矩阵

一种矩阵是数字的矩形阵列，排列成行和列。例如，左矩阵有两行三列，而右边的矩阵具有三行两列：

$\ begin {pmatrix} 1和2＆3 \\ 4＆5＆6 \ neg {pmatrix}，\ begin {pmatrix} 1和2 \\ 3＆4 \\ 5＆6 \ neg {pmatrix}。$

矩阵在各个领域的有用的，并形成了基础线性代数．其应用领域包括线性​​方程的求解系统，寻路中图论和几个应用程序群论（尤其表示论)．它们在表示方面也非常有用线性变换（尤其是旋转），并且因此复数;例如，矩阵

$\开始{pmatrix} A＆-b \\ B＆A \ {端} pmatrix$

代表复数 $一个+双$．

一种矩阵是定义添加和乘法的任何对象的矩形数组。通常，这些对象是数字，但它同样有效地有一个符号矩阵

$M = \ BEGIN {pmatrix} \ clubsuit＆\ CIRC＆\ blacksquare \\？\文本{\ S}＆\对号＆\ bigstar \ {端} pmatrix$

只要有合适的理解什么（例如） $\对号\次\ bigstar$和 $\ blacksquare + \ clubsuit$是。更正式地说，一个矩阵的元素可以从任何可以得出场地．但是，它通常最好考虑矩阵作为集合实数．

通常，在矩阵中，垂直元件被称为列并且水平元素被称为行．这尺寸的矩阵中的数量来衡量行和列矩阵有。例如，上述矩阵具有2行和3列，因此是一个 $2 \ 3倍$矩阵。调用与列具有相同行数的矩阵方矩阵并特别感兴趣的。

一矩阵的元素是由行和列它们驻留在指定的。例如，该 $\复选标记$在上述矩阵中 $m$处于职位 $（2,2）：$这 $2 ^ \ {文本ND}$行和 $2 ^ \ {文本ND}$柱子。更明确地说， $M_ {2,2} = \对号$．这种表示法是特别方便的，当元件由一些式有关;例如，矩阵

$m = \ begin {pmatrix} 2和3＆4 \\ 3＆4＆5 \\ 4＆5＆6 \ end {pmatrix}$

可以写得更简洁的 $M_ {I，J} = I + J$为了 $1 \leq i,j \leq 3$，或甚至更紧凑地 $m =（i + j）_ {3,3}$ $（$在哪里 $3,3$表示矩阵的大小 $)．$这 $我^ \ text {th}$该矩阵的行，也可表示为 $m_ {i，*}，$和 $j ^ \ text {th}$经柱 $中号_ {*，J}。$

在给定的有序矩阵中 $m \ times n，$有 $米\ CDOTÑ$存在的元素。例如，在3到3矩阵中，元素的数量是 $3 \倍3 = 9，$如果有2×4矩阵 $2 \ times 4 = 8$存在的元素。

最后，值得一列作为定义矩阵柱矢量的，因为它们是在代表点中特别有用 $N$维平面。

有关于矩阵几个简单的操作和一个有些复杂一个（乘）。第一个是加法：矩阵加法被定义只要在两个相同大小的矩阵上，通过添加相应的元素来作用：

什么是

$\开始{pmatrix} 2＆0＆5 \\ 1＆6＆8 \ {端pmatrix} + \开始{pmatrix} 3＆5＆7 \\ 1 0 2 \ {端} pmatrix？$

---

矩阵被添加为元素，因此结果是

$\ begin {pmatrix} 2 + 3＆0 + 5和5 + 7 \\ 1 + 1和6 + 0＆8 + 2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 5和5和12 \\ 2＆6＆10 \结束{pmatrix}。\ _\正方形$

如果 $a = \ begin {pmatrix} 2和3＆1 \\ 6＆-1＆5 \ end {pmatrix}$和 $b = \ begin {pmatrix} 1＆2＆-1 \\ 0＆-1＆3 \ end {pmatrix}，$然后找一个矩阵 $X$这样 $A + B - 2x = 0$．

