匹配(图论)
在图论,一个匹配在一个图形是一组没有一组共同顶点的边缘。换句话说,匹配是每个节点具有零或一个边缘的图形。
图匹配不能与之混淆图的同构.图同构异构检查两个图是否相同,而匹配是图形的特定子图。
图形匹配具有应用程序流网络那调度和规划、建模债券在化学、图着色, 这稳定的婚姻问题那神经网络在人工智能和更多。
许多图形匹配算法存在是为了优化手边问题所规定的必要参数。
假设有一组候选人和一组工作,每个候选人至少有资格胜任其中一个工作。我们可以使用图匹配来看看是否有一种方法可以给每个候选人一个他们能够胜任的工作。下面的图表显示了所有的候选人和工作,候选人和他们能胜任的每个工作之间有一个优势。
有没有办法让每个人都有资格做一份工作,这样每个工作只有一个人做?
是的,有一种方法可以把每个人分配到一个单一的工作,即把每个工人与指定的工作相匹配。虽然这个问题的解决方案可以迅速解决而没有任何效率算法在美国,随着节点数量的增加,这类问题会变得相当复杂,比如在社交网络中。
定义和术语
匹配
给定一个图 ,一个匹配是一个子图的 那 ,其中每个节点的度数最多为1。匹配由不共享节点的边组成。
最大匹配
一个匹配的, 的图, 据说是最大如果没有别的棱角 可以添加到 因为每个节点都与另一个节点匹配。换句话说,如果处于边缘 并且不在 被添加到 ,它会导致 要不再是匹配图,因为节点将具有多于一个边缘的事件。 如果不是一个,也是一个最大匹配适当的子集任何其他匹配的 ;如果每条边都向内 有一个至少有一条边的非空交点 [3].请注意,最大匹配不一定是在图中提供最大匹配数量的子图。
最大匹配
匹配是一个最大匹配如果它是一个包含尽可能多的边的匹配,匹配尽可能多的节点。简单地说,最大匹配是最大匹配有最大的边数。每个最大匹配都是最大匹配,但不是每个最大匹配都是最大匹配。
在加权图,有时找到一个最大权重的匹配是有用的。
一群学生正在作为科学项目的合作伙伴配对。每个学生都确定了合作伙伴的偏好清单,用数字排名每个同学,指示偏好,其中20个是最高排名可以给出最好的朋友,而排名不能重复,因为有21名学生总数。老师决定通过在每个学生之间制作边缘来模拟这个问题作为图形,将权重分配给每个边缘等于每个学生彼此排名的平均值。老师意识到,为了最大化课堂“整体幸福,她必须找到整个类的最大匹配。
最小重量的匹配如果最大匹配的目的是最小化图形的总重量,也可以执行;如果上面的示例中的老师要求学生以升序排列他们最好的朋友。
如果用不同的边子集实现相同的最大权值,则图可以包含多个最大匹配。图中最大匹配的大小或总权重称为匹配的数量.
完美的匹配
一种完美的匹配是一个匹配,其中每个顶点连接到完全一边;匹配匹配图中的所有顶点。在一个未加权的图表中,每个完美的匹配都是一个最大匹配因此,是一个最大匹配也如果对图进行加权,可以有许多不同匹配数的完美匹配。正式地说,是一个图的匹配 是完美的吗 边缘。
一种近乎完美的匹配另一方面,可以在具有奇数顶点的图表中发生。在这种情况下,很明显,如上所述的完美匹配是不可能的,因为一个节点将保持不匹配。此方案还会导致具有奇数节点的图形的最大匹配。
双方的匹配
为了更清楚地建模匹配问题,图通常被转换成两偶图,它的顶点集被分成两个不相交的集合, 和 ,在那里 并且所有边缘都连接到之间的顶点 和 .
在上面的二角形图中查找匹配图。
图中有一个可能的匹配。另一种匹配可能是存在的记住它是任意子图子图中的每个顶点只有一条边从它出来。这是一种近乎完美的匹配,因为匹配中只包含一个顶点,但请记住,匹配是一个图的任意子图,其中子图中的任何节点都有一条边从它出来。
配对问题的例子
匹配过程通常用于回答与图表相关的问题,例如顶点覆盖或网络,如流或社交网络;这类问题中最著名的是稳定的婚姻问题.
婚姻稳定问题
稳定婚姻问题的目的是促进两组人之间的配对。给定一份数目相等的潜在伴侣名单,稳定婚姻问题给出了名单上每个人都能嫁给一个合适的伴侣的充分必要条件。这个定理可以应用于任何两个顶点必须匹配在一起以最大化效用或整体幸福的情况。
有 贴上礼物 )在圣诞树下,和 爱丽丝,鲍勃,查尔斯,丹妮尔和爱德华。能不能把礼物分发给每个人,让每个人都能得到他们喜欢的礼物?
