数学读心术

读心术是一个谜题或游戏，在其中“数学魔术师”能够找出正确的答案，或基于观众提供的一小组信息，或有时根本不基于任何信息。

这里有一个“读心术”难题:

• 选择任何大于或等于10的正整数。
• 找出重复的数字和。 $^ *$
• 用原来的数减去这个。
• 找出重复的数字和 $^ *$在这个结果。
• 仔细想一下你现在得到的数字是多少。我必须集中精力，才能从互联网上把这个数字从你脑海中提取出来。
• 啊哈！我现在有了！是9！

$^ *$数字的重复和是通过重复求和得到的，直到得到一个一位数。在某些情况下，第一次尝试就会发生这种情况，但是像99这样的数字和是18，然后再和一次是9。两位数相加不得超过两次。

下面是另一种读心术:

• 选择任意正整数。
• 它的两倍。
• 添加10。
• 除以2。
• 减去第一步开始时的数字。
• 答案是5!

答案总是你在第三步中所加的数字的一半。在代数中，步骤如下:

• $N$
• $2 n$
• $2 n + 10$
• $n + 5$
• $5.$
  

读心术游戏通常是基于一些总是产生可预测结果的数学过程。魔术师利用他或她的表演技巧让观众沉浸在魔术中，并误导观众，让他们弄不明白魔术是如何起作用的。然而，通过追踪这个把戏所涉及的数学和逻辑步骤，人们可以弄清楚是什么使它奏效。

魔术师通过以下方式解读人心:

1. 巧妙的数学运算(比如返回可预测结果的非常长的数学运算)
2. 常见的心理模式(比如在猜测你的想法时使用最常见的联想和趋势)
3. 阅读肢体语言(大多数人在看到熟悉的事物、听到充满情感的词语或他们想听到的东西时都会有轻微的反应)
4. 伪造或猜测。

但是，在本节中，我们将处理第一种方法，它被用于著名的纸牌戏法和更多。“数学家”，顾名思义，依赖于绝对的不变性和可预测性，即数学。与其他方法不同，该方法给出一个 $One hundred.$%保证其结果。

大多数类型的技巧都可以用一点高中代数知识和基本算术的快速操作来完成。在设计一个像下面这样的问题时，无论最初的数字是什么，你都可以让它返回到某个不变的数字。考虑下面的例子:

• 想一个数字，任何正整数。
• 摆正它。
• 将结果添加到原始数字中。
• 除以你原来的数字。
• 加上，哦，怎么样 $17$．
• 减去你原来的数。
• 除以 $6.$．

你现在想的数字是 $3.$对吧?Whoooah ! !

为了理解这个技巧是如何工作的，让你首先选择的数字是 $x$并使其通过上述程序:

$\{数组}{c}开始x & \意味着& {x} ^{2} & \意味着& x + {x} ^{2} & \意味着& \ dfrac {x + {x} ^ {2}} {x} = 1 + x& \意味着& 18 + x& \意味着& 18 & \意味着& \ dfrac{18}{6} = 3。\{数组}结束$

现在我们可以清楚地看到正在发生的事情。诀窍是隐藏变量 $x$用一系列的算术运算使变量 $x$就消失了。纸牌戏法也一样，变量是你选择的牌，洗牌相当于我们执行的二进制操作。

还有，别忘了卖掉它，但要像任何魔术师一样去做！

在拉斯维加斯，一个街头艺术家说他能读心术。他让你想一个两位数，乘以它 $25日,$添加 $17$然后乘以 $4.$然后你给他最后的答案，他就能自信地说出你最初想到的数字。他是怎么做到的?

