数学的投票gydF4y2Ba

这是一个假想的选举团问题，在这个问题中，所有人都投一票，但他们的代表投另一票。从[1]检索。gydF4y2Ba

投票，从数学的角度来看，是一个集合个人偏好的过程，以一种试图描述整个群体偏好的方式。这对投票可以是一个最好的选择,如哪家餐馆你和你的朋友想去,或者决定谁应该让一小群决策者——比如决定多少席位应该去学生、教师和管理在大学董事会的决定。gydF4y2Ba

将个人的偏好以一种最公平地代表群体愿望的方式聚集起来，其意义形式化是极其困难的。在这个领域有很多令人惊讶的结果gydF4y2Ba社会选择理论gydF4y2Ba所谓的“不可能定理”表明，我们对“公平”的概念往往是不相容的。一种方式的公平可能会妨碍另一种方式的公平。投票系统是否公平还取决于投票的方式:例如，人们可以只描述他们的首选，按顺序排列他们的所有选择，或者给每个可能的选择打分。gydF4y2Ba

许多投票系统并不是特别健壮，因为当少数选民改变偏好时，它们可能会以不明显的方式对总体偏好的变化产生影响。下面，一个令人惊讶的强有力的投票方法和几个相关的悖论在投票理论的数学讨论。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba孔多塞的方法gydF4y2Ba是一种从个人偏好确定总体偏好的稳健方法，其工作原理是在两个选择之间进行每一个可能的比较，找到优胜者，然后将两两结果链接在一起，形成整体排序。gydF4y2Ba

具体来说，要有一组选民gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$以及一系列选项gydF4y2Ba $OgydF4y2Ba$投票表决。每个选民gydF4y2Ba $在v v \gydF4y2Ba$定义他们在集合上的个人偏好排名gydF4y2Ba $OgydF4y2Ba$．这意味着对于任何gydF4y2Ba $o_1, o_2，在O中gydF4y2Ba$,要么gydF4y2Ba $o_1 \组的成分gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $提取成分\组o_1gydF4y2Ba$．例如，如果爱丽丝在商店买苹果、香蕉或哈密瓜之间投票，而她更喜欢哈密瓜而不是香蕉，更喜欢香蕉而不是苹果，她会把这些事实表达为“哈密瓜”gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$香蕉和香蕉gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$苹果。”此外，这个命令必须服从gydF4y2Ba传递gydF4y2Ba规则。如果gydF4y2Ba $o_1 \组的成分gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $提取成分\组o_3gydF4y2Ba$，那么它一定是真的gydF4y2Ba $o_1 \组o_3gydF4y2Ba$．在前面的例子中，爱丽丝所陈述的偏好暗示了她也一定偏爱“哈密瓜”gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$苹果。”gydF4y2Ba

一旦每个选民指定了他们的偏好，每一对选项gydF4y2Ba $OgydF4y2Ba$进行比较，计算每个选民倾向于其中一个的次数。如果5个选民更喜欢gydF4y2Ba $o_1gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $提取成分gydF4y2Ba$3个选民更喜欢gydF4y2Ba $提取成分gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $o_1gydF4y2Ba$，则该对的总偏好为gydF4y2Ba $o_1 \ geq_ {gg}提取成分gydF4y2Ba$．通过对这些个体进行比较，并使用传递规则计算出其余的隐含偏好，可以找到总体偏好。gydF4y2Ba

爱丽丝，鲍勃和卡罗尔在为他们的披萨配什么配料投票。他们的钱只够买一份披萨，而披萨店供应不足，所以他们只能在凤尾鱼、西兰花和额外的奶酪之间做出选择。他们投票，发现他们的偏好如下:gydF4y2Ba

• 艾丽斯:西兰花gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$奶酪gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$凤尾鱼gydF4y2Ba
• 鲍勃:西兰花gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$凤尾鱼gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$奶酪gydF4y2Ba
• 卡罗:凤尾鱼gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$奶酪gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$花椰菜。gydF4y2Ba

