数学读心术

读心术是一个谜题或游戏，其中“数学魔术师”能够找出正确的答案，或基于观众提供的一小部分信息，或有时根本没有信息。

下面是一个“读心术”的谜题:

选择任何大于或等于10的正整数。

求数字的重复和。<年代pan class="katex"> $^ *$ $^{*}$

用原来的数减去这个数。

求数字的重复和<年代pan class="katex"> $^ *$ $^{*}$ 在这个结果。

现在仔细想想你现在得到的是什么数字。我必须集中精力从网上把这个数字从你的脑海中拉出来。

啊哈!我现在有了!它是9 !

$^ *$ 数字的重复和是通过重复求和得到的，直到得到一个一位数。在某些情况下，第一次尝试就会出现这种情况，但像99这样的数字的和会等于18，然后再等于9。两位数的和不能超过两次。

这是另一个读心术:

随便选一个正整数。

它的两倍。

添加10。

除以2。

减去第一步开始的数字。

答案是5!

答案总是你在第三步中加的数的一半。在代数中，步骤如下:

$n$

$2 n$

$2 n + 10$

$n + 5$

$5.$

读心游戏通常是基于一些数学过程，总是产生一个可预测的结果。魔术师用他或她的表演技巧让观众参与到魔术中来，并误导观众，让他们搞不清楚魔术是如何运作的。然而，通过追踪这个技巧所涉及的数学和逻辑步骤，人们可以弄清楚是什么使它工作。

定义

魔术师通过以下方式读心术:

巧妙的数学运算(比如返回可预测结果的非常长的数学运算)
常见的心理模式(比如在猜测自己的想法时使用最常见的联想和趋势)
读懂肢体语言(大多数人看到熟悉的东西，听到饱含感情的话语或他们想听的东西时都会有轻微的反应)
伪造或猜测。

但是，在本节中，我们将处理第一种方法，它用于著名的纸牌戏法和更多的方法。“数学家”，顾名思义，依赖于绝对的不变性和可预测性，即数学。与其他方法不同，此方法给出了一个<年代pan class="katex"> $One hundred.$ $100$ 在它的结果中保证。

大多数类型的技巧都可以通过高中代数知识和基本算术的快速操作完成。在设计一个像下面这样的问题时，不管原始的数字是什么，你都可以让它返回到某个不变的数字。考虑下面的例子:

想一个数字，任何正整数。
平方。
把结果加到你原来的数字上。
除以原来的数。
加上，哦，怎么样<年代pan class="katex"> $17$ $17$ ．
减去原来的数。
除以<年代pan class="katex"> $6$ $6$ ．

你现在想到的数字是<年代pan class="katex"> $3.$ $3. ，$ 对吧?Whoooah ! !

为了理解这个技巧的真正作用，让你首先选择的数字是<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 然后按照上面的步骤进行:

$\{数组}{c}开始x & \意味着& {x} ^{2} & \意味着& x + {x} ^{2} & \意味着& \ dfrac {x + {x} ^ {2}} {x} = 1 + x& \意味着& 18 + x& \意味着& 18 & \意味着& \ dfrac{18}{6} = 3。\{数组}结束$

现在我们可以清楚地看到发生了什么。关键是要模糊变量<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 用一系列的运算使变量<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 就消失了。纸牌戏法也是如此，变量是你选择的纸牌，洗牌等价于我们执行的二进制操作。

还有，别忘了卖掉它，但要像任何魔术师一样去做!

技巧的例子

在拉斯维加斯，一个街头艺术家说他能读懂你的心思。他让你想出一个两位数，乘以<年代pan class="katex"> $25，$ $25 ，$ 添加<年代pan class="katex"> $17$ $17$ 次方，然后乘以<年代pan class="katex"> $4.$ $4 ．$ 然后你给他最终的答案，他就能自信地说出你最初想到的数字。他是怎么做到的?

