以下的计算将是粗略的,一些步骤将仍然是不合理的;给出详细的证明需要更多的细节,而不是具有启发性的。
让<年代pan class="katex">
X={p1,...,pd}⊂Rn是一个有限的点集。计算闵可夫斯基维数<年代pan class="katex">
X.
我们可以覆盖<年代pan class="katex">
X只要在每个点上放一个盒子,所以<年代pan class="katex">
f(ϵ)=d对所有<年代pan class="katex">
ϵ>0.因此,的闵可夫斯基维数<年代pan class="katex">
X是<年代pan class="katex-display">
ϵ→0lim日志ydF4y2Bag(ϵ1)日志ydF4y2Bag(d)=0.这与我们的直觉一致,即点(以及它们的有限集)应该是零维的。<年代pan class="katex">
□
让<年代pan class="katex">
X={0,1,21,3.1,41,...}.计算上闵可夫斯基维数<年代pan class="katex">
X.
写<年代pan class="katex">
X=一个∪B,在那里<年代pan class="katex">
一个={1,21,...,n1}和<年代pan class="katex">
B={n+11,n+21,...}.为<年代pan class="katex">
ϵ<n1−n+11<n21,我们可以覆盖<年代pan class="katex">
一个与<年代pan class="katex">
n间隔的长度<年代pan class="katex">
ϵ,每个点都有一个中心<年代pan class="katex">
一个.我们可以覆盖<年代pan class="katex">
B与约<年代pan class="katex">
n间隔的长度<年代pan class="katex">
ϵ,因为所有的元素<年代pan class="katex">
B被包含在<年代pan class="katex">
[0,n1].因此,<年代pan class="katex">
f(ϵ)≈2n≈ϵ
2.由此可见,<年代pan class="katex-display">
昏暗的盒子(X)=ϵ→0l我米年代up日志ydF4y2Bag(ϵ1)日志ydF4y2Bag(ϵ
2)=21.□
0
21
1
让<年代pan class="katex">
X=问∩[0,1],区间内有理数的集合<年代pan class="katex">
[0,1].闵可夫斯基维数是多少<年代pan class="katex">
X?
让<年代pan class="katex">
X⊂R是middle-thirds康托尔集
C.计算上闵可夫斯基维数<年代pan class="katex">
X.
请注意,<年代pan class="katex">
C两个自身副本的并集是否按倍数缩小<年代pan class="katex">
3.1.因此,如果<年代pan class="katex">
C可以覆盖<年代pan class="katex">
f(ϵ)间隔的长度<年代pan class="katex">
ϵ,然后<年代pan class="katex">
C可以覆盖<年代pan class="katex">
2f(ϵ)间隔的长度<年代pan class="katex">
3.ϵ,因此<年代pan class="katex">
f(3.ϵ)≈2f(ϵ).
当然,<年代pan class="katex">
f(1)=1,所以<年代pan class="katex">
f(3.n1)≈2n.因此,我们有<年代pan class="katex-display">
昏暗的盒子(X)=n→∞lim日志ydF4y2Bag(3.n)日志ydF4y2Bag(f(3.n1))=日志ydF4y2Bag(3.)日志ydF4y2Bag(2).□
日志ydF4y2Bag2日志ydF4y2Bag3.
日志ydF4y2Bag3.日志ydF4y2Bag4
日志ydF4y2Bag4日志ydF4y2Bag3.
日志ydF4y2Bag3.日志ydF4y2Bag2
让<年代pan class="katex">
X表示在分形中定义的谢尔平斯基三角形。上闵可夫斯基维数是多少<年代pan class="katex">
X?