磁通量和法拉第定律
法拉第定律构成了描述现代世界运作情况的基础,包括电流是如何产生的,以及现代电子设备和元件是如何工作的。
考虑一个叫做晶体收音机它主要由一圈电线和一个耳机组成。为什么收音机在没有外部电池或其他电源的情况下运行得很好(尽管可能在安静的一边播放)?事实证明,空气中充满了各种光谱的电磁波,包括无线电波。这种波包含振荡的磁场(和电场),而改变的磁场可以导致以电流形式存在的线圈中的电场。
作为电和磁的基本关系之一,法拉第定律,描述时变磁场如何产生电场。
到19世纪初,人们在静电学方面做了许多工作,而在磁场方面所做的工作相对较少。例如,直到1820年左右,欧斯东才首次发现电流会产生磁场,这可以说是静力学的开端(除了对古代自然形成的磁体的粗略研究之外)。
因此,也许令人惊讶的是,不到二十年后,迈克尔·法拉第已经开始描述不仅仅是变化的磁场(因此开始电动力学),但也因此,电场和磁场的相互作用。法拉第发现,一般来说,变化的磁场会导致电场,这种现象被称为电磁感应(电场是“感应的”)。为了纪念这一发现,归纳的定量描述被命名为法拉第定律。
磁通
感应电场最简单的例子是由于磁场变化而在一个小的圆形导电环内产生的电场,并产生相应的电流。一般来说,感应电场不仅取决于磁场, ,以及线圈与磁场之间的几何关系可能如何变化。例如,即使在均匀恒定的磁场中,改变导电环的形状或其相对于磁力线的方向也会产生电场,从而产生电流。当感应电场发生变化时,描述感应电场所需的几何形状和磁场的适当组合称为磁通量。最基本的定义是由于均匀磁场通过平面图形的磁通量。考虑一个平面区域, ,选择一个单位向量, ,垂直于表面。为了方便,一个面积矢量, ,定义为 .在一般情况下 会以某种角度倾斜 用磁力线,也就是, 是两者之间较小的角度吗 和 .(见下图)
标为法线的向量是单位向量 ,以及通过平面面积的磁通量 定义为
实际上,点积投影的是原始面积 在垂直于 .
通过一个由小平面拼接而成的表面(可以想象成一个圆顶)的磁通量,就是通过每个“贴片”的磁通量之和。对于曲面的一个patch,我们指定一个向量 表示与表面的法线(垂直)。此外,每一个的大小 定义为对应patch的面积。
磁通, ,通过一个补丁是由点积,计算的分量 平行于 :
因此,通过一个由许多小块组成的表面的总磁通量, ,为所有斑块的总和:
随着 变得极小,如在光滑表面的情况下,总和被a所代替曲面积分:
幸运的是,磁通量常常可以计算出来,而不需要显式地计算积分。一般来说,磁通量的计算是相当简单的,因为一般都考虑平环。然而,在下一个话题,法拉第定律,讨论后,将有必要允许光滑的表面 来确定法拉第定律的微分形式。
一种小而扁平的线圈 是垂直于单位长度旋转的圆柱形螺线管内部的均匀磁场的方向吗 和当前 .通过回路的通量是多少?
在这种情况下, 是恒定的,那么流量是 .
法拉第定律
法拉第发现了感应电动势 (电动势)通过电流回路得到
在哪里 是否通过回路的磁通量(回想一下电动势指向相反的方向电压).一般来说,一个决定 作为…的函数 ,其中允许计算 .
嵌入法拉第定律的是线圈中感应电流的方向。与毕奥萨伐尔定律和安培定律,环路的方向被定义为逆时针遍历环路(相对于 )是积极的。因此,负号在 表示通过环路的通量增加导致顺时针方向回路中电流的流动。同样地,通过环路的流量的减少(相对于环路的相反边的正增加)导致逆时针方向流动的电流。
很容易记住这个符号约定使用所谓的右手定则.如果拇指指向磁通量的方向增加,那么电流就会沿着与手指卷曲方向相反的方向流动(相反的方向是由于法拉第定律中的负号)。
注意,线圈本身会产生磁场。我们可以验证磁场总是在通量减少的方向产生(同样,由于负号)。在某种意义上,人们可以把感应磁场看作是“对抗”外部磁场的变化,这种结果通常被称为楞次定律.
一种小而扁平的线圈 和阻力 是垂直于单位长度旋转的圆柱形螺线管内部的均匀向上的磁场方向吗 和当前 ,在那里 和 是常数。电流的大小和方向是什么 作为函数在回路中诱导 ?
与前面的例子一样,对于给定的 , 是常数,那么通过回路的流量是
因此,法拉第定律产生
由此可知,在回路中感应到的电流是有大小的 并且指向顺时针(因为有负号),这也可以用右手法则来验证。
一种小而扁平的线圈 初始方向是否平行于一个大小一致的磁场 .如果环以角速度旋转 ,感应电动势的大小是多少 在循环吗?
虽然环路的面积保持不变,但环路相对于电场的角度是不断变化的。相对于场的角度是 ,所以
实际上,人们可以通过在磁场中机械旋转线圈来发电。
微分形式
参考文献
[1]格里菲斯,D.J.介绍了电动力学.第四版。皮尔森,2014年。
[2]珀塞尔,。电和磁.第三版。剑桥大学出版社,2013。