假设你选的数字是<年代pan class="katex"> $\眉题{ab}$ $\overline{一个 b}$ 与<年代pan class="katex"> $\ neq 0$ $一个 \neq ＝ 0$ 而且<年代pan class="katex"> $a, b \ \ {0 1 2 \ ldots 9 \}$ $一个， b \in ｛ 0 ， 1 ， 2 ， .．. ， 9 ｝$ ．现在，一步一步地演示他是如何猜到你的数字的。首先，你选择的数字可以写成

$\ textbf{你的号码}= \眉题{ab} = 10 + b。$

让<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 成为你向数学魔术师滔滔不绝地说出结果的数字。然后你就知道怎么做了<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 与您的号码相关如下:

$\begin \ align \overline{ab} =&25(10a+b) &&(\text{multiply by}25)\\ =&250a+25b +17 &&(\text{add}17)\ rightrow \quad && big(25\times \overline{ab}+17\big)\ \times 4 &&(250a+25b+17)\ \times 4 =&1000a+100b+68\\ =&1000a+100b+60+8\\ =&\overline{ab68}。&&(\text{your final result}) \end{aligned}$

所以，如果你想到<年代pan class="katex"> $69$ $69$ ，你的结果将是<年代pan class="katex"> $6968$ $6968$ ．如果你能想到<年代pan class="katex"> $34$ $3. 4$ ，你的结果将是<年代pan class="katex"> $3468$ $3. 468$ ．看到这个模式吗?

你对数学魔术师说出的结果左起的两个数字就是你最初想到的数字!所以，他没有读懂你的心思。你是在间接地告诉他你的想法。因此，他已经“读懂”了你的想法。<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

$\ textbf{“思维=吹”}$

27日牌技巧:

你从52张牌中挑出一张，记住它，然后把它放回牌组中。

数学魔术师每次出三叠，每次出一叠。你说卡片出现在哪一堆。那堆东西都堆起来了。

这叠牌再次被分开，一个接一个，分成3个偶数摞，你说哪一摞牌出现。那堆东西都堆起来了。

这叠牌再次分成3堆，你说哪一堆牌出现。那堆东西都堆起来了。

这叠牌第四次分成3堆，你说哪一堆牌出现。那堆东西都堆起来了。

然后，你的牌神奇地出现在这叠牌的最上面。这是如何做到的?

在你取出你的牌后，记住它，并把它放回52张牌的副牌中;洗牌。在剩下的戏法中，魔术师只需每次按正确的顺序将卡片堆叠起来，将你的卡片移到最上面。

魔术师把52张牌，一张一张地，面朝下分成3堆，就像赌场庄家给3个玩家发牌一样。自<年代pan class="katex"> $5 \div 3=1 \text{R}$ $52 \div 3. ＝ 17 R 1 ，$ 两堆有17张牌，剩下的一堆有18张牌。在你搜索这些卡片并指出哪一堆包含你的卡片之后，魔术师把这些卡片正面朝下摞起来底部。

就像之前一样，魔术师把52张牌一张一张地分成3堆。因为你的那堆牌在最下面，所以之前在那堆牌里的牌会被发最后的．因此，你的牌将是一堆牌中前6张牌之一。在你指出哪一堆包含你的卡片之后，魔术师把这些卡片正面朝下摞起来上面。

第三次，魔术师把牌分成3堆。因为你的牌之前在这副牌的前6张牌中，现在它将在其中一堆牌的后2张牌中。在你指出哪一堆包含你的卡片后，魔术师堆叠与你的堆在底部。

最后一次，魔术师把牌分成3堆。因为你的牌是这副牌中最下面的两张牌，现在它将是一堆牌中最上面的一张牌。在你指出哪一堆包含你的卡片之后，魔术师知道卡片在那一堆的上面。<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

生日贺卡技巧:

下面的五张卡片(红、黄、绿、蓝、紫)，每一张上面都有16个数字，可以用来找到朋友的生日(某月某日)。

把这五张卡片送给你的朋友，让他或她告诉你每一张卡片上有他或她的生日。

把每张包含生日的卡片左上角的数字加起来就会得到生日。

例如，如果他们的生日是每个月的第11天，他们会给你红色、黄色和蓝色的卡片。<年代pan class="image-caption center">

它也被称为<年代trong>二元卡牌魔术．它是基于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binary-numbers/" class="wiki_link" title="二进制数" target="_blank">二进制数到十进制数转换。