---

我们有

$\开始{对齐} A + B - 2X = 0 \意味着X＆= \ dfrac {A + B} {2} \\＆= \ dfrac12 \比格（\ BEGIN {pmatrix} 2＆3＆1 \\ 6＆-1＆5 \端{pmatrix} + \开始{pmatrix} 1＆2＆-1 \\ 0 -1 3 \ {端pmatrix} \比格）\\＆= \ dfrac12 \开始{pmatrix} 3＆5 0 \\ 6 -2 8 \ {端} pmatrix \\＆= \ BEGIN {pmatrix} \ dfrac32＆\ dfrac52＆0 \\ 3 -1 4 \ {端} pmatrix。\ _ \方\结束{对齐}$

更正式，我们可以说明如下：

总和 $S.$两个矩阵 $A，B$同样大小的满足关系

$S_ {I，J} = A_ {I，J} + {B_ I，J}$

对所有人 $我,我$矩阵的大小之内。

也可以通过矩阵乘法标量，即单个数字，通过乘以元素 - 明智：

什么是

$3.5 \ BEGIN {pmatrix} 2＆0＆5 \\ 1＆6＆8 \ {端} pmatrix？$

---

的元素分别乘以3.5，所以结果是

$\ begin {pmatrix} 3.5 \ cdot 2＆3.5 \ cdot 0和3.5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 1＆3.5 \ cdot 6＆3.5 \ cdot 8 \ cdot 8 \ nod {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 7＆0＆017.5 \\ 3.5和21＆28 \ END {PMATRIX}。\ _ \ Square$

更正式，我们可以说明如下：

产品 $P.$恒定的 $C$和矩阵 $一种$满足关系

$p_ {i，j} = c \ cdot a_ {i，j}$

对所有人 $我,我$矩阵的大小之内。

最后，还有一个较为复杂的操作矩阵乘法．定义了两个矩阵的乘积只要当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时;换句话说，它只能相乘 $m \ times n$和 $ñ\次p$大小矩阵。在定义产品时，这将是清楚的：

产品 $P.$的 $m \ times n$矩阵 $一种$和 $ñ\次p$矩阵 $B.$满足

$p_ {i，j} = a_ {i，*} \ cdot b _ {*，j}$

对所有人 $我,我$矩阵的大小之内。

这里 $A_ {I，*}$表示这一点 $我^ \ text {th}$行 $一种$，这是一个向量， 和 $b _ {*，j}$表示这一点 $j ^ \ text {th}$列 $B.$，这也是一个矢量。因此，点 $（\ CDOT）$在这种情况下，指的是乘以由此定义的载体点积．请注意, $一世$和 $j$在被定义 $1 \ leq i \ leq m$和 $1 \ leq j \ leq p$，所以产品 $P.$将是一个 $m \ times p$矩阵。

这条规则似乎有些武断，所以最好通过一个例子来说明：

什么是

$\ begin {pmatrix} 1和2＆3 \\ 4＆5和6 \ neg {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1和2 \\ 3＆4 \\ 5＆6 \ neg {pmatrix}？$

---

首先，请注意第一个矩阵是 $2 \ 3倍$第二是 $3 \ times 2$，所以他们的产品确实定义，将是一个 $2 \ 2次$矩阵。首先考虑这一点 $1,1$产品的元素：

$\ begin {pmatrix} \ color {＃20a900} {p_ {1,1}}＆p_ {1,2} \\ p_ {2,1}＆p_ {2,2} \ neg {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1和2＆3 \\ 4＆5＆6 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1和2 \\ 3＆4 \\ 5＆6 \ neg {pmatrix}。$

它等于的点积 $1 ^ \ text {st}$行所述第一矩阵和所述的 $1 ^ \ text {st}$所述第二矩阵的列，即

$\开始{对齐} \ {开始pmatrix} \ {颜色＃20A900} {P_ {1,1}}＆P_ {1,2} \\ P_ {2,1}＆P_ {2,2} \ {端} pmatrix＆= \开始{pmatrix} \颜色{＃D61F06} {1}＆\颜色{＃D61F06} {2}＆\颜色{＃D61F06} {3} \\ 4＆5＆6 \端{pmatrix} \开始{pmatrix} \色{＃3D99F6} {1}＆2 \\\颜色{＃3D99F6} {3}＆4 \\\颜色{＃3D99F6} {5}＆6 \ {端} pmatrix \\\\ \颜色{＃20A900} {P_{1,1}}＆=（\颜色{＃D61F06} {1，2，3} \ {颜色＃333333} {）\ CDOT（} \ {颜色＃3D99F6} {1，3，5} \ {色＃333333} {）} \\＆= \颜色{＃D61F06} {1〜} \ {颜色＃333333} {\ CDOT} \ {颜色＃3D99F6} {〜1〜} \ {颜色＃333333} {+}\颜色{＃D61F06} {〜2〜} \颜色{＃333333} {\ CDOT} \颜色{＃3D99F6} {〜3〜} \颜色{＃333333} {+} \颜色{＃D61F06} {〜3〜} \ {颜色＃333333} {\ CDOT} \ {颜色＃3D99F6} {〜5} \\＆= 22。\结束{对齐}$

