一个度量空间是一对
(米,d),在哪里
米是一个集合
d是一个函数
米×米→R满足以下公理:
对于任何
x,y,z∈米,
-
d(x,y)=d(y,x)(对称公理:两点之间的距离不应该取决于点输入距离函数的顺序);
-
d(x,y)=0当且仅当
x=y(唯一距离给定点为零距离的点是给定点本身);
-
d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)的公理化<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangle-inequality/" class="wiki_link" title="三角不等式gydF4y2Ba" target="_blank">三角不等式).
如果
d满足这些公理,它被称为a度规.
这些公理旨在从度量中提取最常见的属性。我们已经可以看到,这些公理所暗示的结果与关于距离的直觉是一致的。例如,这些公理暗示两点之间的距离永远不为负。
如果
(米,d)度量空间和
x,y∈米,然后
d(x,y)≥0.
根据三角形不等式,
d(x,x)≤d(x,y)+d(y,x).我们知道
d(x,x)=0而且
d(x,y)=d(y,x),所以这个不等式意味着
2d(x,y)≥0.将其除以2得到所需的结果。
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下面有多少对
(米,d)度量空间是吗?
米=Rn而且
d((x1,...,xn),(y1,...,yn))=1≤我≤n马克斯∣x我−y我∣
米={一个,b,c,d},在哪里
d(一个,b)=d(一个,c)=3.,
d(一个,d)=d(b,c)=7,
d(b,d)=d(c,d)=11
米=C[0,1],即连续函数的集合
[0,1]→R,
d(f,g)=x∈[0,1]马克斯∣f(x)−g(x)∣
米=C[0,1]而且
d(f,g)=∫01(f(x)−g(x))2dx