扑克数学基础

的游戏扑克在两个或两个以上的玩家之间进行数回合的纸牌游戏。该游戏有多种类型，但它们都有一些共同之处:游戏开始时，每个玩家都要投入分配的赌注。在每一轮游戏中，玩家将从标准的52张牌中分配卡片，每个玩家的目标是在桌上拥有最好的5张牌。玩家将他们的牌隐藏起来，每个玩家都根据他或她的牌的强度下注。当这一轮结束时，牌被显示出来，手牌最好的玩家赢得这一轮和在这一轮下注的钱。当一个玩家赢得了桌上所有的钱时，游戏就结束了。

尽管扑克包含随机性和赌博的元素，但理解扑克需要大量的技巧概率而且博弈理论．扑克策略通常涉及到对这些概念的应用，以提高一个人的获胜机会。在长时间的回合和游戏中，技术水平较高的玩家往往会赢得更多。

需要注意的是，一个人并不需要对扑克策略感兴趣，才会对扑克中涉及的数学感兴趣。在扑克游戏中，关于一副牌和事件的概率有许多有趣的数学观察。本页将探讨这些数学观察。

扑克的玩法是标准的52张牌。

一个标准牌组一副扑克牌包含52张不同的牌。

这些卡片被分成四张西装：

心而且钻石是那两套红色的衣服。它们有时缩写为H而且D．俱乐部而且黑桃是那两套黑色的西装。它们有时缩写为C而且年代．

有13排名每一套都有一个王牌，九张卡片编号 $2$通过 $10$和三个面对卡——杰克,女王,王．

脸牌缩写为J，问,K．Ace缩写为一个．

每张不同的卡片都有一个等级和花色。例如，一张不同的牌是方块k，它被识别为K $颜色\ {# D61F06}{♦}$．

一旦一个人了解了扑克牌的结构，他就可以研究某些事件的概率。

从洗牌的牌组中抽到红心牌的概率是多少?

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有 $13$扑克牌上有红心，确实有 $52$卡片。

让 $H$如果从洗牌的牌组中抽出一张红桃牌。通过概率的结果，

$P (H) = \压裂{13}{52}= \压裂{1}{4}。$

画到红桃的概率是 $\压裂{1}{4}。\ _ \广场$

扑克策略的一个方面是考虑为了赢得游戏你需要什么牌。如果你知道自己得到所需卡片的概率，那么你就能很好地理解自己获胜的几率。

你正在玩一场扑克游戏，你刚刚拿到了下面这一手牌:

$3、6、7，\text{J}， 5{\color{#D61F06}{♥}}。$

你把 $5颜色\ {# D61F06}{♥}$退到一边，要求发一张新牌。你拿到的下一张牌是黑桃的概率是多少?

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52张牌中有13张黑桃。你拿到了5张牌，47张牌中还剩下9张黑桃。

让 $D$如果抽到黑桃。通过概率和结果，

$P (D) = \压裂{9}{47}。$

下一张给你的牌是黑桃的概率是 $\盒装{\压裂{9}{47}}。\ _ \广场$

不管玩的是哪种类型的扑克，手牌通常都是一样的。

扑克手从一副扑克牌中抽取5张牌的组合。每只手的价值都由它的分类来决定。

扑克的手组合而不是排列．这意味着卡片的顺序并不重要。例如，下面的每一根指针都被认为是相同手:

• (9信用卡，10,3信用卡，8 ${# D61F06}♦\颜色$问♠)
• (3♣8 ${# D61F06}♦\颜色$， 9信用卡，10信用卡，q信用卡)
• (3不爱信用卡，q图腾，9不爱信用卡，10图腾，8 ${# D61F06}♦\颜色$）．

使用二项式系数，就可以计算出可能的手牌总数。

有多少可能的牌?