因此，结果的左上方进入是22.矩阵的其余部分可以以相同的方式填充;例如，

$\ begin {pmatrix} p_ {1,1}＆\ color {＃20a900} \\ p_ {2,1}＆p_ {2,2} \ neg {pmatrix} = \ begin {pmatrix}\color{#D61F06}{1}&\color{#D61F06}{2}&\color{#D61F06}{3}\\4&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\color{#3D99F6}2\\3&\color{#3D99F6}{4}\\5&\color{#3D99F6}{6}\end{pmatrix}.$

最终的结果是

$P = \ BEGIN {pmatrix} 22 28 \\ 49和64 \ {端} pmatrix。\ _ \方$

如果 $A = \ BEGIN {pmatrix} 1 -2 3 \\ 2＆3＆-1 \\ -3 1＆2 \ {端} pmatrix$和 $b = \ begin {pmatrix} 1＆0＆2 \\ 0＆1＆2 \\ 1＆2＆0 \ end {pmatrix}，$然后找到 $ab$和 $BA.$．你能从最后的两个矩阵中得出什么结论？

---

这两个 $一种$和 $B.$是顺序的方形矩阵 $3 \ times 3$．因此，这两 $ab$和 $BA.$是明确的，并且是相同顺序的矩阵 $3 \ times 3$．

$\ begin {对齐} ab＆= \ begin {pmatrix} 1＆-2和3 \\ 2＆3＆-1 \\ -3＆1＆2 \ neg {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} 1＆0＆2 \\ 0＆1＆2 \\ 1＆2＆0 \ neg {pmatrix} \\＆= \ begin {pmatrix} 1 \ cdot 1 +（-2）\ cdot 0 + 3 \ cdot 1＆1CDOT 0 +（-2）\ cdot 1 + 3 \ cdot 2＆1 \ cdot 2 +（-2）\ cdot 2 + 3 \ cdot 0 \\ 2 \ cdot 1 + 3 \ cdot 0 +（-1）\CDOT 1＆2 \ CDOT 0 + 3 \ CDOT 1 +（-1）\ CDOT 2＆2 \ CDOT 2 + 3 \ CDOT 2 +（-1）\ CDOT 0 \\（-3）\ CDOT 1 + 1 \CD.ot 0 + 2 \cdot 1 & -3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & -3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 10 \\ -1 & 5 & -4 \end{pmatrix} \\\\ BA & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -5 & 0 & 7 \\ -4 & 5 & 3 \\ 5 & 4 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$

很明显，你可以看到， $ab \ neq ba$．因此，我们可以得出结论：矩阵的乘积不一定是可交换． $_\正方形$

它仍然是公认不清楚为什么矩阵乘法是以这种方式定义的。一种主要原因是在使用线性方程系统。每个等式的系数可以组装成一个系数矩阵和变量可以被布置成列向量。系数矩阵和列向量的乘积本身将是列向量，每个方程的值。例如，方程系统

$\左\ lbrace \开始{对齐} X + 2Y + 3Z＆= 9 \\ 3X + Y + 4Z＆= 12 \\ 2X + 4Y - z＆= 4 \ {端对齐} \右。$

能用更简洁的形式写出来吗

$\开始{pmatrix} 1＆2＆3 \\ 3＆1＆4 \\ 2＆4＆-1 \端{pmatrix} \开始{pmatrix} X \\ý\\Ž\端{pmatrix} = \开始{pmatrix} 9 \\ 12 \\ 4 \端{pmatrix}。$

