假设我们已知几个连续的整数点,在这些点上求一个多项式的值。这告诉了我们关于多项式的什么信息?为了回答这个问题,我们创建了下面的表,称为gydF4y2Ba差异表gydF4y2Ba:gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba⋮gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2BaDgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba...gydF4y2Ba
- 在第一列中,我们填满多项式计算的点(我假设是gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba...gydF4y2Ba).gydF4y2Ba
- 在第二列中,我们在这些点上填上多项式的相应值。gydF4y2Ba
- 在第三列中,我们计算前一列中两个元素之间的差。这被称为gydF4y2Ba一次差gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
- 在第四列中,我们计算前一列中两个元素之间的差。这被称为gydF4y2Ba第二个区别gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
我们用这种方式继续构建表的后续列gydF4y2Ba
DgydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaDgydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaDgydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
例如,如果我们已知gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba二次多项式满足吗gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba7gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
则差值表如下:gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba5gydF4y2Ba⋮gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba4gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba7gydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba5gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2BaDgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba...gydF4y2Ba
请注意,因为我们没有gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,我们无法计算gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaDgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba或gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.现在,还没有任何理由让这个表结束;如果给定无穷多个值,我们总能计算出各项的差。然而,这里有一个有趣的事实。gydF4y2Ba
如果一个多项式gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba有学位gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba,那么gydF4y2Ba
kgydF4y2BathgydF4y2Ba差是恒定的。gydF4y2Ba
此外,gydF4y2Ba
kgydF4y2BathgydF4y2Ba差等于gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba!gydF4y2Ba乘以的前导系数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
看到gydF4y2Ba证明gydF4y2Ba在下面。gydF4y2Ba
在上面的例子中,我们可以看到gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.自gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba是二次多项式吗,上面的事实告诉我们的gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba对所有gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba,这允许我们填充表中的其他项。我们得到gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba所以gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba7gydF4y2Ba因此gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba9gydF4y2Ba.这些值之前我们是不知道的,但是差分表允许我们在不知道多项式的情况下计算它们gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba!gydF4y2Ba
我们可以继续下面的差值表:gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba5gydF4y2Ba6gydF4y2Ba⋮gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba4gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba7gydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba9gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba7gydF4y2Ba9gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2BaDgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba...gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba是一个满足的二次多项式吗gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba9gydF4y2Ba是什么gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba?gydF4y2Ba
利用初始数据构造差分表,得到gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba9gydF4y2Ba1gydF4y2Ba9gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba6gydF4y2Ba1gydF4y2Ba0gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba4gydF4y2Ba
从上面的定理,我们知道gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba是常数,因此等于4。这使得我们可以完成如下表格:gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba9gydF4y2Ba1gydF4y2Ba9gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba3.gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba6gydF4y2Ba1gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba4gydF4y2Ba1gydF4y2Ba8gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba
因此,gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba一个三次多项式满足吗gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba,gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba是什么gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba?gydF4y2Ba
我们使用初始数据构造差异表。请注意,从哪个数开始并不重要,只要差值是1即可。gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba0gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba4gydF4y2Ba0gydF4y2BaDgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba4gydF4y2Ba
从上面,我们知道gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba是常数,因此它等于4。这样我们就可以完成下面的表格。注意,我们要计算gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba因此需要扩展更多的行。gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba5gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba0gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba4gydF4y2Ba1gydF4y2Ba5gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba4gydF4y2Ba0gydF4y2Ba4gydF4y2Ba8gydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba6gydF4y2BaDgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba
因此,gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba5gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
为函数构造差值表gydF4y2Ba
fgydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba×gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba×gydF4y2Ba⋯gydF4y2Ba×gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba−gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba为gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba来gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.请注意,gydF4y2Ba
fgydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba是次多项式吗gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这是一个特别选择的功能。我们很容易看到gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba{gydF4y2Ba0gydF4y2BakgydF4y2Ba!gydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba来gydF4y2BakgydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这使我们可以很容易地计算第一个差列为gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba{gydF4y2Ba0gydF4y2BakgydF4y2Ba!gydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba来gydF4y2BakgydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2BakgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
同样的,对gydF4y2Ba
jgydF4y2BathgydF4y2Ba差列,我们有gydF4y2Ba
DgydF4y2BajgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba{gydF4y2Ba0gydF4y2BakgydF4y2Ba!gydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba来gydF4y2BakgydF4y2Ba−gydF4y2BajgydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2BakgydF4y2Ba−gydF4y2BajgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
综上所述,差异表为gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba⋮gydF4y2BakgydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2BafgydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2BakgydF4y2Ba!gydF4y2BaDgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2BakgydF4y2Ba!gydF4y2BaDgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba...gydF4y2Ba...gydF4y2Ba...gydF4y2Ba...gydF4y2BaDgydF4y2BakgydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba0gydF4y2BakgydF4y2Ba!gydF4y2BaDgydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2BakgydF4y2Ba!gydF4y2Ba□gydF4y2Ba