如果他们中没有一个人喜欢这些礼物,那么解决这个问题就可能是不可能的,也没有人会喜欢他们的礼物。即使存在轻微的偏好,如果他们都不喜欢礼物,分配也会相当困难 或 ,则只 礼物将被分发给 孩子们。在另一种情况下,假设这一点
爱丽丝想要礼品1,3。
鲍勃想要礼品2,4,5,6。
查尔斯想要礼品2,3。
多特想要礼物1 2 3。
爱德华想要礼物。
仍然没有办法分发礼物让每个人都开心。事实上,注意到四个孩子,爱丽丝,查尔斯,丹妮尔和爱德华,只想要前三份礼物中的一份,这表明问题是不可能的,他们中的一个将会被一份他们不喜欢的礼物困住。
然而,事实证明,这是只有解决问题的方法是不可能的。只要没有一部分孩子喜欢的礼物比另一部分孩子少,总有办法给每个人他们想要的东西。这就是霍尔婚姻定理的关键所在。
这只是这个问题的一个简要概述。有关霍尔稳定婚姻定理的更多信息,请参阅稳定的婚姻页面和稳定婚姻定理的应用页面。
顶点覆盖
顶点覆盖,有时称为节点覆盖,是一个著名的使用匹配的优化问题。对于一个图 ,顶点覆盖是顶点的集合 使得图中的每条边至少有一个端点在 .以下是两个图形及其顶点覆盖集以红色表示。基本上,顶点盖“覆盖”所有边缘。
美术馆里到处都是名画,所以保安必须严密。确保没有人能偷走这些昂贵的艺术品是至关重要的,所以安保人员必须安装安全摄像头,密切监控每一幅画。为了确定在走廊上放置摄像头的位置以便所有的画作都得到保护,安保人员可以查看博物馆的地图,并将其建模成一个图表,走廊是边缘,角落是节点。如果在没有拐弯的走廊里,有五幅画沿着一面墙排成一行,那么在大厅开始的地方就会有一个摄像头监视所有五幅画。这样,安保人员就可以确定顶点覆盖设置,从而找到摄像机的放置位置。
为了进一步改进摄像头的放置,安保人员可以通过实现一个叫做最小顶点覆盖.
与顶点覆盖有关的一个更理论的概念是KONIG的定理这表明对于任何两偶图,匹配的最大尺寸等于顶点覆盖的最小尺寸。
交通理论
匹配算法在资源分配问题上也有巨大的应用流网络问题。在数学和经济学中,呼叫资源分配和优化的研究交通理论.[9]
在大城市里, 工厂制造电脑和 商店出售电脑。每个工厂都可以将其计算机运送到只有一家商店,每个商店都将从一家工厂收到一批货。如果工厂的位置是 商店的位置是 ,然后是运输计算机的成本 到 可以通过计算机之间的匹配来建模到存储, .最佳运输计划可确保每厂将恰好供应一家商店,并且每个商店将由一家工厂提供,并且将计算机从工厂运送到商店的总成本最小化。此问题相当于在二分钟中找到最小权重匹配。图表是双标,因为有 工厂和 商店和商店和工厂之间的加权边缘是这些节点之间移动计算机的成本。
也可以看看
参考文献
- ,R.匹配(图论).从2016年6月19日检索到的https://commons.wikimedia.org/wiki/File Matching_ (graph_theory) . jpg
- ,我。具有匹配的二部图.从2016年6月19日检索到的https://commons.wikimedia.org/wiki/file:bipartite_graph_with_matching.svg.
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- , M。Maximal-matching.svg.从2016年6月18日检索,来自https://en.wikipedia.org/wiki/File:Maximal-matching.svg
- , M。Maximum-matching-labels.svg.从2016年6月18日检索,来自https://en.wikipedia.org/wiki/File:Maximum-matching-labels.svg
- , M。简单 - Bipartite-Graph.svg.从2016年6月18日检索,来自https://en.wikipedia.org/wiki/File:Simple-bipartite-graph.svg
- , M。Vertex-cover.svg.从2016年6月25日检索到的https://en.wikipedia.org/wiki/File:Vertex-cover.svg
- D。Triangulation_3-coloring.svg.从2016年6月25日检索到的https://en.wikipedia.org/wiki/File:Triangulation_3-coloring.svg
- ,。运输理论(数学).从2016年6月24日检索到的https://en.wikipedia.org/wiki/transportation_theory_(mathematics)