将每个选项进行两两比较gydF4y2Ba

• 西兰花gydF4y2Ba $\ geq_ {gg}gydF4y2Ba$凤尾鱼(2比1)gydF4y2Ba
• 凤尾鱼gydF4y2Ba $\ geq_ {gg}gydF4y2Ba$奶酪(2比1)gydF4y2Ba
• 西兰花gydF4y2Ba $\ geq_ {gg}gydF4y2Ba$奶酪(2比1)。gydF4y2Ba

使用传递规则，完整的排序是gydF4y2Ba

• 西兰花gydF4y2Ba $\ geq_ {gg}gydF4y2Ba$凤尾鱼gydF4y2Ba $\ geq_ {gg}gydF4y2Ba$奶酪。gydF4y2Ba

在这个例子中，对总体偏好使用传递规则似乎是合理的，因为每个个体偏好都被假定是传递的。然而，事实并非如此。gydF4y2Ba

爱丽丝、鲍勃和卡罗尔第二天也遇到了同样的难题，但他们的偏好发生了变化。他们重新投票，发现gydF4y2Ba

• 艾丽斯:凤尾鱼gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$西兰花gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$奶酪gydF4y2Ba
• 鲍勃:西兰花gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$奶酪gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$凤尾鱼gydF4y2Ba
• 卡罗:奶酪gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$凤尾鱼gydF4y2Ba $\组gydF4y2Ba$花椰菜。gydF4y2Ba

将每个选项进行两两比较gydF4y2Ba

• 凤尾鱼gydF4y2Ba $\ geq_ {gg}gydF4y2Ba$西兰花(2比1)gydF4y2Ba
• 西兰花gydF4y2Ba $\ geq_ {gg}gydF4y2Ba$奶酪(2比1)gydF4y2Ba
• 奶酪gydF4y2Ba $\ geq_ {gg}gydF4y2Ba$凤尾鱼(2比1)。gydF4y2Ba

这组顺序是循环的。尝试使用传递属性会导致说两个凤尾鱼都比奶酪好，奶酪也比凤尾鱼好，这意味着奶酪和凤尾鱼必须是相同的(任何厨师都会嘲笑这个断言)。传递的个人偏好会导致循环的汇总偏好，这一事实被称为gydF4y2Ba孔多塞悖论gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

投票系统的三个可取的特点如下:gydF4y2Ba

• 一致gydF4y2Ba:如果大家都喜欢gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$应该赢。gydF4y2Ba
• 没有独裁者gydF4y2Ba不应该有这样的人，他的个人偏好总是决定着谁会赢。gydF4y2Ba
• 无关替代品的独立性(IIA)gydF4y2Ba:增加额外的选项不应该改变现有的关系。也就是说,如果gydF4y2Ba $一个\ B组的gydF4y2Ba$,添加选项gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$不应该让gydF4y2Ba $B \组gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

不相关替代方案的独立性是一个重要的标准，因为理想的投票系统不容易受到影响gydF4y2Ba战略投gydF4y2Ba在这种情况下，选民将以不显示他们真实偏好的方式对选项进行排序，以确保他们的首选被选上。gydF4y2Ba

阿罗的不可能定理gydF4y2Ba

在任何排名投票系统中，都不可能同时满足上述三个特征(一致通过、无独裁者、IIA)。gydF4y2Ba

投票者配置文件和最终的聚合首选项[2]。gydF4y2Ba考虑投票gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$选民和三个选择gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$．在右边的图中，它表明，给定不相关的选项的一致和独立，其中一个投票者一定是独裁者[3]。gydF4y2Ba

