解决命题逻辑应用题

命题逻辑是一种将命题视为原子单位的形式语言。典型的命题逻辑词问题如下:

A、 B、C、D四个孩子在吵架。如果A去参加聚会，B就不去。如果C去参加聚会，B就不会去。参加聚会的人数最多是多少？

逻辑是对有效推理的研究。它不仅应用于学习，而且也应用于我们的日常生活。通过简单的逻辑推理和演绎，我们可以从一定的前提中获得信息。同样，我们也可以验证或反驳陈述。

我们将讨论识别常见错误和如何避免它们的方法。我们也会讨论不同的证明技巧，比如使用维恩图和类比，这样你就有了解决逻辑文字问题的工具箱。

在本节中，我们将使用命题逻辑中常见的符号。你可能想要熟悉一下命题逻辑第一。

就像解决任何其他问题一样，当我们写下自己的推理时，我们应该问自己什么能做，什么不能做。学习如何解决命题逻辑问题的第一步是列出不能做或不可能做的事情，这样我们就可以缩小可能的情况。记住，基于错误的推理很容易得出错误的结论。以下面的陈述为例，如果第一个陈述是正确的，第二个陈述也是正确的吗?

$\开始{array}{c}&\text{“如果下雨，那么我就不能踢足球”}&\text{“如果我不能踢足球，那么就下雨。”}\end{array}$

很明显，这里的问题是:我不能踢足球可能有其他原因，这并不一定取决于天气。如果我们在上下文非常清楚的情况下推理时犯了这样简单的错误，那么想象一下，当你对更加模糊的陈述不太确定时会发生什么。在下一段中，我们将介绍这些错误。

逆误差

作为初学者，你最常犯的错误就是假设原始陈述的相反和/或相反也是正确的。看看下面的两个部分:

错误推理逆向错误介绍：

前提如果下雨的话，我就不能踢足球了。

结论如果我不能踢足球，那就是下雨了。

解释从第一个陈述句开始，我们得到了一个条件和一个结果:“下雨”作为条件，“我不能踢足球”作为结果。整个前提是这样表述的:如果条件满足了，那么结果就会发生。然而，结论表明，如果结果满足，则条件就会发生。这是没有意义的，因为如果结果先出现，条件就没有必要发生。这就是所谓的反向误差。

在一般形式下，a的论证相反的错误如下:

• 如果P出现，那么Q出现。
• Q出现了。
• 因此，P也出现了。

错误推理逆误差介绍:

前提如果下雨的话，我就不能踢足球了。

结论当前位置如果不下雨，我就可以踢足球。

解释：从第一句话开始，我们得到了一个条件和一个结果：“下雨”作为条件，而“我不能踢足球”作为结果。整个前提的表述方式是，如果条件得到满足，那么结果就会出现。然而，结论表明，如果条件没有发生，那么结果也不会发生。这没有意义，因为可能有其他原因/因素导致结果发生。这称为反向误差。

在一般形式中，一个逆误差如下:

• 如果P出现，那么Q出现。
• P没有发生。
• 因此，Q也不会出现。

现在可能已经非常清楚，很容易确定我们做了一个错误的推理。然而，如果给出的声明显得更加模糊怎么办?这就是我们引入上面两个错误(逆错误和逆错误)的原因，来说明并不是所有的错误语句都是容易识别的。简单地说，两个事件之间的关系并不一定意味着一个事件导致了另一个事件。简而言之，我们指出了一个共同的事实:“相关性并不意味着因果关系”。

既然我们已经亲眼看到了这些错误，让我们再做一个例子来提醒自己，这些错误是我们希望将来能够避免的。记住，有些相反/相反的陈述可能显得荒谬，但有些不是。

如果今天是星期天，那么天气晴朗。 $$

$文本\ qquad \ {(i)}$写出这个命题的逆命题和逆命题。
$文本\ qquad \ {(ii)}$找出这些陈述中哪些是不符合逻辑的，并解释原因。

---

$\案文{（i）}$逆匡威

• 逆:如果今天不是星期天，那么天气就不是晴天。
• 对话:如果天气晴朗，那么今天就是星期天。

$文本\ {(ii)}$逻辑或不合逻辑的

虽然它们是原始陈述的反义词，但我们必须记住，它们不一定是错误的。然而，检查它们是否正确并没有害处。

• 相反的说法意味着一天与天气晴朗与否有直接关系，也就是说可笑的因为也有不落在星期天的非晴天。

• 相反的说法意味着，只有天气晴朗，那一天是星期天，这也是可笑的因为他们也可以在不落在周日的日子里有一个阳光明媚的天气。 $_ \广场$

准确地指出错误

现在我们可以确定错误是如何发生的，让我们进一步应用这些技术，以便准确地查明错误发生的位置。请注意，识别错误发生位置的最简单方法是将逻辑语句转换为符号形式(如P意味着Q)。