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一副扑克牌中有52张牌，一手牌是其中5张牌的组合。因此，可能的牌手数是

$\ binom{52}{5} = 2598960。\ _ \广场$

扑克手牌被分类，这样玩家就可以知道自己手上的牌值多少钱。以下是扑克手牌的分类列表，按价值从低到高排列:

高卡这种类型的手是指不能被归类为以下类型之一的手。

例子：(3♣8 ${# D61F06}♦\颜色$， 9信用卡，10信用卡，q信用卡)

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一对这种手牌由2张相同等级的牌和3张不同等级的牌组成。

例子：(J♣,J ${# D61F06}♥\颜色$, 5 ${# D61F06}♦\颜色$, 10♣,Q ${# D61F06}♥\颜色$）

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两个一对:这种类型的手牌由2张相同秩的牌，另外2张相同秩的牌和一张 $5 ^ \文本{th}$不同等级的牌。

例子：（2 ${# D61F06}♦\颜色$2♣7 ${# D61F06}♥\颜色$7 ${# D61F06}♦\颜色$♠)

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三个同类这种手牌由3张相同等级的牌和2张不同等级的牌组成。

例子：(问♣问 ${# D61F06}♦\颜色$， q′′，k′′，4信用卡

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直:这种手牌由5张连续的牌组成。正面牌的价值高于编号牌的顺序J, Q, K．Ace卡可以代表最低值卡或最高值卡，但不能同时代表两者。

例子：(♣,2 ${# D61F06}♥\颜色$3 ${# D61F06}♦\颜色$4♣5♠)

例子：(10 ${# D61F06}♥\颜色$J ${# D61F06}♥\颜色$， q, k, a不爱信用卡了。

Non-Example：(J ${# D61F06}♥\颜色$， q所有的，k所有的，a ${# D61F06}♥\颜色$、2♠)

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冲洗这种手牌由5张相同花色的牌组成。

例子：(3 ${# D61F06}♥\颜色$, 5 ${# D61F06}♥\颜色$， 6 ${# D61F06}♥\颜色$,10 ${# D61F06}♥\颜色$K ${# D61F06}♥\颜色$）

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浪漫满屋:这种手牌由3张相同秩的牌和另外2张相同秩的牌组成。

例子：(7 ${# D61F06}♥\颜色$7 ${# D61F06}♦\颜色$7♠9 ${# D61F06}♦\颜色$9♣)

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四人同类:这种手牌由4张相同级别的牌和另一张牌组成。

例子：(J ${# D61F06}♥\颜色$J ${# D61F06}♦\颜色$， j不爱信用卡，j暗恋，3

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同花顺:这种手是一种直和一个冲洗同时。

例子：（5 ${# D61F06}♦\颜色$， 6 ${# D61F06}♦\颜色$7 ${# D61F06}♦\颜色$, 8 ${# D61F06}♦\颜色$, 9 ${# D61F06}♦\颜色$）

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皇家同花顺皇家同花顺是最高的可能同花顺．它由等级牌组成10，J，问，K,一个都是同一套衣服。

例子：(10, j, q, k刷卡，a刷卡)

这些分类是互相排斥的而且详尽的．如果一只手符合两种分类的标准，那么它总是被归类为那些分类中较高的。例如，手(7 ${# D61F06}♥\颜色$7 ${# D61F06}♦\颜色$7♠9 ${# D61F06}♦\颜色$9♣)会被归类为浪漫满屋；它永远不会被归为三个同类或一对．

当从一副标准扑克牌中打出5张牌时，2598,960种可能的扑克牌中的每一种都是同等可能的。正因为如此，人们可以使用结果概率来计算每种扑克手牌分类的概率。

的二项式系数可用于计算卡的某些组合。然后，计算原理规则的总和而且规则的产品可以用来计算每个扑克手牌的分类频率。然后，每个扑克手牌分类的概率就是它的频率除以2,598,960。