如果每个人单独投票gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$作为最糟糕的选择，大家一致同意，gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是最糟糕的选择。这是配置文件gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$在图中。同样，如果每个人都认为gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是最好的选择吗gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是最好的选择。这是配置文件gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$．之间的gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$是配置文件gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$第一个gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$人投票gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是最好的,gydF4y2Ba $N -我gydF4y2Ba$人投票gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是最糟糕的。在这些值之一，总排名必须转换，以便gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是最好的。让这个转换值保持不变gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba关键的选民gydF4y2Ba为gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$．如果gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$排名gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$首先,然后gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$赢了,如果gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$排名gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$最后,然后gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$不赢。gydF4y2Ba

其余的证据表明，如果不相关的选项一致且独立成立，那么投票者gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$总是决定着投票的结果。也就是说,选民gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$是一个独裁者。gydF4y2Ba

首先，考虑以下情况gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$排名gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$，而其他所有选民都有一些武断的排名。现在,对于gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$、移动gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$他们的第一选择和gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$他们的第二个。根据IIA，这不能改变总的排名gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$．同样,对于选民来说gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $k - 1gydF4y2Ba$、移动gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$给他们的首选，也给选民gydF4y2Ba $k + 1gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$、移动gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$他们的最低偏好。同样，根据IIA，这不能改变排名gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

现在所有的选民gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$更喜欢gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$和所有的选民gydF4y2Ba $k + 1gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$更喜欢gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．根据定义gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$，这意味着总体偏好必须是gydF4y2Ba $A >gydF4y2Ba$．同样,所有选民gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$更喜欢gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$和所有的选民gydF4y2Ba $k + 1gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$更喜欢gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$．根据定义gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$，这意味着总体偏好必须是gydF4y2Ba $B > CgydF4y2Ba$．通过传递性，总体偏好必须是gydF4y2Ba $> CgydF4y2Ba$．因此,gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$是一个独裁者。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

阿罗定理似乎给公平投票系统钉上了钉子，但它只适用于那些偏好必须简单排序而不是打分的系统。比如说，如果选民能说他们更喜欢gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$十倍于gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是…的1.1倍gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，那么这些结果就不需要成立。gydF4y2Ba

2010年人口普查后分配到美国各州的代表人数[4]。gydF4y2Ba阿罗定理说明了对一组特定候选人的偏好的不可能结果，而分配悖论则提出了类似的声明，将一些离散的席位公平地分配给不同的群体。gydF4y2Ba

代议制民主gydF4y2Ba民主是一种政府形式，它不是让每个人对每个问题都投票(直接民主)，而是让个人选出少数代表，为他们的利益投票。的gydF4y2Ba分配的矛盾gydF4y2Ba是选择分配给每一组的代表席位数目的不可能定理。在按政党名单比例代表制的国家，这些团体是政党。每个政党都有一定的席位，这取决于投票给该政党的人数。在美国，这些组织是州。他们在众议院的席位是由该州的人口决定的。居住在一个州就是对这个州的一个席位的“投票”(从某种意义上说，与候选人将填补这个州的席位的实际投票是分开的)。gydF4y2Ba

理想情况下，在做gydF4y2Ba公平的划分gydF4y2Ba在美国，分配给每个群体的席位数量将与选票数量(或美国的州人口)直接成比例。例如，如果有10个席位，57%的人投票给团体gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$， 24%投票给团体gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$， 19%的人支持集体投票gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$，他们将分别获得5.7、2.4和1.9个席位。然而，如果座位不能被分成几个部分(通常情况下)，那么就需要一个决策过程来分配单个的座位。一个理想的分配系统应该遵守以下三条规则:gydF4y2Ba

1. 配额规则:每一组获得的席位数与它的投票比例相等或四舍五入。gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$在这个例子中，座位是5到6个gydF4y2Ba $一个,gydF4y2Ba$2或3到gydF4y2Ba $B,gydF4y2Ba$1或2到gydF4y2Ba $c .)gydF4y2Ba$
2. 如果总人数增加，分配给任何一组的人数不会减少。gydF4y2Ba
3. 如果集团gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$得到比团体更多的选票gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$，没有座位转移gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