每张卡片对应一个二进制的位置值:

红色= 1，等于<年代pan class="katex"> ${2} ^ {0}$ $2^{0}$

黄色= 2，它等于<年代pan class="katex"> ${2} ^ {1}$ $2^{1}$

绿色= 4，也就是<年代pan class="katex"> ${2} ^ {2}$ $2^{2}$

蓝色= 8，也就是<年代pan class="katex"> ${2} ^ {3}$ $2^{3.}$

紫色= 16，等于<年代pan class="katex"> ${2} ^ {4}$ $2^{4}$ ．

我们需要按照以下顺序读取颜色的存在:

$\文本{紫色}\到\文本{蓝色}\到\文本{绿色}\到\文本{黄色}\到\文本{红色}。$

如果数字存在，则放置<年代pan class="katex"> $1，$ $1 ，$ 如果不是，那就放<年代pan class="katex"> $0.$ $0 ．$ 然后我们得到5位二进制表示。例如，如果生日是用紫色、蓝色和红色的卡片表示的<年代pan class="katex"> ${11001} _ {2}$ $11001_{2}$ ．现在将二进制数转换为等价的十进制数，如下所示:

$\开始{对齐}{11001}_{2}& = \大(1 \{2}^{4}\大)+(1 \{2}^{3})+(0 \ *{2}^{2})+(0 \ *{2}^{1})+(1 \{2}^{0})\ \ & = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 \ \ & = 16 + 8 + 1 \ \ & ={\文本(紫色的左上角)+(蓝色左上角)+(红色的左上角 )} \\ &= { 25} _{10} \ \ & = 25。\ \ _ \广场结束{对齐}$

下表显示了如何使用各自的颜色代码导出1到31的数字。

颜色代号和生日:<年代pan class="image-caption center">

魔术师从人群中选出五名观众。然后，他给第一个观众一副牌，并要求他/她削减甲板和从顶部取一张牌。然后，剩下的四名观众每人从牌组顶部拿一张牌。五名观众被允许看他们的牌，但他们不能把牌给魔术师看。魔术师晃了晃他的手，然后问他们谁拿着红牌。他再次挥动双手，闭上眼睛，然后正确地说出观众手中的每一张牌。他是怎么做到的?

很明显，这个魔术的关键在于抽到的牌的顺序，以及哪个观众有红牌。同样重要的是，桥牌只是被切割，而不是洗牌。

每抽一张牌代表一个信息，“红”(1)或“黑”(0)。魔术师记下观众抽牌的顺序，以及哪些牌是红色的。从这里，魔术师创造了一个5位序列。例如，如果<年代pan class="katex"> $1 ^ \文本圣}{3 ^ {rd} \文本,$ $1^{圣} ， 3.^{理查德\cdot道金斯} ，$ 而且<年代pan class="katex"> $4 ^ \文本{th}$ $4^{th}$ 观众拿着红牌，然后魔术师就开始表演<年代pan class="katex"> $10110$ $10110$ 在他的头上。

魔术师知道有<年代pan class="katex"> ${2}^{5}=32$ $2^{5} ＝ 3. 2$ 这些可能的序列，知道序列就足以知道牌是什么了。魔术师正在利用所谓的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/de-bruijn-sequence/?wiki_title=De Bruijn sequence" class="wiki_link new" title="De Bruijn序列" target="_blank" rel="nofollow">De Bruijn序列．德布鲁因序列是字符的循环序列，每个特定长度的子序列是不同的。魔术师使用的这副牌有32张牌，魔术师将这副牌排列成德布鲁因的顺序

