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的磁矢势 （ 一个 ⃗ ） vec{一})(\ （一个 ）是一个向量场这是潜在的磁场．的旋度是磁场的矢量势。
B ⃗ ＝ ∇ × 一个 ⃗ \vec{B} = \nabla \times \vec{A} B ＝∇×一个
在经典力学和量子力学中，当使用拉格朗日时，首选磁矢势。
由长度贡献的磁矢势 d 年代 ⃗ d vec{年代}\ d年代 与当前 我 我 我穿过它是
d 一个 ⃗ ＝ μ 0 我 4 π r d 年代 ⃗ ． d\vec{A} = frac{mu_0 I}{4\ r} d\vec{s}。 d一个 ＝4πrμ0我d年代 ．
距离的磁矢势是多少 R R R来自长直流电元素? 假设导线放置在z轴上。也就是到微分元素的距离 d z ⃗ vec {z d \} dz 在空间中的某一点是 r ＝ R 2 + z 2 ． r =√{r ^2 + z^2}。 r＝R2+z2 ． 因此, d 一个 ⃗ ＝ μ 0 我 4 π d z R 2 + z 2 z ＾ ． vec {A} = d \ \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{dz}{\√6 {R ^ 2 + z ^ 2}} {z} \的帽子。 d一个 ＝4πμ0我R2+z2 dzz＾． 现在需要对棒的长度积分。既然杆被任意地说在z轴上，为了简单起见，它可以从z轴延伸 z ＝ 0 z = 0 z＝0来 z ＝ l ． z = L。 z＝l．这只需要乘以2。同样，使用代换法 z ＝ R 棕褐色 （ θ ） ． z = R tan() z＝R棕褐色（θ）． 一个 ⃗ ＝ 2 ∫ 0 l μ 0 我 4 π d z R 2 + z 2 z ＾ ＝ μ 0 我 2 π z ＾ ∫ 0 ϕ 证券交易委员会 （ θ ） d θ ＝ μ 0 我 2 π ln （ l 2 + R 2 + l R ） z ＾ vec{一}\开始{对齐}\ & = 2 \ int_0 L ^ \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{dz}{\√6 {R ^ 2 + z ^ 2}} \帽子{z} \ \ & = \压裂{\ mu_0我}{2π\}\帽子{z} \ int_0 ^ \φ\交会(\θdθ\ \ \ & = \压裂{\ mu_0我}{2π\}\ ln \境(\压裂{\ sqrt {L ^ 2 + R ^ 2} + L} {R} \境)\帽子{z} \{对齐}结束 一个 ＝2∫0l4πμ0我R2+z2 dzz＾＝2πμ0我z＾∫0ϕ证券交易委员会（θ）dθ＝2πμ0我ln（Rl2+R2 +l）z＾
距离的磁矢势是多少 R R R来自长直流电元素?
假设导线放置在z轴上。也就是到微分元素的距离 d z ⃗ vec {z d \} dz 在空间中的某一点是
r ＝ R 2 + z 2 ． r =√{r ^2 + z^2}。 r＝R2+z2 ．
因此,
d 一个 ⃗ ＝ μ 0 我 4 π d z R 2 + z 2 z ＾ ． vec {A} = d \ \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{dz}{\√6 {R ^ 2 + z ^ 2}} {z} \的帽子。 d一个 ＝4πμ0我R2+z2 dzz＾．
现在需要对棒的长度积分。既然杆被任意地说在z轴上，为了简单起见，它可以从z轴延伸 z ＝ 0 z = 0 z＝0来 z ＝ l ． z = L。 z＝l．这只需要乘以2。同样，使用代换法 z ＝ R 棕褐色 （ θ ） ． z = R tan() z＝R棕褐色（θ）．
