待定系数法

待定系数法用于寻找特定求和问题的通式。只有当总和可以表示为多项式函数时，该方法才能使用。

该方法包括将求和与一般多项式函数进行比较，然后进行简化。

让我们从一个简单而众所周知的总结开始。

求一个通式 $1 + 2 + 3 + \dots + n。$

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让我们首先假设上面的总和可以表示为一个多项式函数 $F \左(n \右)$形式的 $f \左(n \右)={一}_{0}+{一}_ {1}n +{一}_ {2}{n} ^ +{一}_ {2}{3}{n} ^ {3} + \ cdots。$让我们把这个函数等同于我们原来的和: $1 + 2 + 3 + \点+ n ={一}_{0}+{一}_ {1}n +{一}_ {2}{n} ^ +{一}_ {2}{3}{n} ^ {3} + \ cdots。\ qquad (1)$现在我们要化简这个方程。没有简单的化简方法因为左边不是恰当的表达式。我们首先需要把左边的表达式表示为一个固有表达式。

最简单的方法是将上面的表达式与求和进行比较 $1 + 2 + 3 + \dots + n+ \left(n+1 \right)$．

我们知道 $\开始{对齐}1 + 2 + 3 + \ cdots + n + \离开(n + 1 \右)& = f \左(n + 1 \) \ \ 1 + 2 + 3 + \ cdots + n + \离开(n + 1 \右)& ={一}_{0}+{一}_{1}\离开(n + 1 \右)+{一}_{2}{\离开(n + 1 \右)}^ +{一}_{2}{3}{\离开(n + 1 \右)}^ {3}+ \ cdots。\qquad (2) \end{aligned}$然后 $(2) - (1)$给了 $n + 1 ={一}_{1}+ \离开(2 n + 1 \右){一}_{2}+ \离开(3 {n} ^ {2} + 3 n + 1 \右){一}_ {3}+ \ cdots。$因为这个表达式对所有正整数都成立 $n$我们可以比较左边和右边的度数。但在这之前，值得注意的是左边的最高次是1。使这个方程满足 $n$，则右侧的次数也必须为1。因此我们可以消去右边所有的变量除了 ${A}_{1}+\左(2n+1 \右){A}_{2}$因为其他的值都是0。那么新的方程是 $n+1={A}_{1}+\left(2n+1 \right) {A}_{2}，$这给了 $\{对齐}开始n + 1 & ={一}_{1}+ \离开(2 n + 1 \右){一}_ {2 } \\ & = 2 {} _ {2} n + \离开({一}_{1}+{一}_ {2}\)\ \ \ \ 2 A₂& = 1 ~ A_1 + A₂= 1 \ \ \ Rightarrow A_1 = A₂= \压裂{1}{2}。结束\{对齐}$替换 $A_1 = a₂= \压裂{1}{2}$成 $(1）$给了 $开始\{对齐}1 + 2 + 3 + + n \点& ={一}_{0}+{一}_ {1}n +{一}_ {2}{n} ^{2} +{一}_ {3}{n} ^ {3} + \ cdots \\ & = { } _{0} + \压裂{1}{2}n + \压裂{1}{2}{n} ^ {2} + 0 \ cdot {n} ^ {3} + \ cdots \ \ & ={一}_{0}+ \压裂{1}{2}n + \压裂{1}{2}{n} ^{2}。结束\{对齐}$现在我们只需要求出 ${a}_{0}$，这很简单。因为上面的表达式对的所有值都成立 $n$，我们可以试着代入一个特定的值 $n$代入方程，然后求 ${a}_{0}$．为了简单起见，让我们试试 $N = 2$(但你也可以尝试其他正整数 $n$)： $开始\{对齐}1 + 2 & ={一}_{0}+ \压裂{1}{2}\ * 2 + \压裂{1}{2}{2}\倍^{2}\ \ 3 & ={一}_{0}+ 1 + 2 \ \{一}_{0}& = 0。结束\{对齐}$因此，我们现在已经完全化简了方程。用恰当的方式表达，我们有 $开始\{对齐}1 + 2 + 3 + \ cdots + n & = \压裂{1}{2}n + \压裂{1}{2}{n} ^ {2 } \\ & = \ 压裂{{n} ^ {2} + n} {2 } \\ & = \ 压裂{n \离开(n + 1 \右)}{2}。\ _\方形\端{对齐}$

让我们试试这个问题稍微难一点的版本。在看到解决方案之前，试着自己找出答案!