$\开始{数组}{cccccccccccccccccccccccccccccccc}{} \ \文本spadesuit & 5 \ clubsuit & 10 \ clubsuit & 6 \ \ spadesuit spadesuit & 2 & {{# D61F06} \颜色\文本{Q} \ heartsuit} & 2 \ clubsuit & \文本{J} \ clubsuit & 7 \ spadesuit & {{# D61F06} 7 \颜色\ heartsuit}和{{# D61F06} \颜色\文本{一}\ heartsuit} & \文本{Q} \ clubsuit & 3 \ clubsuit & {{# D61F06} 6 \颜色\ diamondsuit}和{K} \ \文本spadesuit & {{# D61F06} 8 \颜色\ heartsuit}和{J} \ spadesuit & 4 \ \文本clubsuit & {{# D61F06} 2 \颜色\ diamondsuit}和{{# D61F06} \颜色\文本{J} \ heartsuit} &｛\color{#D61F06}7\diamondsuit} & 5\spadesuit & {\color{#D61F06}\text{K}\diamondsuit} & \text{Q}\spadesuit & {\color{#D61F06}\text{A}\diamondsuit} & {\color{#D61F06}6\heartsuit} & 3\spadesuit & {\color{#D61F06}3\heartsuit} & {\color{#D61F06}9\diamondsuit} & {\color{#D61F06}4\diamondsuit} & {\color{#D61F06}5\heartsuit} & {\color{#D61F06}\text{K}\heartsuit} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{#D61F06}1} & 0 & 0 & 0 & {\color{#D61F06}1} & {\color{#D61F06}1} & 0 & 0 & {\color{#D61F06}1} & 0 & {\color{#D61F06}1} & 0 & 0 & {\color{#D61F06}1} & {\color{#D61F06}1} & {\color{#D61F06}1} & 0 & {\color{#D61F06}1} & 0 & {\color{#D61F06}1} & {\color{#D61F06}1} & 0 & {\color{#D61F06}1} & {\color{#D61F06}1} & {\color{#D61F06}1} & {\color{#D61F06}1} & {\color{#D61F06}1} \end{array}$

这是一种可能将牌组分成不同的黑(0)和红(1)牌的排列方式。由于它的排列方式，任何5张卡的子序列都可以被比特序列唯一标识。此外，这一序列是循环的，所以桥牌被切割的事实并不重要。因此,如果<年代pan class="katex"> $1 ^ \文本圣}{3 ^ {rd} \文本,$ $1^{圣} ， 3.^{理查德\cdot道金斯} ，$ 而且<年代pan class="katex"> $4 ^ \文本{th}$ $4^{th}$ 人们有红牌(一连串的)<年代pan class="katex"> $10110$ $10110$ )，那么魔术师就能识别出这些卡片是什么<年代pan class="katex"> $({\color{#D61F06}\text{K}\ text{Q}\ spadsuit， {\color{#D61F06}\text{A}\diamondsuit}， {\color{#D61F06}6\heartsuit}， 3 spadsuit)。$ $（ K ♢ ，问 ♠ ，一个 ♢ ， 6 ♡ ， 3. ♠ ）．$ 这个位的子序列不会出现在这副牌的其他任何地方。

这个魔术表演起来很有挑战性，因为它需要魔术师背诵<年代pan class="katex"> $32$ $3. 2$ 位序列及其对应的卡片。但是，以如此少的信息量就能知道这些牌，实在令人吃惊。这一技巧最让人印象深刻的地方在于，只要纸牌只被剪切而不被洗牌，魔术师就可以重复任何次数。<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

设计自己的技巧

当你设计自己的心理游戏技巧时，也许最重要的部分是你自己的表演技巧。保持娱乐性是让你的观众参与其中并愿意完成所需步骤的关键。除此之外，误导也很重要。这些技巧背后的数学原理通常很简单，很容易弄清楚。额外的繁文缛节可以分散听众对基础数学的注意力，让他们对你印象深刻。下面是一些你如何设计自己的心理游戏技巧的例子。一旦你理解了这些技巧是如何设计的，你就可以开始想出一些你自己的技巧了。

Guess-the-result技巧

这种技巧的目的是让你的朋友想出一个数字，然后对它进行一系列操作，然后你就可以猜出结果。这个技巧的关键是，结果总是相同号码。

这些技巧的最简单版本很容易理解:

想一个数字，然后给它加7，然后减去原来的数字。我知道剩下的数是多少。它是7 !

