2BangydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba如果gydF4y2BangydF4y2Ba>gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
当gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba>gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba让gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba=gydF4y2BapgydF4y2Ba1gydF4y2BaαgydF4y2Ba1gydF4y2BapgydF4y2Ba2gydF4y2BaαgydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋯gydF4y2BapgydF4y2BargydF4y2BaαgydF4y2BargydF4y2Ba(gydF4y2Ba
αgydF4y2Ba我gydF4y2Ba≥gydF4y2Ba1gydF4y2Ba对所有gydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba...gydF4y2Ba,gydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba,gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba=gydF4y2BapgydF4y2Ba1gydF4y2BaβgydF4y2Ba1gydF4y2BapgydF4y2Ba2gydF4y2BaβgydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋯gydF4y2BapgydF4y2BargydF4y2BaβgydF4y2BargydF4y2Ba与gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba≤gydF4y2BaβgydF4y2Ba我gydF4y2Ba≤gydF4y2BaαgydF4y2Ba我gydF4y2Ba为gydF4y2Ba
我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba...gydF4y2Ba,gydF4y2BargydF4y2Ba.gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba
βgydF4y2Ba我gydF4y2Ba≥gydF4y2Ba2gydF4y2Ba对于一些gydF4y2Ba
我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba...gydF4y2Ba,gydF4y2BargydF4y2Ba,gydF4y2Ba然后gydF4y2Ba
μgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.因此,gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∑gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaβgydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba或gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaβgydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba...gydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2Ba∑gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BapgydF4y2Ba1gydF4y2BaβgydF4y2Ba1gydF4y2Ba⋯gydF4y2BapgydF4y2BargydF4y2BaβgydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba−gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba⋯gydF4y2Ba+gydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2BargydF4y2Ba(gydF4y2BargydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2BargydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
倒数第二个等式来自gydF4y2Ba二项式定理gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba二项式系数gydF4y2Ba
(gydF4y2BakgydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2Ba在上面的等式中,计算是的乘积的因子gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba不同质数,有一个gydF4y2Ba
μgydF4y2Ba的价值gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2BakgydF4y2Ba.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba
当gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∑gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
写作gydF4y2Ba
egydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba作为引理等式右边的函数,并进行定义gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,引理可以用的语言写得更简洁gydF4y2Ba狄利克雷卷积gydF4y2Ba:gydF4y2Ba
μgydF4y2Ba∗gydF4y2Ba1gydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2Ba.gydF4y2Ba
因此,如果gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba算术函数是这样的吗gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∑gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,或gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba∗gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba∗gydF4y2BaμgydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba∗gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba∗gydF4y2BaμgydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba∗gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba∗gydF4y2BaμgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba∗gydF4y2BaegydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这被称为gydF4y2Ba默比乌斯变换gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba是这样的算术函数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∑gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba对所有gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba.然后gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∑gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∑gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这里有一个不使用狄利克雷卷积语言的显式证明;在这个证明中所做的工作本质上是证明Dirichlet卷积是结合律的一个特例。考虑gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∑gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba/gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∑gydF4y2BargydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba/gydF4y2BadgydF4y2Ba∑gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BargydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2BargydF4y2Ba,gydF4y2BadgydF4y2Ba∑gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BargydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∑gydF4y2Ba⎝gydF4y2Ba⎛gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba/gydF4y2BargydF4y2Ba∑gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba⎠gydF4y2Ba⎞gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BargydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
括号里的和是gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba
rgydF4y2BagydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba
rgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba根据引理,这个等于gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∑gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba是否有一个算术函数,上面的等式对所有正整数都成立gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba,找gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
符号:gydF4y2Ba
μgydF4y2Ba表示Möbius函数。gydF4y2Ba
还有一个乘法版本的Möbius倒置,证明方法完全相同:gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba是这样的算术函数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∏gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.然后gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∏gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba/gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BadgydF4y2Ba∣gydF4y2BangydF4y2Ba∏gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba/gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba