逻辑微分方程

一个逻辑微分方程是一个常微分方程它的解是一个逻辑函数。Logistic函数模型有界增长-标准指数函数没有考虑到阻止无限增长的约束，而逻辑函数纠正了这个错误。它们在其他各种情况下也很有用，包括机器学习国际象棋评分、癌症治疗(即肿瘤生长模型)、经济学，甚至研究语言采用。

标准逻辑函数，将在下一节中描述。

逻辑微分方程是这样的ODE $f (x) = r \离开(1 - \压裂{f (x)} {K} \右)f (x)$在哪里 $r K$是常数。标准逻辑方程集合 $r = K = 1$,给 $\压裂{df} {dx} = f(行进)\意味着\压裂{df} {dx} - f = - f ^ 2。$

这是一个伯努利微分方程(还有一个可分离变量的微分方程)．使用任何一种方法都可以给出解决方案 $f(x) = \frac{e^x}{e^x + C}$为一个常数 $C$．当 $C = 1$被选中(像往常一样)， $f$可以写在表格里吗 $F (x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}。$

用完全相同的方法求解一般逻辑方程就得到了解 $f (x) = \压裂{Kf (0) e ^ {rx}} {K + f (0) (e ^ {rx} 1)}。$

Logistic函数最早是在人口增长的背景下研究的指数模型过了很长一段时间后失败了。得到的微分方程 $f (x) = r \离开(1 - \压裂{f (x)} {K} \右)f (x)$可以看作是加了修正因子的结果吗 $射频(x) ^ 2 - \压裂{}{K}$模型;如果没有这个因子，微分方程将是 $f (x) =射频(x)$，它有一个指数解。

时光荏苒，而 $f$是小的，这个修正项有效为零，人口几乎呈指数增长，这与经验证据大致一致。然而，随着时间的推移，修正项变得越来越重要。从实际的角度来看，这是有道理的:大的种群必然会竞争资源(如食物、生活空间等)，而小的种群通常不受这些因素的限制，可以像平常一样呈指数增长。

在这种情况下，这两个参数有物理解释:

• $r$是增长速度在缺乏有限资源的情况下;例如，如果有无限的资源可用，人口将以指数速度增长。
• $K$是承载能力即生态系统能够无限维持的最大种群数量。

为了近似曲线，这两个值都应该预先确定，但它们不一定容易计算;例如，人类的承载能力是未知的(但怀疑略低于100亿)。这些都是重要的先验知识，因为试图拟合已知数据可能会导致灾难性的结果:

美国人口vs.物流模式。来源:http://monkeysuncle.stanford.edu/?p=933

上图显示了将1790-1930年的美国人口拟合到logistic函数的结果。在那些年里，模型运行良好，但之后的逻辑函数大大低估了实际人口。这是因为假设模型使用 $K \大约225$(100万)，随着时间趋于无穷大，它将逐渐接近这个值，但正如我们今天所知，人口完全有能力超过这个值。

也有可能承载能力本身取决于时间，在这种情况下，微分方程变成 $f (x) = r \离开(1 - \压裂{f (x)} {K (t)} \右)f (x)。$通常情况下，这种情况是在何时考虑的 $K$是周期，特别是在季节的背景下:例如，在冬季，可获得的资源较少，承载能力可能会显著降低。可以看出，在这种情况下， $f$也是周期性的，与 $K$．

逻辑微分方程在其他领域也很有用，因为它们通常提供比指数方程更实用的模型。例如，它们可以被用来为创新建模:在创新的早期阶段，随着创新努力获得认可，几乎看不到增长。之后，人们进行了大量的研究和开发，这个行业大致呈指数级增长。最后，在后期阶段，当市场上有多个竞争者，并且已经执行了“最简单”的改进时，创新会显著放缓并接近某些极限值。

类似的分析也可以应用于语言的变化:例如，一个新词在它的生命周期初期，当它开始被采用时，它的增长很少，然后随着它的曝光，它的使用开始呈指数增长，最后当它被普遍采用时，它的使用速度会减慢。

这种从缓慢增长开始，扩展到指数增长，然后放缓到对数增长的现象可以用logistic分布来模拟。因此，任何经历这种增长的数量都可以用逻辑建模;这些领域从医学到机器学习，从化学到语言学。