磁矩

如果在磁场中以一定角度放置，电流回路将产生转矩并旋转。电流分布在磁场中产生转矩的倾向（也会产生自己的磁场）的特征是磁(偶极子)的时刻．

在静电学中，电荷可以以单电荷的形式存在(磁单极子)的指控。然而，在静磁学中没有这样的等效。根据高斯磁力定律由于不存在磁荷，磁矩在描述磁现象和材料时是一个非常重要的量。

事实上磁化物质的磁矩是以单位体积的偶极矩来定义的，但基本粒子，如电子和质子，也可以以磁矩的形式携带本征磁矩快速旋转．粒子具有自旋的事实有着深远的影响。例如，在化学中，需要正确描述自旋，才能正确描述原子能量和化学元素的键合。

考虑一个边长为方形的电流回路 $L$以一定角度放置 $\φ$关于大小均匀的磁场 $B$如下所示。如果一些当前 $我$在循环中逆时针流动，每个部分会感觉到一些力，但没有合力在循环中。相反，回路两端的力相互抵消，回路中心不会发生净平移。

然而，有一个问题扭矩在循环。这个每段上的力具有重大意义 $我l B$．环的两边 $($没有 $F$在图中标注 $)$不施加扭矩，因为施加在它们上的力完全位于回路平面内。

其他两边贡献了一些非零分量 $I l B\sin{\phi}$垂直于环。因此，相对于回路的中心，每个段都提供扭矩 $I l^2 B\sin{\phi}/2$，总数由 $I s^ 2b sin{\phi}$．因此，如果磁场保持不变，线圈上的转矩大小只取决于它的面积 $s ^ 2$现在呢 $我$．

对于任何几何图形的当前回路，也可以进行类似的论证。人们会发现扭矩只取决于力的乘积 $我$以及该地区 $A.$．因此，为了描述磁场对给定电流环的旋转强度，定义电流环是有意义的磁（偶极）矩循环中的

$\mathbf{m}=I\mathbf{a}。$

注意磁偶极矩被定义为矢量数量(与面积矢量 $A.$通过与with相同的约定定义电和磁通量，所以扭矩不是写成 $\mu B\sin{\phi}$，可以简单地使用压缩向量表示法

$\mathbf{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}。$

考虑一个简单的氢原子经典模型。假设一个电子 $($负责人 $- e$和质量 $m_e)$绕原子核运行 $($负责人 $+ e$和质量 $M\gg M_e）$并且完全被静电力限制在半径为1的圆形轨道上 $R$．电子的磁矩是多少?

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原子核的静电引力提供了保持电子就位的全部向心力。因此，速度 $v$是由

$R \压裂{m_e v ^ 2}{} = \压裂{1}{4 \π\ epsilon_0} \压裂{e ^ 2} {R ^ 2},$

这意味着

$v^2 = frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{R m_e}。$

要确定磁矩，首先要注意电子运动的周期是 $2\pi R/v$.因此，电流为 $-e/（2\pi R/v）=-ev/（2\pi R）$，相应的磁矩为

$m = - \压裂{回过头}{2}= - \压裂{e ^ 2}{2} \√6{\压裂{R}{4 \π\ epsilon_0 m_e}}。$

替换的值 $E$, $R$, $m_e$产量 $m = 9.27 \ * 10 ^{-24} \ \文字文本{m}{一}\ cdot \ ^ 2$（注：请记住，电子非常小，每质量的磁矩相当大。）

求半径为1的圆盘的磁矩 $R$均匀表面电荷密度 $\西格玛$以角速度旋转的 $\ω$．

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我们把圆盘分成许多宽的小环 $博士$.圆环产生的电流是包含的总电荷除以一个旋转周期。因此

$dI=\frac{\sigma（2\pir\，dr）}{\omega/（2\pi）}。$

对每个环的面积进行因式分解

$\开始{aligned}dm&=\big（\pi r^2\big）\frac{\sigma（2\pi r dr）}{\omega/（2\pi）\\\&=\sigma\omega\pi r^3\，dr\\\\m&=\int\u 0^r\sigma\omega\pi r^3\，dr\\\&=\frac{4}\sigma\omega\pi r^4.\end{aligned}$