求一个通式 ${1} ^ {2} + {2} ^ {2} + {3} ^ {2} + \ cdots + {n} ^{2}。$

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在前面的问题中，我们有 $\开始{对齐}{1}^ {2}+ {2}^ {2}+ \ cdots + {n} ^{2} & ={一}_{0}+{一}_ {1}n +{一}_ {2}{n} ^{2} +{一}_ {3}{n} ^{3} +{一}_ {4}{n} ^ {4} + \ cdots \ \{1} ^{2} +{2} ^{2} + \点+ {n} ^{2} +{\离开(n + 1 \右)}^{2}& ={一}_{0}+{一}_{1}\离开(n + 1 \右)+{一}_{2}{\离开(n + 1 \右)}^ +{一}_{2}{3}{\离开(n + 1 \右)}^ +{一}_{3}{4}{\离开(n + 1 \右)}^ {4}+ \ cdots。结束\{对齐}$在减去方程的时候， ${\左(n + 1 \右)}^{2}={一}_{1}+{一}_{2}\离开(2 n + 1 \右)+{一}_{3}\离开(3 {n} ^ {2} + 3 n + 1 \右)+{一}_{4}\离开(4 {n} ^ {3} + 6 {n} ^ {2} + 4 n + 1 \右)+ \ cdots。$右边度数大于2的变量可以弃用: $\开始{对齐}{\离开(n + 1 \右)}^{2}& ={一}_{1}+{一}_{2}\离开(2 n + 1 \右)+{一}_{3}\离开(3 {n} ^ {2} + 3 n + 1 \) \ \ {n} ^ {2} + 2 n + 1 & ={一}_{1}+{一}_{2}\离开(2 n + 1 \右)+{一}_{3}\离开(3 {n} ^ {2} + 3 n + 1 \右)。结束\{对齐}$以适当的形式表达， ${n} ^ {2} + 2 n + 1 = 3{一}_ {3}{n} ^{2} + \离开(2{一}_{2}+ 3{一}_{3}\右)n + \离开({一}_{1}+{一}_{2}+{一}_{3}\右)。$在比较度数时， $开始\{对齐}{n} ^{2} = 3{一}_ {3}{n} ^ {2} & \ Rightarrow{一}_{3}= \压裂{1}{3}\ \ 2 n = \离开(2{一}_{2}+ 3{一}_{3}\右)n \ Rightarrow 2 = 2{一}_{2}+ 3{一}_ {3}& \ Rightarrow A₂= \压裂{1}{2}\ \ 1 ={一}_{1}+{一}_{2}+{一}_ {3}& \ Rightarrow{一}_{1}= \压裂{1}{6}。结束\{对齐}$把这个代入原方程， $\开始{对齐}{1}^ {2}+ {2}^ {2}+ \ cdots + {n} ^{2} & ={一}_{0}+{一}_ {1}n +{一}_ {2}{n} ^{2} +{一}_ {3}{n} ^{3} +{一}_ {4}{n} ^ {4} + \ cdots \ \ & ={一}_{0}+ \压裂{1}{6}n + \压裂{1}{2}{n} ^ + \压裂{1}{2}{3}{n} ^ +{一}_ {3}{4}{n} ^ {4} + \ cdots \ \ & ={一}_{0}+ \压裂{1}{6}n + \压裂{1}{2}{n} ^ + \压裂{1}{2}{3}{n} ^{3},结束\{对齐}$因为度大于3的变量可以被移除。

因为所有的值 $n$功，我们可以代入 $n$求的值 ${a}_{0}$．为 $N = 1$， ${1} ^{2} ={一}_{0}+ \压裂{1}{6}\ * 1 + \压裂{1}{1}{2}\倍^ + \压裂{1}{2}{3}{1}\倍^{3}={一}_{0}+ \压裂{1}{6}+ \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{3}\ Rightarrow{一}_{0}= 0。$因此, $\开始{对齐}{1}^ {2}+ {2}^ {2}+ {3}^ {2}+ \ cdots + {n} ^{2} & = \压裂{1}{6}n + \压裂{1}{2}{n} ^ + \压裂{1}{2}{3}{n} ^ {3 } \\ & = \ 压裂{2 {n} ^ {3} + 3 {n} ^ {2} + n} {6 } \\ & = \ 压裂{n \左(n + 1 \) \左(2 n + 1 \右)}{6}。\ _\方形\端{对齐}$

现在你能找到一个一般的公式来求三次或四次幂的和吗?

找到一个通用的形式 $1 \ \ cdot3 cdot2 + 2 + 3 \ cdot4 + \ cdots + n (n + 1)。$

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我们有 ${对齐}1 \ \开始cdot2 + 2 \ cdot3 + \ cdots + n (n + 1) = &现代{0}+现代{1}n +现代{2}n ^ 2 + \ cdots \ \ 1 \ cdot2 + 2 \ cdot3 + \ cdots + n (n + 1) + (n + 1) (n + 2) = &现代{0}+现代{1}(n + 1) +现代{2}(n + 1) ^ 2 + \ cdots。结束\{对齐}$通过减法，我们得到 $(n + 1) (n + 2) =现代{1}+现代{2}(2 n + 1) +现代{3}\离开(3 n ^ 2 + 3 n + 1 \右)+现代{4}\离开(4 n ^ 3 + 6 n ^ 2 + 4 n + 1 \右)+ \ cdots。$通过比较相应的系数，我们得到 $3现代{3}= 1,\四3现代{3}+ 2现代{2}= 3,\四现代{1}+现代{2}+现代{3}= 2,$这给了 $现代{3}= \ dfrac{1},{3} \四现代{2}= 1,\四现代{1}= \ dfrac{2}{3}。$

我们的和就变成了 $1 \ cdot2 + 2 \ cdot3 + \ cdots + n (n + 1) = A_0 + \ dfrac {2} {3} n + n ^ 2 + \ dfrac {1} {3} n ^ 3。$找到 $现代{0}$,替代 $n = 1$，则级数化简为第一项: $2=A_{0}+2 \右tarrow A_{0}=0。$关于简化和因式分解， $1 \ \ cdot3 cdot2 + 2 + 3 \ cdot4 + \ cdots + n (n + 1) = \ dfrac {1} {3} n (n + 1) (n + 2)。\ _ \广场$