除了节省空间之外，这是一个非常有用的转换;特别地，如果可以“划分”矩阵，很容易找出什么 $x，y，z$通过划分系数矩阵。不幸的是，部门需要更多的努力来定义，因此对此的进一步解释将留给后面的部分。

作为有关矩阵乘法的警告，了解以下是非常重要的：

矩阵乘法是不是交换。换句话说，它是不是一般来说 $AB = BA$．

看到这是最简单的方法是矩阵乘法仅限于 $m \ times n$和 $ñ\次p$矩阵;扭转他们的订单给出了一个产品 $ñ\次p$矩阵和AN $m \ times n$矩阵， $P.$不一定等于 $m$．即使在这样的情况下（例如，方阵），乘法通常是不可交换的。矩阵 $A，B$这确实满足 $AB = BA$被（适当地）称为通勤矩阵．

做两个矩阵 $\开始{pmatrix} 1 1 \\ 0 0 \ {端} pmatrix$和 $\ begin {pmatrix} 2＆0 \\ 1＆1 \ END {PMATRIX}$通勤？

---

没有，因为

$\开始{pmatrix} 1 1 \\ 0 0 \端{pmatrix} \开始{pmatrix} 2＆0 \\ 1＆1 \端{pmatrix} = \开始{pmatrix} 3＆1 \\ 0 0 \端{pmatrix}$

但

$\开始{pmatrix} 2四维\ \ 1 & 1 \ {pmatrix}结束\ {pmatrix} 1 & 1 \ \ 0开始结束四维\ {pmatrix} = {pmatrix} \开始2 2 \ \ 1 & 1 \ {pmatrix}结束。\ _\正方形$

最后，值得注意的是一个特殊的矩阵：在身份矩阵

$1-N = \开始{pmatrix} 1 0 0 \ ldots＆0 \\ 0＆1＆0 \ ldots＆0 \\ 0 0 1＆\ ldots＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ 0 0 0 \ ldots＆1 \端{pmatrix}$

这是一个 $ñ\ n次$除了主角线之外的零点是零的矩阵，其包含所有1S。例如，

$I_2 = \开始{pmatrix} 1 0 \\ 0＆1 \端{pmatrix}，\ qquad I_3 = \开始{pmatrix} 1 0 0 \\ 0＆1＆0 \\ 0 0 1 \端{pmatrix}．$

它满足属性，

$ia = ai = a$

对于任何一个 $ñ\ n次$矩阵 $一种$．原因应该从上述定义中清除。

在基质上的两个有用的功能是翻倒和决定因素．这翻倒的 $m \ times n$矩阵 $一种$是一个 $Ñ\乘以m$矩阵 $^ T$使得行 $一种$是列的列 $^ T$，以及列 $一种$是的行 $^ T$．例如，

$开始\ {pmatrix} 1 2 3 4 5和6 \ \ \ {pmatrix}结束^ T = \开始{pmatrix} 1和4 \ \ 2和5 \ \ 3 6 \ {pmatrix}结束。$

转置满足了一些有用的属性：

• $（a + b）^ t = a ^ t + b ^ t$
• $（ab）^ t = b ^ ta ^ t ta ^ t$
• $（a ^ t）^ t = a。$

其中第二个是因为它最有用的（大致）表示性能左乘法保持真正的右乘法也是如此。

更有趣的是决定因素矩阵。决定蛋白有几个同样有效的定义，尽管所有人都会在这一点上似乎是任意的，而不是了解决定因素应该计算的内容。

形式上，决定因素是一个功能 $\文本{det}$从该组方阵的到实数集，其满足3个重要的性质：

• $\文本{det}（i）= 1;$
• $\文本{det}$是线性的矩阵的行;
• 如果一个矩阵的两行 $m$是相等的， $\ det（m）= 0。$

第二条件是迄今为止最重要的。这意味着矩阵的任何行被写为两个其他向量的线性组合，并且可以通过“拆分”该行来计算该决定因素。例如，在下面的示例中，第二行 $（0,2,3）$可以写成 $2 \ CDOT（0,1,0）+ 3 \ CDOT（0,0,1）$， 所以