一个 ⃗ ＝ 2 ∫ 0 l μ 0 我 4 π d z R 2 + z 2 z ＾ ＝ μ 0 我 2 π z ＾ ∫ 0 ϕ 证券交易委员会 （ θ ） d θ ＝ μ 0 我 2 π ln （ l 2 + R 2 + l R ） z ＾ vec{一}\开始{对齐}\ & = 2 \ int_0 L ^ \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{dz}{\√6 {R ^ 2 + z ^ 2}} \帽子{z} \ \ & = \压裂{\ mu_0我}{2π\}\帽子{z} \ int_0 ^ \φ\交会(\θdθ\ \ \ & = \压裂{\ mu_0我}{2π\}\ ln \境(\压裂{\ sqrt {L ^ 2 + R ^ 2} + L} {R} \境)\帽子{z} \{对齐}结束 一个 ＝2∫0l4πμ0我R2+z2 dzz＾＝2πμ0我z＾∫0ϕ证券交易委员会（θ）dθ＝2πμ0我ln（Rl2+R2 +l）z＾
磁场是旋度向量势。
求具有磁矢势的区域内的磁场 一个 ⃗ ＝ 罪 （ θ ） r ＾ − r θ ＾ ． \vec{A} = sin(\theta)\hat{r} - r\hat{theta}。 一个 ＝罪（θ）r＾−rθ＾． 自 一个 ⃗ vec{一}\ 一个 是在球坐标，使用旋度的球面定义。 B ⃗ ＝ 1 r 罪 θ （ ∂ ∂ θ （ 一个 φ 罪 θ ） − ∂ 一个 θ ∂ φ ） r ＾ + 1 r （ 1 罪 θ ∂ 一个 r ∂ φ − ∂ ∂ r （ r 一个 φ ） ） θ ＾ + 1 r （ ∂ ∂ r （ r 一个 θ ） − ∂ 一个 r ∂ θ ） φ ＾ \开始vec {B} ={对齐}\ \压裂{1}{r \罪\θ}\离开(\压裂{\部分}{\部分\θ}\离开罪恶(现代\ varphi \ \θ\右)- \压裂{\部分现代\θ}{\部分\ varphi} \右)& \帽子{\ mathbf r } \\ {}+ \ 压裂{1}{r} \离开(\压裂{1}{θ罪\ \}\压裂{\部分A_r}{\部分\ varphi} - \压裂{\部分}{部分r \} \左(右r现代\ varphi \) \右)&\hat{boldsymbol \theta} \\ {}+ \frac{1}{r} \left(\frac{partial}{partial r} \left(r A_{\theta} \right) - \frac{partial A_r}{partial \theta} \right) &\hat{boldsymbol \varphi} \end{aligned} B ＝r罪θ1（∂θ∂（一个φ罪θ）−∂φ∂一个θ）+r1（罪θ1∂φ∂一个r−∂r∂（r一个φ））+r1（∂r∂（r一个θ）−∂θ∂一个r）r＾θ＾φ＾ 这是唯一能存活下来的部分 一个 ⃗ vec{一}\ 一个 是 B ⃗ ＝ 1 r （ ∂ ∂ r （ r 一个 θ ） − ∂ 一个 r ∂ θ ） φ ＾ ＝ 1 r （ 2 r − 因为 （ θ ） ） ＝ 2 − 因为 （ θ ） r \开始vec {B} & ={对齐}\ \压裂{1}{r} \大(\压裂{\部分}{\部分r} (r现代\θ)- \压裂{\部分A_r}{\部分\θ}\大)\帽子{\ varphi} \ \ & = \压裂{1}{r} \大(2 r - \ cosθ)(\ \大)\ \ & = 2 - \压裂{\ cosθ(\)}{r} \{对齐}结束 B ＝r1（∂r∂（r一个θ）−∂θ∂一个r）φ＾＝r1（2r−因为（θ））＝2−r因为（θ）
求具有磁矢势的区域内的磁场 一个 ⃗ ＝ 罪 （ θ ） r ＾ − r θ ＾ ． \vec{A} = sin(\theta)\hat{r} - r\hat{theta}。 一个 ＝罪（θ）r＾−rθ＾．
自 一个 ⃗ vec{一}\ 一个 是在球坐标，使用旋度的球面定义。