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假设你选择的数字是 $\眉题{ab}$具有 $\ neq 0$和 $a, b \ \ {0 1 2 \ ldots 9 \}$．现在，一步一步来演示他是如何猜出你的数字的。首先，你选择的数字可以写成

$\ textbf{你的号码}= \眉题{ab} = 10 + b。$

让 $s$在数学魔术师面前，你要把你的结果变成你飞快说出的数字。然后你就会明白是怎么回事了 $s$与你的数字相关的内容如下:

$\begin{aligned} 25\times \overline{ab} =&25(10a+b) &&(\text{multiply by}25)\\ =&250a+25b\\ \\ \右tarrow \quad &250a+25b+17 &&(\text{add}17)\\ \\ \右tarrow \quad &\big(25\times \overline{ab}+17\ times 4 &&(\text{multiply by}4)\\ =&(250a+25b+17)\times 4\\ =&1000a+100b+68\\ =&1000a+100b+60+8\\ =&\overline{ab68}。&&(\text{你的最终结果})\end{aligned}$

所以，如果你想到 $69$，你的结果会是 $6968$. 如果你想到 $34$，你的结果会是 $3468$．看到这个模式吗?

你向数学魔术师说出的结果左边的头两个数字就是你最初想到的数字!所以，他并没有读心术。你是在间接地告诉他你的想法。因此，他“读懂”了你的心思。 $_ \广场$

$\ textbf{“思维=吹”}$

27日牌技巧:

• 你从一副52张牌中取出一张牌，记住它，然后把它放回去。
• 数学魔术师分了三堆，每次一堆。你说卡片出现在哪一堆里。堆在一起。
• 这摞牌再次被分割，一叠一叠，分成3个均匀的摞，你说牌出现在哪一摞里。堆在一起。
• 堆栈再次分为3堆，您可以说卡片出现在哪一堆中。这些桩堆起来了。
• 这摞卡片第四次被分成三堆，你说卡片出现在哪一堆里。堆在一起。

然后，你的卡片神奇地出现在堆栈的顶部。这是怎么做到的?

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在你拿起你的牌后，记住它，然后把它放回52张牌中；这副牌洗过了。在接下来的技巧中，魔术师每次都必须按照正确的顺序堆叠牌堆，才能将你的牌移到顶部。

魔术师将52张牌，一张接一张，面朝下分成3堆，就像赌场庄家将牌发给3个玩家一样。自 $52\div 3=17\text{R}1，$两摞有17张牌，剩下的一摞有18张牌。在你搜索堆和指出哪一堆包含你的卡片，魔术师堆栈堆与你的堆上的面朝下底部。

就像之前一样，魔术师把52张牌面朝下分成三堆。因为你的牌堆在底部，之前在那一堆里的牌将被发出去去年．因此，你的牌将是一堆牌中的前6张之一。在你指出哪一堆包含你的卡片后，魔术师堆叠的堆脸朝下与你的堆上上面。

第三次，魔术师把卡片分成三堆。因为你的牌之前在牌堆的前6张，它现在将在一堆牌堆的后2张。在你指出哪一堆包含你的卡片后，魔术师堆叠与你的桩上的桩底部。

最后一次，魔术师将牌分为3堆。由于你的牌是牌组底部2张牌中的一张，现在它将是其中一堆牌中的顶部牌。当你指出哪一堆牌包含你的牌后，魔术师知道该牌位于该堆牌的顶部。 $_ \广场$

生日卡片诀窍：

下面的五张卡片（红、黄、绿、蓝、紫）上各有16个数字，可以用来查找朋友的生日（每月的哪一天）。

• 把这五张卡片给你的朋友，让他/她告诉你每一张写有他/她生日的卡片。
• 把包含生日的每张卡片的左上角的数字加起来就可以算出生日。

例如，如果他们的生日是一个月的11日，他们会给你红、黄、蓝卡片。

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它也被称为二进制魔术卡片戏法.它是基于二进制数到十进制数转换。

每张卡片对应二进制中的一个位值:

• 红色= 1，等于 ${2} ^ {0}$
• 黄色=2，等于 ${2} ^ {1}$
• 绿色= 4，等于 ${2} ^ {2}$
• 蓝色= 8，等于 ${2} ^ {3}$
• 紫色= 16，等于 ${2} ^ {4}$．

我们需要按照以下顺序读取颜色的存在：

$\text{purple} \to \text{blue} \to \text{green} \to \text{yellow} \to \text{red}。$