$\ text {det} \ begin {pmatrix} 1＆0＆0 \\ 0＆2＆3 \\ 0＆0＆3 \ end {pmatrix} = 2 \ cdot \ text {det} \ begin {pmatrix} 1＆0＆0 \\ 0＆1＆0 \\ 0＆0＆1 \ neg {pmatrix} +3\ cdot \ text {det} \ begin {pmatrix} 1＆0＆0 \\ 0＆0＆1 \\ 0＆0＆0＆0＆0＆0＆1 \ END {PMATRIX} = 2。$

一个关键的定理说明这一点：

恰好存在满足上述3个关系的功能。

不幸的是，除了最简单的矩阵外，这对于所有的矩阵都是非常困难的，所以最好使用另一种定义。主要有两种:未成年人的决定因素和歧化的决定因素．

两者中的第一个，由未成年人的决定因素使用递归．基础案例很简单：一个的行列式 $1 \ times 1$与元素的矩阵 $一种$只是 $一种$．请注意，这上面同意的条件下，由于

$\文本{DET} \ {开始} pmatrix一个\ {端pmatrix} = A \ CDOT \文本{DET} \ {开始} pmatrix 1个\ {端} pmatrix =一$

因为 $\ text {det} \ begin {pmatrix} 1 \ neg {pmatrix} = i$．递归步骤如下 $a_ {ij}$通过删除所形成的矩阵 $我^ \ text {th}$行和 $j ^ \ text {th}$柱子。例如，

$a = \ begin {pmatrix} 1＆2＆3 \\ 4＆5＆6 \\ ext {pmatrix} \ notel a_ {11} = \ begin {pmatrix} 5和6 \\ 8＆9 \ neg {pmatrix}。$

那么决定簇如下：

一个决定因素 $ñ\ n次$矩阵 $一种$是

$\文本{DET}（A）= \ sum_ {I = 1} ^ N（-1）^ {I + 1} {A_ 1，I} \ {文本DET}（A_ {1I}）= A_ {1，1} \ {文本DET} A_ {11} -a_ {1,2} \ {文本DET} A_ {12} + \ cdots。$

例如,

什么是决定因素 $\开始{pmatrix} A＆B \\ C＆d \ {端} pmatrix？$

---

我们写

$\text{det}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = a ~\text{det}\begin{pmatrix}d\end{pmatrix} -b ~\text{det}\begin{pmatrix}c\end{pmatrix} = ad-bc。\ _\正方形$

不幸的是，这些计算可能会变得相当乏味;已经为 $3 \ times 3$矩阵，公式太长而无法在实践中记忆。

备用定义使用排列。让 $\西格玛$是的置换 $\ {1，2，3，\ ldots，正\}$， 和 $S.$该组的排列。

然后是一个决定因素 $ñ\ n次$矩阵 $一种$是

$\总和_ {\西格玛\在S} \左（\ {文本SGN}（\西格马）\ {prod_ I = 1} ^ {N} A_ {I，\西格马（ⅰ）} \右）。$

这可能看起来比之前的公式更吓人，但实际上它更直观。它本质上说的是:

选择 $N$要点 $一种$这样的这样，没有两个是在同一行中，没有两个在同一列中，并且乘以它们，也可以乘以 $-1$如果排列有奇数号。行列式是所有选项的和 $N$元素。

当矩阵包含许多零时，这种定义特别有用，然后大部分产品消失。

这是一个例子：

什么是决定因素 $\开始{pmatrix} A＆B \\ C＆d \ {端} pmatrix？$

---

有两种排列 $\ {1,2 \}：$ $\ {1,2 \}$本身和 $\ {2,1 \}$．第一具有正号（因为它具有0换位）和第二具有负号（因为它具有1个换位），所以决定因素是

$\文本{DET}（A）= \总和_ {\西格玛\在S} \左（\文本{SGN}（\西格马）\ prod_ {I = 1} ^ {N} A_ {I，\西格马（I）} \右）= 1 \ CDOT A_ {1,1} {A_ 2,2} +（-1）\ CDOT A_ {1,2} {A_ 2,1} =广告-BC。$