下面计算的概率是基于从洗牌的扑克牌中抽5张牌。每种手牌出现的可能性决定了其价值。手牌的可能性越低，它的价值越高。例如,一个冲洗总是比一个好直因为一个冲洗比a的可能性小直当从洗牌后的牌组中抽5张牌时。尽管不同变体的扑克有不同的抽牌规则，这些排名总是用来决定最好的牌。下面的手分类是从最小值(最有可能)到最大值(最不可能)的顺序。

建议您在查看这里所示的计算之前，尝试自己计算这些概率。这些分类是根据它们的相对频率排序的，但是不建议您从高卡手计算，因为它比其他计算更复杂。得到正确答案的方法不止一种，所以如果你的方法不完全相同，也不要绝望。

高牌手的概率

显示概率

$P(\text{High Card Hand})=\frac{1277}{2548}\approx 0.501177$

显示计算

$\text{高牌手频}=\左[\vphantom{\binom{4}{1}^5}\binom{13}{5}-10\右]\左[\binom{4}{1}^5-4\右]=1302540$

有必要以这样一种方式选择秩，即不会出现相同秩的倍数，但也有必要确保手牌不是a直或者一个冲洗．

首先，确定13个不同等级中的5个不同等级的组合。10个这样的组合形成a直减去这些组合。然后，为这5个等级中的每一个选择一套套装。这可以在 $\ binom {4} {1} ^ 5$方法，但其中4种方法给出了a冲洗减去这些。利用乘积法则，将选择等级的方法个数乘以选择花色的方法个数:

$P(文本\{高卡手})= \压裂{1302540}{2598960}= \压裂{1277}{2548}。\ _ \广场$

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一手牌的概率

显示概率

$P(\text{One Pair Hand})=\frac{352}{833}\approx 0.422569$

显示计算

$\text{One Pair Hand Frequency}=\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}^3=1098240$

首先从13个排名中选择1个。然后，从4套衣服中选出2套。然后，从剩下的12个等级中选择3个不同的等级。然后，为每张牌选择一套花色。由于所有这些选择都是独立的，乘积法则可以用来计算总频率:

$P(文本\{一对手})= \压裂{1098240}{2598960}= \压裂{352}{833}。\ _ \广场$

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两对手牌的概率

显示概率

$P(\text{Two Pair Hand})=\frac{198}{4165}\approx 0.047539$

显示计算

$\text{Two Pair Hand Frequency}=\binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\binom{11}{1}\binom{4}{1}=123552$

首先，从13个队列中为两对选择2个不同的队列。然后，从每组的4件花色中选出2件不同的花色。然后，选择一个排名(从剩下的11张中)和最后一张牌的花色。由于所有这些选择都是独立的，乘积法则可以用来计算总频率:

$P(文本\{两双的手})= \压裂{123552}{2598960}= \压裂{198}{4165}。\ _ \广场$

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三个善良的手的概率

显示概率

$P(\text{Three of a Kind Hand})=\frac{88}{4165}\approx 0.021128$

显示计算

$\text{Three of a Kind Hand Frequency}=\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{2}\binom{4}{1}^2=54912$

首先，为三张相同级别的卡片选择一个级别。然后，从4张牌中选择3张牌。然后，从剩下的12张牌中为最后两张牌选择2个不同的等级。然后，为每张牌选择一套花色。由于所有这些选择都是独立的，乘积法则可以用来计算总频率:

$P(\text{Three of a Kind Hand})=\frac{54912}{2598960}=\frac{88}{4165}。\ _ \广场$

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直手概率

显示概率

$P(文本\{直手})= \压裂{5}{1274}\约0.003925$

显示计算

$文本\{直手频率}= \ binom{10}{1} \离开(\ binom{4}{1} ^ 5 - 4 \右)= 10200$

直男可以以两者之间的任何级别开头一个而且10；因此，有10种可能的方法来选择直线的排名。从这些方法中选择一种。然后，为每张牌选择一套花色。然而，其中4种选择西装的方法是冲，所以减去4。将秩的选择方式个数乘以花色的选择方式个数，得到总频率:

$P(文本\{直手})= \压裂{10200}{2598960}= \压裂{5}{1274}。\ _ \广场$

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同花顺手概率

显示概率

$P(文本\{冲洗手})= \压裂{1277}{649740}\约0.001965$

显示计算

${冲洗手频率}= \ \文本左(\ binom {13} {5} -10 \) \ binom {4} {1} = 5108$

首先，从13个等级中选择5个不同的等级。然而，其中10个组合是异性恋，那么从选择排名的方式的数量中减去10。然后，选择一套衣服。用选择秩的方式个数乘以选择花色的方式个数，得到总频率:

$P(文本\{冲洗手})= \压裂{5108}{2598960}= \压裂{1277}{649740}。\ _ \广场$

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满牌的概率

显示概率

$P(\text{Full House Hand})=\frac{6}{4165}\approx 0.001441$

显示计算

$\text{满屋手频}=\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{1}\binom{4}{2}=3744$

首先，为三个一组选择一个等级。然后，从4张牌中选择3张牌。然后，从剩下的12个中为这对组合选择一个排名。然后，为这些牌选择2套花色。由于所有这些选择都是独立的，使用乘积法则来找出总频率:

$P(文本\{满座的手})= \压裂{3744}{2598960}= \压裂{6}{4165}。\ _ \广场$

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四个善良的手的概率

显示概率

$P(\text{Four of a Kind Hand})=\frac{1}{4165}\约0.000240$

显示计算

$\text{Four of a Kind Hand Frequency}=\binom{13}{1}\binom{4}{4}\binom{12}{1}\binom{4}{1}=624$

首先，为四人组选择一个等级。为这些卡片选择所有4种花色。然后选择一个等级(从剩下的12张牌中)和手上最后一张牌的花色。由于所有这些选择都是独立的，使用乘积法则来找出总频率:

$P(\text{Four of a Kind Hand})=\frac{624}{2598960}=\frac{1}{4165}。\ _ \广场$

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同花顺手的概率

显示概率

$P(\text{同花顺手})=\frac{3}{216580}\approx 0.000014$

显示计算

$\text{同花顺手频}=\binom{10}{1}\binom{4}{1}-4=36$

从10个可能的排列组合中选择1个直，然后为所有5张牌选择一套。这就给出了直冲，但有4只手是皇家冲，所以减去4:

$P(文本\{同花顺手})= \压裂{36}{2598960}= \压裂{3}{216580}。\ _ \广场$

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皇家同花顺手的概率

显示概率

$P(\text{皇家同花顺手})=\frac{1}{649740}\approx 0.000002$

显示计算

$\text{皇家同花顺手频}=4$

这个很简单!只有一种直那就会产生皇家同花顺，它可以是4种花色中的任何一种。因此，只有4种可能皇家冲：

$P(文本\{皇家同花顺手})= \压裂{4}{2598960}= \压裂{1}{649740}。\ _ \广场$

每种概率都假设你只拿到5张牌。在实际的扑克游戏中，牌的处理方式可能不同，这将影响每一种手牌分类的概率。

扑克牌的每一种变体都有以下共同特征。

支持

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扑克通常要求玩家在玩游戏之前先投入金钱。这叫做支持．买入价是给获胜者的奖品。买入的目的是为了确保每位玩家都能在比赛中表现出色并赢得比赛。

投注筹码在游戏中用来代表金钱。有时候，玩家可以在游戏中间投入更多的钱，但在游戏结束之前，玩家通常不允许“取出”他们的筹码。

处理

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每一轮扑克都有一个发牌人。这个人负责洗牌，把牌分发给每个玩家。有时，非玩家被赋予整个游戏的发牌责任。否则，每个玩家轮流发牌。一个经销商芯片用来指定谁是每一轮的发牌人，该筹码在每一轮后传给一个新的玩家。即使庄家不是一个玩家，这个筹码仍然被传递，因为某些赌博规则取决于庄家在赌桌上的位置。