如果该号码存在，则放置 $1，$如果不是，地点 $0.$然后我们得到5位二进制表示。例如，如果生日以紫色、蓝色和红色卡片的形式存在，则可以表示为 ${11001} _ {2}$．现在将二进制数转换为等价的十进制数，如下所示:

$\{{3}{{}{{{{{{{}{{{{}{{{{{{{{{{{{{}}}}{{{{{{}}}{{{{{}}{{{{{{{{}}{{{{}}{{{{{{}}{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{4}\4}}}{{{{{}}}}\3}}\1\3}{{{{{{{{{{{{}}\3}}}}\3}\3}}}\3}\3}\3}}}\3}}}{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}\3}\3}}}}3}}+1\1\1\1\1\3}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}\\&=25.\\\正方形\末端{对齐}$

下表显示了从1到31的数字是如何使用各自的颜色编码的。

颜色代码和生日：

一位魔术师从人群中挑选了五名观众。然后他给第一个观众一副牌，让他/她切牌，从上面取一张牌。然后，每个剩下的四个观众从牌的顶部取一张牌。五名观众被允许看他们的牌，但他们不给魔术师看。魔术师稍稍挥了挥手，然后问谁手里拿着红牌。他再次稍稍挥手，闭上眼睛，然后正确地说出观众手中的每一张牌。他是怎么做到的?

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显然，魔术的关键在于抽到的牌的顺序，以及哪个观众拿到了红牌。同样重要的是，这副牌只是被剪掉了，而不是洗牌。

绘制的每张卡都代表一点信息，要么是“红色”（1），要么是“黑色”（0）。魔术师注意到观众抽牌的顺序以及哪张牌是红色的。由此，魔术师创建了一个5位序列。例如，如果 $1 ^ \文本圣}{3 ^ {rd} \文本,$和 $4 ^ \文本{th}$观众拿到红牌后，魔术师就会形成顺序 $10110$在他的头上。

魔术师知道有 ${2}^{5}=32$这些可能的序列，知道序列就足以知道牌是什么。魔术师正在利用所谓的德布鲁因序列．De Bruijn序列是字符的循环序列，这样每个长度一定的子序列是不同的。魔术师使用的牌组有32张牌，魔术师已经对牌组进行了排序，使它形成了De Bruijn序列:

$\开始{数组}{cccccccccccccccccccccccccccccccc}{} \ \文本spadesuit & 5 \ clubsuit & 10 \ clubsuit & 6 \ \ spadesuit spadesuit & 2 & {{# D61F06} \颜色\文本{Q} \ heartsuit} & 2 \ clubsuit & \文本{J} \ clubsuit & 7 \ spadesuit & {{# D61F06} 7 \颜色\ heartsuit}和{{# D61F06} \颜色\文本{一}\ heartsuit} & \文本{Q} \ clubsuit & 3 \ clubsuit & {{# D61F06} 6 \颜色\ diamondsuit} &\文本{K} \ spadesuit & {{# D61F06} 8 \颜色\ heartsuit} & \文本{J} \ spadesuit & 4 \ clubsuit & {{# D61F06} 2 \颜色\ diamondsuit}和{{# D61F06} \颜色\文本{J} \ heartsuit}和{{# D61F06} 7 \颜色\ diamondsuit} & 5 \ spadesuit & {{# D61F06} \颜色\文本{K} \ diamondsuit}和{Q} \ \文本spadesuit & {{# D61F06} \颜色\文本{一}\ diamondsuit}和{{# D61F06} 6 \颜色\ heartsuit} \ spadesuit & & 3{{# D61F06} 3 \颜色\ heartsuit}和{{# D61F06} 9 \颜色\ diamondsuit}和{{# D61F06} 4 \颜色\ diamondsuit}和{{# D61F06} 5 \颜色\ heartsuit}和{{# D61F06} \颜色\文本{K} \ heartsuit} \ \ & 0 & 0 & 0 & 0 & # D61F06}{1}{\颜色& 0 & 0 & 0 & # D61F06}{1}{\颜色& # D61F06}{1}{\颜色& 0 & 0 & # D61F06}{1}{\颜色& 0 & # D61F06}{1}{\颜色& 0 & 0 & # D61F06}{1}{\颜色&{{# D61F06} 1} \颜色& # D61F06}{1}{\颜色& 0 & # D61F06}{1}{\颜色& 0 & # D61F06}{1}{\颜色& # D61F06}{1}{\颜色& 0 & # D61F06}{1}{\颜色& # D61F06}{1}{\颜色& # D61F06}{1}{\颜色& # D61F06}{1}{\颜色& # D61F06}{1}{\颜色\{数组}结束$