如果只有两个小组，则可以通过分配与每个小组成员人数直接成比例的席位来满足所有这些标准。然而，如果有三个或更多的群体，分配悖论表明，不可能同时满足所有这些规则。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba阿拉巴马州的悖论gydF4y2Ba是违反规则2的一个例子。1880年，美国众议院意识到，如果他们有299个席位，阿拉巴马将被分配到8个，但如果他们有300个席位，阿拉巴马将被分配到7个[5]。gydF4y2Ba

因子的方法gydF4y2Ba是一类服从标准2和3，但违反配额规则的分配规则。gydF4y2Ba

该方法首先计算除数gydF4y2Ba $DgydF4y2Ba$用总人口除以席位数。gydF4y2Ba

然后配额gydF4y2Ba $Q_{状态}gydF4y2Ba$对于每个州(或地区，或任何被使用的)，计算方法是用总人口除以除数gydF4y2Ba $DgydF4y2Ba$．请注意，在完美的情况下，配额将全部是整数，分配将完成;处理配额的小数部分是产生矛盾的地方。gydF4y2Ba

有多种方法来处理每个部分的小数部分gydF4y2Ba $Q_{状态}gydF4y2Ba$．有一种方法(汉密尔顿的方法)是将所有名额四舍五入，然后按照从大到小的顺序分配剩余的席位。gydF4y2Ba

另一种方法，被称为d'Hondt的方法或Jefferson的方法，是不断降低价值gydF4y2Ba $DgydF4y2Ba$这样，当所有的配额被四舍五入后，配额加在一起就得到了正确的席位数。gydF4y2Ba

美国众议院目前使用的方法被称为亨廷顿-希尔法。每一个gydF4y2Ba $Q_{状态}gydF4y2Ba$临时四舍五入(调用这个值gydF4y2Ba $n),gydF4y2Ba$然后这个值和的几何平均值比较gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $n + 1gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$\√6 {(n) (n + 1)}。gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $Q_{状态}gydF4y2Ba$比几何平均值大吗gydF4y2Ba $Q_{状态}gydF4y2Ba$围捕;否则将被舍入。gydF4y2Ba

就像d'Hondt的方法一样，gydF4y2Ba $DgydF4y2Ba$可能需要进行调整，以确保所有的配额加在一起，达到正确的席位数量。gydF4y2Ba

就像一个国家被划分为州一样，州又被划分为区，每个区对一个特定的候选人投票。候选人是通过计算获胜选区的数量而当选的，前提是赢得最多选区等于赢得全部选票。但是，一个候选人在大部分地区获胜，但仍有可能失去普选。gydF4y2Ba地区歧视gydF4y2Ba指的是有目的地重新划分选区，以使某一候选人更有可能获胜。gydF4y2Ba

也在投票中出现gydF4y2Ba辛普森悖论gydF4y2Ba在统计学中，尽管变量整体呈负相关，但在子组中有可能呈正相关。gydF4y2Ba

[1]图片于2016年3月1日从https://en.wikipedia.org/wiki/Electoral_College_(United_States)#/media/File:PopWinnerLosesElecVote.png检索gydF4y2Ba

[2] By Nilesj -自己的工作，CC By - sa 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=27989711。gydF4y2Ba

[3]五胞胎,丹。第二讲:阿罗不可能定理(2014)。于2016年3月7日从http://www.ssc.wisc.edu/~dquint/econ698/lecture%202.pdf检索gydF4y2Ba

[4]图片于2016年3月1日从https://en.wikipedia.org/wiki/United_States_congressional_apportionment#/media/File:2010_census_reapportionment.svg检索gydF4y2Ba

［5]gydF4y2Ba分摊悖论gydF4y2Ba．于2016年3月1日从http://www.ctl.ua.edu/math103/apportionment/paradoxs.htm检索。gydF4y2Ba