押注

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锅中:玩家每轮下注的总金额称为锅．每一轮的胜者可以获得该轮的全部内容。如果在一轮比赛后出现平局，那么奖金将在平局中由这些球员分享。

赌注扑克牌的许多变体要求每位玩家在每轮开始前下一定的赌注。这叫做赌注的赌注。赌注发生在玩家看到他们的牌之前。这一规则的目的是防止游戏持续时间过长，并让每个玩家在每个回合中都有一定的投入。

百叶窗扑克的一些变体要求盲目的押注。这些赌注可以替代赌注，也可以作为赌注的补充。就像下注一样，它们发生在每个玩家发牌之前。与押注不同的是，只有部分玩家需要进行盲注。这一要求在每轮赌桌上轮流进行，这样每位玩家就可以轮流进行盲赌。

押注主投注阶段通常在玩家发牌后开始。根据扑克的不同，投注开始时由不同的玩家进行。每个玩家轮流下注，这些回合是顺时针绕着赌桌进行的。每次轮到玩家下注时，都有许多选择:

• 检查:如果自玩家上一回合以来没有筹集到钱，该玩家可以检查然后传给下一个球员。如果这一轮是盲赌，那么每个玩家都必须调用在他们之前盲目下注检查．

• 调用:如果玩家在上一回合后筹集了资金，那么该玩家就可以调用下注金额等于当前下注金额与玩家上次下注金额之差。

• 提高:玩家可以通过投注比当前投注更多的钱来提高投注金额。

• 褶皱:玩家可以拒绝下注。这叫做褶皱，那么这名玩家实际上就出局了。一个球员,折叠放弃他或她那轮下注的所有钱。这似乎是浪费褶皱，但当玩家知道自己不太可能赢得这轮比赛时，这通常是最好的策略。

• 包括一切的:在某些情况下，牌手会把他或她剩下的所有筹码都投进锅里包括一切的．根据扑克的不同，这种类型的赌博有特殊的规则。

当每个牌桌上的人都叫牌、对子、叠牌或全部押注时，本轮赌注就结束了。

赢得一个圆

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每一轮都有最后的投注阶段。本轮比赛在投注阶段结束后结束。只有没有叠牌的选手才有机会赢得这轮比赛。选手们按顺时针方向轮流在桌子上露出双手。开始这一过程的玩家取决于扑克的变体。玩家可以选择不露一手牌，但做出这种选择的玩家不能赢得这轮游戏。

赢得这一轮的玩家是拥有最好的5张牌的玩家。这名玩家赢得了所有的钱在锅。有时，有一个平局在最好的5手牌。在这种情况下，这轮比赛以平局结束，用这两只手的玩家将分享奖金。

赢得这场比赛

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在许多回合的过程中，玩家将耗尽所有的钱并退出游戏。当一个玩家赢得了赌桌上所有的钱时，游戏就结束了。

即使赢家赢得了桌上所有的筹码，在游戏结束后如何分配这些钱通常是有规则的。可以在游戏开始前商定，最后剩下的玩家将以某种方式分享金钱。这将确保游戏不会受到影响孤注一掷的；如果玩家玩得好，他们可以赢得一些钱，即使他们没有赢得游戏。

了解扑克游戏的规则是很重要的，这样才能计算出概率。扑克有许多变体;以下是一些最常见的:

发牌器

这被认为是最简单的扑克版本。

在每一轮中，都进行了下赌注和/或盲注。在押注和盲目之后，每个玩家得到一张5张的牌。玩家看着他们的牌，并将它们隐藏起来，不让其他玩家看到。第一个投注阶段在每个玩家看过他或她的牌后开始。投注通常从发牌者的左边开始，或者从盲注者的左边开始。