这是一种可能的安排，将牌组分成明显的黑(0)和红(1)牌。由于它是有序的方式，任何5张卡的子序列都可以由位序列唯一地识别。此外，这个顺序是循环的，所以桥面是否被切割并不重要。因此,如果 $1 ^ \文本圣}{3 ^ {rd} \文本,$和 $4 ^ \文本{th}$人们有红牌（一系列的红牌） $10110$)，那么魔术师就可以识别出这些卡片是什么了 $（{\color{D61F06}\text{K}\diamondsuit}、{\text{Q}\spadesuit、{\color{D61F06}\text{A}\diamondsuit}、{\color{D61F06}6\heartsuit}、3\spadesuit）。$这个位的子序列不会出现在牌组的任何其他地方。

这个魔术表演起来很有挑战性，因为它需要魔术师记忆 $32$位的序列及其相应的卡片。然而，知道这么少的信息的卡片是令人震惊的。这个魔术最让人印象深刻的一点是，魔术师可以重复它任何次数，只要牌只被剪，不洗牌。 $_ \广场$

在设计你自己的心理游戏技巧时，也许最重要的部分是你自己的表演技巧。娱乐性是保持你的观众参与其中并愿意完成所需步骤的关键。除此之外，误导也很重要。这些技巧背后的数学原理通常很简单，也很容易理解。用一些额外的花式来转移观众对基础数学的注意力可以让观众留下深刻印象。下面是几个例子，教你如何设计自己的思维游戏技巧。一旦你理解了这些技巧是如何设计的，你就可以开始想出自己的一些技巧了。

猜猜结果

这种把戏的目的是让你的朋友想出一个数字，然后对它做一系列运算，然后你就能猜出结果。这个技巧的关键是结果总是正确的相同的号码。

这些技巧最简单的版本很容易理解:

想一个数字，给它加7，再减去你原来的数字。我知道还剩多少。它是7 !

这个技巧不会给太多的朋友留下深刻印象，但是这里的结构让你对更复杂的技巧是如何工作的有了一些了解。减去原来的数字，你就只剩下前面加的数字了。

让这个把戏可信的关键是插入足够的操作来误导你的观众，这样他们就不会产生怀疑。当你设计步骤时，用给定的数字写出代数， $n。$目标是执行最终消除变量并留下常量的操作。

想想除0以外的任何数字。 $n \意味着$

注你可能想给你的朋友一个计算器来帮助运算。不选0的原因稍后会变得清楚。

现在在这个数字上加上3。 $\ n + 3$

把结果乘以4。 $\暗示4（n+3）\n暗示4n+12$

现在把结果乘以原来的数。 $\暗示n（4n+12）\n暗示4n^2+12n$

将9添加到此结果。 $\意味着4 n ^ 2 + 12 + 9$

现在取平方根。 $表示根号{4n²+12n+9}表示2n+3$

这个数减去3。 $\暗示2n+3-3\暗示2n$

除以你原来的数字。 $表示2n div n表示2$

啊，精灵们在向我耳语你心中的数字！是2！

注如果你的朋友违背了你的指示，选择了0，那么你可能会注意到在最后一步有些犹豫。你可以马上宣布:“你选了那个禁忌数字，不是吗?”虚无的数量……这肯定会给你带来坏运气!”当然，一点表演技巧会有帮助!