B ⃗ ＝ 1 r 罪 θ （ ∂ ∂ θ （ 一个 φ 罪 θ ） − ∂ 一个 θ ∂ φ ） r ＾ + 1 r （ 1 罪 θ ∂ 一个 r ∂ φ − ∂ ∂ r （ r 一个 φ ） ） θ ＾ + 1 r （ ∂ ∂ r （ r 一个 θ ） − ∂ 一个 r ∂ θ ） φ ＾ \开始vec {B} ={对齐}\ \压裂{1}{r \罪\θ}\离开(\压裂{\部分}{\部分\θ}\离开罪恶(现代\ varphi \ \θ\右)- \压裂{\部分现代\θ}{\部分\ varphi} \右)& \帽子{\ mathbf r } \\ {}+ \ 压裂{1}{r} \离开(\压裂{1}{θ罪\ \}\压裂{\部分A_r}{\部分\ varphi} - \压裂{\部分}{部分r \} \左(右r现代\ varphi \) \右)&\hat{boldsymbol \theta} \\ {}+ \frac{1}{r} \left(\frac{partial}{partial r} \left(r A_{\theta} \right) - \frac{partial A_r}{partial \theta} \right) &\hat{boldsymbol \varphi} \end{aligned} B ＝r罪θ1（∂θ∂（一个φ罪θ）−∂φ∂一个θ）+r1（罪θ1∂φ∂一个r−∂r∂（r一个φ））+r1（∂r∂（r一个θ）−∂θ∂一个r）r＾θ＾φ＾
这是唯一能存活下来的部分 一个 ⃗ vec{一}\ 一个 是
B ⃗ ＝ 1 r （ ∂ ∂ r （ r 一个 θ ） − ∂ 一个 r ∂ θ ） φ ＾ ＝ 1 r （ 2 r − 因为 （ θ ） ） ＝ 2 − 因为 （ θ ） r \开始vec {B} & ={对齐}\ \压裂{1}{r} \大(\压裂{\部分}{\部分r} (r现代\θ)- \压裂{\部分A_r}{\部分\θ}\大)\帽子{\ varphi} \ \ & = \压裂{1}{r} \大(2 r - \ cosθ)(\ \大)\ \ & = 2 - \压裂{\ cosθ(\)}{r} \{对齐}结束 B ＝r1（∂r∂（r一个θ）−∂θ∂一个r）φ＾＝r1（2r−因为（θ））＝2−r因为（θ）
的偏导数的磁矢势对感应有部分贡献电场根据法拉第定律．
E ⃗ ＝ − ∂ 一个 ⃗ ∂ t var var {E} = - var var {E} {E} E ＝−∂t∂一个
记得法拉第定律: ∇ × E ⃗ ＝ − ∂ B ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \frac{partial \vec{B}}{partial t} ∇×E ＝−∂t∂B ∇ × E ⃗ ＝ − ∂ （ ∇ × 一个 ⃗ ） ∂ t (E) = - (E) = - (E) = - (E) = - (E) = - (E) = - (E) ∇×E ＝−∂t∂（∇×一个 ） ∇ × E ⃗ ＝ − ∇ × ∂ 一个 ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \nabla \times \frac{partial \vec{A}}{partial t} ∇×E ＝−∇×∂t∂一个 → E ⃗ ＝ − ∂ 一个 ⃗ ∂ t vec{E} = - vec{partial \vec{A}}{partial t} →E ＝−∂t∂一个
记得法拉第定律:
∇ × E ⃗ ＝ − ∂ B ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \frac{partial \vec{B}}{partial t} ∇×E ＝−∂t∂B
∇ × E ⃗ ＝ − ∂ （ ∇ × 一个 ⃗ ） ∂ t (E) = - (E) = - (E) = - (E) = - (E) = - (E) = - (E) ∇×E ＝−∂t∂（∇×一个 ）
∇ × E ⃗ ＝ − ∇ × ∂ 一个 ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \nabla \times \frac{partial \vec{A}}{partial t} ∇×E ＝−∇×∂t∂一个
→ E ⃗ ＝ − ∂ 一个 ⃗ ∂ t vec{E} = - vec{partial \vec{A}}{partial t} →E ＝−∂t∂一个
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