下一阶段的回合叫做画阶段。在这一阶段，玩家可以选择弃牌，并要求打出同样多的牌。玩家通常会利用这个阶段来提高自己的手牌，使之更有价值。在一些五卡抽取的版本中，可以丢弃和替换的卡片数量是有限制的。然而，在大多数情况下，可以丢弃和替换的卡片的数量是没有限制的。如果玩家愿意，他可以放弃自己的整只手牌，换一只新的手牌。

抽签阶段结束后，最后的投注阶段开始。之后，玩家轮流亮出自己的牌。谁的牌最好，谁就能赢得奖金。

然后，新的一轮的antes和blinds开始。

Seven-Card螺柱

这种扑克是一种螺柱这意味着每个玩家都有一些牌，这些牌会向桌上的所有玩家公开。每个玩家总共拿到7张牌，但每个玩家的手牌只是这些牌中最好的5张牌。除了前3张牌外，玩家每次发一张牌，每张新发的牌之间有一个投注回合。

在每一轮中，都进行了下赌注和/或盲注。在押注和盲目之后，玩家拿到2张正面朝下的牌(不让其他玩家看到)和1张正面朝上的牌(向其他玩家显示)。第一轮投注要么由正面牌最好的玩家开始，要么由盲目投注的玩家的左边的玩家开始。

在第一投注阶段之后，每个玩家都拿到一张正面朝上的牌。然后，另一个下注阶段开始，谁有最好的正面牌。

在第二个投注阶段之后，每个玩家拿到一张正面朝上的牌。然后，另一个下注阶段开始，谁有最好的正面牌。

在第三个投注阶段之后，每个玩家拿到一张正面朝上的牌。然后，另一个下注阶段开始，谁有最好的正面牌。

在第四个投注阶段之后，每个玩家拿到一张正面朝下的牌。然后，最后的投注阶段从拥有最好的正面牌的玩家开始。

在最后的投注阶段后，玩家在他们的7张牌中打出最好的5张牌。玩家轮流出牌，手牌最好的玩家赢得奖金。

每个阶段的结构可以总结为:2下1上，下注，1上，下注，1上，下注，1上，下注，1上，下注，1上，下注，1下，下注。

这一轮结束后，新一轮的antes和blinds开始。

德克萨斯州的皮肤

这是现在最流行的扑克变体。它是的变体社区卡扑克:在这种扑克中，有些牌会向整个牌桌公开，每个玩家都可以使用这些牌来构建他或她的5张牌。

一轮比赛以盲注开始，有时是押注。德州扑克通常有一个“大盲”和一个“小盲”。大盲眼的数量是小盲眼的两倍。庄家左边的玩家进行小盲注，左边的玩家进行大盲注。

在这些赌注之后，每个玩家得到2张正面朝下的牌(不让其他玩家看到)。这个阶段被称为pre-flop，每个玩家的隐藏牌称为该玩家的牌洞或口袋里．投注的第一阶段从大盲眼左侧的玩家开始。

在翻牌前投注阶段之后，在桌子中央打出3张正面朝上的牌(向所有玩家显示)。这三张卡叫做失败．他们是社区的卡片这意味着每个玩家都用它们来构建自己的5张牌。发牌后，另一个下注阶段从发牌者左侧的玩家开始。

在翻牌下注阶段之后，另一张社区牌在翻牌旁边正面朝上发。这张卡叫做转．在回合发牌后，另一个投注阶段从发牌者左侧的玩家开始。

在回合投注阶段之后，另一张社区卡在其他社区卡的旁边正面朝上。这张卡叫做河．在发牌后，最后的投注阶段从发牌者左边的玩家开始。

每一个仍在这一轮的玩家同时亮出他们的手牌。每个玩家从他或她的口袋卡和社区卡中做出最好的5张牌。因为Texas Hold-Em使用的是社区卡，所以平局比其他变体更常见，并且有特殊的规则指定如何根据每个玩家手上的特定卡牌来打破平局。即便如此，抽牌仍然是可能的，如果是这种情况，奖金是共享的。否则，手牌5张最好的玩家赢得奖金。

这一轮结束后，新一轮的antes和blinds开始。