正如你所看到的，你可以用来设计这些技巧的操作种类是无限的。唯一的要求是最终结果是一个常数。

这个技巧的另一个可能版本是给你的朋友操作，引导你的朋友找到他或她开始的号码。在上面例子的最后一步，你可以告诉你的朋友除以2(而不是除以原来的数字)。然后他/她将被留下他/她开始的数字。

用数字猜数字

由于十进制系统的工作原理，对数字执行某些操作通常会导致数字遵循可预测的形式。你可以利用这个优势给你的朋友留下深刻印象。

与“猜测结果”技巧一样，这个技巧的最简单版本也很容易理解:

想想任何一个正的两位数。把它乘以100，然后告诉我结果。现在我知道你想的确切数字了!

这些技巧的关键是原始数字隐藏在数字的某个地方。当然，这个示例在显而易见的情况下隐藏了原始数字。为了使这个戏法更可信，我们的目标是增加一些误导的步骤，并使数字内的数字不那么明显。

在下面的例子中，原始数字的数字将用 $\眉题{ab},$在哪里 $A.$和 $B$是数字的数字。

想想任何一个正的两位数。 ${ab}表示10a+b$

注你可能想给你的朋友一个计算器来帮助运算。

在那个数字上加3。 $\表示10a+b+3$

现在乘以4。 $\意味着4（10a+b+3）\n意味着40a+4b+12$

这个数加6。 $\表示40a+4b+12+6 \表示40a+4b+18$

把结果乘以5。 $\表示5(40a+4b+18) \表示200a+20b+90$

现在加1。 $\暗示200a+20b+25+1 \暗示200a+20b+91$

再乘以5。 $\暗指5(200a+20b+91) \暗指1000a+100(b+4)+55$

让你的朋友告诉你他或她的结果。这些步骤将把原来的数字放在千和百的位置，再加上4。例如，如果你朋友的原始号码是89，那么他/她给你的结果应该是9355。你所要做的就是从这些数字中减去4，你就能猜出你朋友的号码。

这个技巧是通过“分阶段”乘以100来实现的:首先乘以4，然后乘以5，然后再乘以5，这些乘法之间的其他操作都是误导。

另一种让这个技巧更可信的方法是对加或减的数字进行个性化设置。下面是一个例子:

你的生日是哪一天？加上这个数字。

这需要你在头脑中做一些计算，这样你就能知道最后该加或减哪个数字。这是一个挑战，但如果你多次使用这个技巧，你的朋友就很难预测结果了。

用手指猜数字中国剩余定理

中国的余数定理使得在你的朋友被某些数字除后，用余数猜测朋友的数字成为可能。例如：

选择1到250之间的任意整数。

当你除以11时，把余数给我。

当你除以23时，把余数给我。

这是足够的信息来确定数字是多少。让 $x$请告诉我电话号码 $A.$为该数除以11后的余数，让 $B$为该数除以23时的余数:

$\开始{array}{cccl}\text{If}&a\geb，&\text{then}&x=23（a-b）+b.\\\text{If}&a$

这个技巧之所以有效，是因为每个可能的有序对 $(a, b)$对应于1到253之间的一个不同整数。这一事实 $23 \equiv 1 \pmod{11}$(当23除以11，余数是1)使这个数字更容易心算。你可以围绕这个概念设计自己的技巧，通过仔细挑选以相同方式关联的数字。

在做这个魔术之前，选择正整数 $M$和 $N$这样 $m$和 $N \equiv 1 \pmod{m}$(何时) $N$除以 $米,$余数是1)。

让你的朋友在1和小于或等于的数字之间选择任意整数 $锰。$

请你的朋友把这个数除以的余数告诉你 $m。$剩下的就让它去吧 $一个。$

请你的朋友把这个数除以的余数告诉你 $n。$剩下的就让它去吧 $B$

通过以下内容，您将确切知道该数字：

$\开始{array}{cccl}\text{If}&a\geb，&\text{then}&x=n（a-b）+b.\\\text{If}&a$