虽然磁偶极子在a中没有受到净力，但这是真的统一的磁场，力在空间变化的磁场中不一定为零。结果表明，力与场的梯度有关:

$\mathbf{F}=\nabla（\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}），$

类似于电偶极子上的力的类似表达式。

描述电流回路的场（通过回路中心偏离垂直轴）可以证明，这与使用毕奥-萨伐尔定律秀。一个更简洁的方法是使用磁矢势．一般的结果是

$\ mathbf{一}_{偶极子}\文本(\ mathbf {r}) = \压裂{\ mu_0我}{4 \πr ^ 2} \压裂{\ mathbf {m} \ * \帽子{\ mathbf {r}}} {r ^ 2},$

哪里 $\hat{\mathbf{r}$从循环指向所讨论的点。

假设环路的方向是垂直轴沿着 $Z$-轴心国。以 $\nabla\times\mathbf{A}$，一个人可以证明这个领域是

$\{对齐}开始提出& = \压裂{\ mu_0}{4π\}\压裂{3 m \ sinθ}{\ \因为{\θ}}{r ^ 3} \ \说是& = - \压裂{\ mu_0}{4π\}\压裂{m (3 \ cos ^ 2{\θ}- 1)}{r ^ 3}。结束\{对齐}$

注意，这些表达式类似于an的表达式电偶极子．磁场也可以写成这种形式

$r \ mathbf {B} (\ mathbf{}) = \压裂{\ mu_0}{4 \πr ^ 3} [3 (\ mathbf {m} \ cdot \帽子{\ mathbf {r}}) \帽子{\ mathbf {r}} - \ mathbf {m}]。$

实际上，只考虑磁性偶极子是必然的近似，因为电流回路只在小回路区域的极限内产生“纯”偶极场。实际上，对于一个宏观的电流分布，在磁场的表达式中会有额外的项。

这个多极展开关于向量势的勒让德多项式产量

$\mathbf{A}（\mathbf{r}）=\frac{\mu\u 0 I}{4\pi}\sum{n=0}^\infty\frac{1}{r^{n+1}\int r'^n P{cos{\theta}'）\，d\mathbf{l}，$

哪里 $普恩$表示 $N$勒让德多项式。总数的前几项是

$\{{对齐{{{对齐}}{{{{{{{对齐}}}{{{}}}}{{{{{{{{{}}}}{{{{{{}}}}}{{{{{{{{}}}}{{{{{}}}{{{{{{{{}}}}\门门门门门门门门门缅甸{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}{{{{{{{4\4\4\4\pi}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\}'\\\\mathbf{A}\text{quadrapole}（\mathbf{r}）和=\frac{\mu\u 0i}{4\pi}\frac{1}{r^3}\int\frac{r'^2}\left（3\cos^2{\theta'}-1\right）d\mathbf{l}.\end{aligned}$

适当地，所谓的单极子项消失了，并且满足了磁性的高斯定律。

显然，磁偶极子项在多极展开中再次出现，但出现了其他项（四极、八极等）。为了表明偶极子项与前面的讨论一致，可以将余弦项改写为点积：

$\ mathbf{一}_{偶极子}\文本(\ mathbf {r}) = \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{1}{r ^ 2} \ int \大(\ mathbf {r}‘\ cdot \帽子{\ mathbf {r}} \ \大),d \ mathbf {l}’。$

可以证明积分的值是 $-\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{a}$，这时偶极项就变成了

$\ mathbf{一}_{偶极子}\文本(\ mathbf {r}) = \压裂{\ mu_0我}{4 \πr ^ 2} \压裂{\ mathbf {m} \ * \帽子{\ mathbf {r}}} {r ^ 2},$

哪里 $\mathbf{m}=I\mathbf{a}$为先前定义的磁偶极矩。其余的项都表示对该领域的高阶贡献。在许多实际情况下，如果不消失，偶极项倾向于支配所有其他项，高阶矩可能被忽略。

[1]格里菲斯,D.J.介绍了电动力学. 第四版。皮尔森，2014年。

[2]珀塞尔,。电和磁．第三版。剑桥大学出版社，2013。