Macaulay持续时间

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债券的麦克浴持续时间是现金流量的加权平均成熟度，其作为债券对利率变化的敏感性的衡量标准。持续时间较高的债券将具有更多的风险，因此与较低持续时间的粘合相比，价格的挥发性更大。

有许多方法来计算持续时间，并且麦劳持续时间是由于其简单性的最常见。

Macaulay持续时间由

$macd = \ frac {\ frac {n \ times f} {（1 + y_n）^ n} + \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {i \ times c_i} {（1 + y_i）^ i}}{P}，$

在哪里 $F$是债券的面值，
$C_I.$是当时的优惠券付款 $一世$那
$义$是时间的屈服率 $一世$那
P是债券的价格。

注意：出于实际目的，我们经常使用收益率到期 $y$，如果是值的 $义$不知道。

如果我们让我们 $pv_i.$是当时现金流的现值 $一世$，然后我们有

$p = \ sum_ {i = 1} ^ t pv_i \ lightarrow 1 = \ sum_ {i = 1} ^ t \ frac {pv_i} {p}。$

然后，可以写入Macaulay持续时间

$macd = \ sum_ {i = 1} ^ t i \ frac {pv_i} {p}。$

因此，Macaulay持续时间是现金流量的加权平均成熟度。从称重平均的定义，如果正现金流动发生在时间 $T_I.$，然后我们必须有 $T_ 1 \ LEQ MACD \ LEQ T_N$。特别是， $mac d = t_n$如果并且只有键合是零优惠键。这是有道理的，因为这是它需要的时间

如果目前的价格为1100美元，则为5年债券的Macaulay持续时间是5年债券的5％债券，如果目前的价格为1100美元？

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首先，我们必须找到使用的产量。我们将使用成熟的产量。解决 $y$满意

$1100 = \ frac {50} {（1 + y）^ 1} + \ frac {50} {（1 + y）^ 2} + \ frac {50} {（1 + y）^ 3} + \ frac {50} {（1 + y）^ 4} + \ frac {1050} {（1 + y）^ 5}$

这给了我们 $Y = 2.82 \％$。

接下来，我们将其替换为MACD的公式，获取

$\开始{对齐} MACD和= \压裂{1 \倍\压裂{50} {（1 + y）的^ 1} + 2 \倍\压裂{50} {（1 + y）的^ 2} + 3 \倍\ frac {50} {（1 + y）^ 3} + 4 \ times \ frac {50} {（1 + y）^ 4} + 5 \ times \ frac {1050} {（1 + y）^ 5}} {1100} \\＆= 4.571。\\ \结束{对齐}$