这个技巧不会给很多朋友留下深刻印象，但这里的结构可以让你了解更复杂的技巧是如何运作的。通过减去原来的数，剩下的是之前加的数。

让这个把戏可信的关键是插入足够的操作来误导你的观众，这样他们就不会产生怀疑。当你设计步骤时，写出给定数字的代数，<年代pan class="katex"> $n。$ $n ．$ 我们的目标是最终消去变量，只剩下一个常数。

想想除0以外的任何数。<年代pan class="katex"> $n \意味着$ $⟹ n$

请注意当前位置你可能想给你的朋友一个计算器来帮助操作。不选择0的原因稍后就会清楚。

再加上3。<年代pan class="katex"> $\ n + 3$ $⟹ n + 3.$

把结果乘以4。<年代pan class="katex"> $\暗示4(n+3) \暗示4n+12$ $⟹ 4 （ n + 3. ） ⟹ 4 n + 12$

现在把结果乘以原来的数。<年代pan class="katex"> $\暗示n(4n+12) \暗示4n^2+12n$ $⟹ n （ 4 n + 12 ） ⟹ 4 n^{2} + 12 n$

将结果加9。<年代pan class="katex"> $\意味着4 n ^ 2 + 12 + 9$ $⟹ 4 n^{2} + 12 n + 9$

现在开方。<年代pan class="katex"> $\暗示\√{4n^2+12n+9} \暗示2n+3$ $⟹ 4 n^{2} + 12 n + 9 ⟹ 2 n + 3.$

从这个数减去3。<年代pan class="katex"> $\暗示2n+3-3 \暗示2n$ $⟹ 2 n + 3. - 3. ⟹ 2 n$

除以原来的数。<年代pan class="katex"> $\暗示2n \div n \暗示2$ $⟹ 2 n \div n ⟹ 2$

啊，灵魂在向我低语你心中的数字!它是2 !

请注意如果你的朋友不听你的指示，选择了0，那么你可能会注意到在最后一步的犹豫。你可以通过立即宣布:“你已经选择了禁止的数字，不是吗?”虚无的数量……你一定会倒霉的!”当然，一些表演技巧会有帮助!

正如您所看到的，您可以用于设计这些技巧的操作种类是无限的。唯一的要求是最终结果是一个常数。

这个技巧的另一个可能的版本是给你的朋友操作，引导你的朋友到他或她开始的数字。在上面例子的最后一步，你可以告诉你的朋友除以2(而不是除以原来的数字)。然后他/她会得到他/她开始的数字。

猜有数字的数字

由于十进制系统的工作原理，对数字进行某些操作通常会使数字遵循可预测的形式。你可以利用这一点给你的朋友留下深刻印象。

与“猜测结果”技巧一样，这个技巧的最简单版本很容易理解:

想任意一个正的两位数。乘以100，然后告诉我结果。现在我知道你想的数字了!

这些技巧的关键在于原始数字隐藏在数字的某个地方。当然，这个示例将原始数字隐藏在显而易见的地方。为了让这个把戏更可信，我们的目标是增加一些误导的步骤，让数字在数字内不那么明显。

在下面的例子中，原始数字的数字将表示为<年代pan class="katex"> $\眉题{ab},$ $\overline{一个 b} ，$ 在哪里<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 而且<年代pan class="katex"> $b$ $b$ 是数字的位数。

想任意一个正的两位数。<年代pan class="katex"> $\表示\覆盖{ab} \表示10a+b$ $⟹ \overline{一个 b} ⟹ 10 一个 + b$

请注意当前位置你可能想给你的朋友一个计算器来帮助操作。

把那个数加3。<年代pan class="katex"> $\意味着10 a + b + 3$ $⟹ 10 一个 + b + 3.$

现在乘以4。<年代pan class="katex"> $\暗示4(10a+b+3) \暗示40a+4b+12$ $⟹ 4 （ 10 一个 + b + 3. ） ⟹ 40 一个 + 4 b + 12$