不出所料，这与上述结果相同。 $_\正方形$

行列式是一个非常重要的功能，因为它满足了许多可以从上述的3个条件中导出的附加属性。它们分别是：

1. 可乘： $文本\{侦破}(AB) ={侦破}\文本(一)\文本{侦破}(B)。$
2. 行运行下的不变性：如果 $一种'$是通过将任何行添加到另一行的倍数来形成的矩阵 $\ text {det}（a）= \ text {det}（a'）。$
3. 转置不变： $\文本{DET}（A）= \ {文本DET}（A ^ T）。$
4. 在行交换下的标志更改：如果 $一种'$是通过交换两行的位置来形成的矩阵 $\ text {det}（a'）= - \ text {det}（a）。$

如下一节所示，乘法性质是特别重要的。

在矩阵乘法部分的末尾，注意到“划分”矩阵将是一个非常有用的操作。要尝试创建一个，重要的是要了解Diale的定义：

由数除以 $C$相当于乘以数字 $\ frac {1} {c}。$

换句话说，除以 $C$相当于乘以数字 $D.$这样 $CD = 1$．这使得怎样划分“应该”做的意义：通过分割 $C$然后乘以乘以 $C$应该是等效无为，即通过1乘以上面定义确保此的。

黑客帝国“师”，它应该存在，应该遵循同样的原则：由矩阵相乘，然后除以它应该是相当于什么都不做。在矩阵乘法，然而，无所事事的等效乘以 $一世$．

这就引出了一个自然的定义:

这逆矩阵的 $一种$是一个矩阵 $甲^ { - 1}$这样 $aa ^ { - 1} = a ^ { - 1} a = i$．

一个自然的问题是所有矩阵是否具有逆。遗憾的是，答案是否定的，但是这并不奇怪：不是所有的数字有逆要么（这是不可能除以0）。事实上，从上一节的行列式的乘法性质表明这一点：自 $AA ^ { - 1} = I$那

$\ BEGIN {对齐} \ {文本DET} \大（AA ^ { - 1} \大）= \ {文本DET}（I）\\ \文本{DET}（A）\ {文本DET} \大（甲^ { - 1} \大）= \ {文本DET}（I）\\＆= 1 \ {端对齐}$

所以有必要 $\文本{DET}（A）$是非零。这是一个足够的条件有点困难，但这确实如此：

如果它具有非零确定矩阵，则矩阵具有反向。

这是值得记住的公式中的 $2 \ 2次$案件：

该矩阵的逆矩阵 $\开始{pmatrix} a和b \\ C＆d \ {端} pmatrix$，如果它存在，是

$\ frac {1} {ad-bc} \ begin {pmatrix} d＆-b \\ - c＆a \ neg {pmatrix}。$

这不是难以验证的。

一般情况下，逆矩阵可以通过分析得到Cofactor矩阵， 一个 $ñ\ n次$矩阵 $\ text {cof}（a）$满意

$\文本{COF}（A）_ {I，J} =（ - 1）^ {I + J} \ {文本DET} A_ {ジ}$

在哪里 $a_ {ji}$是指通过去除形成的基体 $j ^ \ text {th}$行和 $我^ \ text {th}$从列 $一种$．该矩阵满足属性

$\ text {cof}（a）a = a〜\ text {cof}（a）= \ text {det}（a）i。$

这提供了另一个原因 $一种$如果且仅当它具有非零决定因素时是可逆的。它也值得注意的是 $2 \ 2次$辅助因子矩阵 $\开始{pmatrix} d＆-b \\ - C＆A \ {端} pmatrix$，与上面的公式对齐。

看到这里为文章全文：使用矩阵求解线性系统．

上述各部分提供了求解线性方程组的一般方法：

1. 在系数矩阵中排列系数 $一种$．
2. 在向量中排列变量 $\ mathbf {v}$．
3. 安排所得到的值到另一个载体 $\ mathbf {B}$．目标现在可以解决方程 $一个\ mathbf {v} = \ mathbf {b}。$
4. 计算 $甲^ { - 1}$，逆 $一种$中，例如，通过从上一节辅因子的方法。
5. 乘以上述等式的两侧 $甲^ { - 1}$在左边。然后 $\ mathbf {v} = a ^ { - 1} \ mathbf {b}$，这是一个简单的矩阵乘法。

还有一个潜在的缺陷：逆 $一种$不存在。这意味着决定因素 $一种$是0，所以有两排 $一种$是彼此的整数倍;这意味着，方程的原系统有这样的人彼此的倍数两个方程。这意味着，有没有或无穷多解。

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