这个数加6。<年代pan class="katex"> $\暗示40a+4b+12+6 \暗示40a+4b+18$ $⟹ 40 一个 + 4 b + 12 + 6 ⟹ 40 一个 + 4 b + 18$

把结果乘以5。<年代pan class="katex"> $\暗示5(40a+4b+18) \暗示200a+20b+90$ $⟹ 5 （ 40 一个 + 4 b + 18 ） ⟹ 200 一个 + 20 b + 90$

现在加1。<年代pan class="katex"> $\暗示200a+20b+25+1 \暗示200a+20b+91$ $⟹ 200 一个 + 20 b + 25 + 1 ⟹ 200 一个 + 20 b + 91$

再乘以5。<年代pan class="katex"> $\暗示5(200a+20b+91) \暗示1000a+100(b+4)+55$ $⟹ 5 （ 200 一个 + 20 b + 91 ） ⟹ 1000 一个 + 100 （ b + 4 ） + 55$

让你的朋友给你他或她的结果。这些步骤将把原来的数字放入千位和百位，外加4。例如，如果你的朋友最初的号码是89，那么他或她给你的结果应该是9355。你所要做的就是从这些数字中减去4，然后你就可以猜出你朋友的号码了。

这个技巧是通过“分阶段”乘以100来实现的:首先乘以4，然后乘以5，然后再乘以5，这些相乘之间的其他操作是误导。

另一种使这个技巧更可信的方法是个性化添加或减去的数字。下面是一个例子:

你的生日是几月几号?添加这个数字。

这需要你心算，这样你就能知道最后加或减哪个数。这是一个挑战，但它会让你的朋友更难预测你是否多次使用这个技巧。

猜数字<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chinese-remainder-theorem/" class="wiki_link" title="中国剩余定理" target="_blank">中国剩余定理

根据中国的余数定理，只要你的朋友除以某个数后的余数，你就可以猜出他的数。例如:

选择1到250之间的任何整数。

当你除以11时，把余数给我。

当你除以23时，把余数给我。

这些信息足以确定这个数是多少。让<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 被数，让<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 求数被11除时的余数，让<年代pan class="katex"> $b$ $b$ 是数除以23后的余数:

$\开始{数组}{cccl} \文本{如果}& \通用b & \文本{然后}& x = 23 + b (a - b)。文本{如果}\ \ \ & < b & \文本{然后}& x = 23 (a - b + 11) + b。结束\{数组}$

这个技巧之所以有效是因为每一个可能的有序对<年代pan class="katex"> $(a, b)$ $（一个， b ）$ 对应1到253之间的一个不同整数。这一事实<年代pan class="katex"> $23 \equiv 1 \pmod{11}$ $2 3. \equiv 1 （米 o d 11 ）$ (23除以11，余数是1)让你心算这个数更容易。你可以围绕这一概念设计自己的技巧，仔细挑选与之相关的数字。

在使用这个技巧之前，先选择正整数<年代pan class="katex"> $米$ $米$ 而且<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 这样<年代pan class="katex"> $m < n$ $米 < n$ 而且<年代pan class="katex"> $N \equiv 1 \pmod{m}$ $n \equiv 1 （米 o d 米）$ (当<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 除以<年代pan class="katex"> $米,$ $米，$ 余数是1)。

让你的朋友在1和某个小于或等于的数之间选择任何整数<年代pan class="katex"> $锰。$ $米 n ．$

让你的朋友把数除以的余数告诉你<年代pan class="katex"> $m。$ $米．$ 让剩下的一切都过去吧<年代pan class="katex"> $一个。$ $一个．$

让你的朋友把数除以的余数告诉你<年代pan class="katex"> $n。$ $n ．$ 让剩下的一切都过去吧<年代pan class="katex"> $b。$ $b ．$

你可以通过以下方式知道具体的数字:

$\开始{数组}{cccl} \文本{如果}& \通用b & \文本{然后}& x = n + b (a - b)。文本{如果}\ \ \ & < b & \文本{然后}& x = n + b (a - b + m)。结束\{数组}$

测试

有关……

内容

然后，你的牌神奇地出现在这叠牌的最上面。这是如何做到的?