从长远的角度考虑你的教育，你去威信公司询问你应该在大学里做些什么才能在毕业后被雇佣。人事部主任回答说，只有你的专业是数学或计算机科学，成绩是a，你才会被录用 ${B} ^ \ \文本文本{+}$一般或更好，学会计。事实上，你会成为数学专业的学生，得到 $\文本{B}$取平均数，取会计科目。您返回Prestige Corporation，提出正式申请，但被拒绝。工作人员对你撒谎了吗？

---

让我们列出招聘要求:

$\begin{array}{r r l} & \text{(i)} & \text{Major in mathematics or computer science}\\ & text{(ii)} & \text{Get a}\ text{B}^\text{+} \text{average or better}\\ & text{Take accounting}\\ \end{array}$

自从你成为数学专业的学生，标准 $\案文{（i）}$他很满意。
因为你有一个 $\文本{B}$平均而不是 ${B} ^ \ \文本文本{+}$平均标准 $文本\ {(ii)}$是不满意的。
自从你学会计，标准 $\案文{（三）}$他很满意。

因为你没有满足所有的标准，被拒绝了，所以工作人员没有对你撒谎。 $_ \广场$

现在您已经熟悉了编写这些语句和识别可能的错误，让我们尝试使用这种属性的另一个示例!

正式的术语

在前几节中，我们学习了学生在解决逻辑推理问题时最常犯的两个错误。然而，我们并没有正式接触到这些术语:反向误差和反向误差。让我们开始吧!

对换的：语句在逻辑上等同于其反正语句。反阳性否定了隐含的两个术语，并改变了它们的位置。例如，“P意味着Q”的反正是Q的否定意味着P的否定。

• 匡威:反之则转换了术语的位置。"P暗指Q"的反义词是"Q暗指P"。

• "当且仅当"有时写成敌我识别所谓等价，是指在两个方向都有效的含义。"P当且仅当Q"意味着"P暗指Q"和"Q暗指P"

让我们尝试一些涵盖这一领域的示例!

$文本\ {(i)}$写下对的反命题

$“如果你是人类，那么你就有DNA。”｝$

$文本\ {(ii)}$写出两个if-then表述

$\text{"当且仅当多边形有四条边时，该多边形是四边形。"｝$

---

$文本\ {(i)}$对换的
$\ qquad$如果你没有DNA，那么你就不是人类。

$文本\ {(ii)}$if - then语句
$\ qquad$如果一个多边形是四边形，那么它有四条边。
$\ qquad$如果多边形有4条边，则它是四边形。 $_ \广场$

很简单,不是吗?让我们尝试一些应用上述技术的问题。

现在，我们已经掌握了这些技术，让我们继续下一节了解其他防冷技术！

在本节中，我们将应用集合表示法的一些基本规则。你可能想要熟悉一下设置和维恩图解第一。

在前一节中，我们学习了识别和定位错误的最常见方法。在本节中，我们将使用维恩图作为解决逻辑推理问题的替代证明。但是这样做有什么好处呢?很简单:我们不需要用语言表达这些陈述，我们可以使用视觉辅助来指导我们解决这些问题。

集合符号和维恩图的概述 $$

让我们简单回顾一下维恩图的应用，以下面的例子为例:

考虑 $W、 X，Y，Z$作为集合，每个集合都有自己的元素。然后通过解释维恩图，我们可以得到如下信息:

• 集合中的所有元素 $W$在设置 $Y$．
• 集合中的所有元素 $X$在设置 $Z$．
• 不是集合中的所有元素 $Y$在设置 $W$．
• 等。

如何使用维恩图来解决逻辑文字问题 $$

让我们考虑下面的陈述，并用VeN图推断结论是真还是假：

真或假? $$

据说所有的鸟都有翅膀。
所有的鸡都是鸟。
因此，所有的鸡都有翅膀。

---

解释:根据维恩图，“鸡是鸟”这句话暗示了“所有鸡”这个集合是“所有鸟”的子集。因此，我们可以说，所有的鸡都有和鸟一样的特征。因为所有的鸟都有翅膀(一种特征)，所以所有的鸡也都有翅膀。因此结论是正确的。

注我们应该记住，这只有在前提为真时才有效。例如，如果我们在第一个句子中用“前臂”代替“翅膀”，那么结论“所有的鸡都有前臂”将不可避免地是正确的，尽管它的说法很荒谬。

精神食粮:如果所有的手机都有电池，而我有一部手机，这是否意味着我的手机有电池?

小心!还有其他绘制维恩图的方法!

尽管设置维恩图看起来很简单，但设置不一定是唯一的。让我们考虑上面的陈述的修订版本，并用VeN图推断结论是真还是假。

真或假? $$

据说所有的鸟都有翅膀。
所有的鸡都是鸟。
因此，所有的鸟都是鸡。

---

解释：根据维恩图，“鸡是鸟”的说法意味着集合“所有鸡”是“所有鸟”的子集。因此，我们可以说所有鸡都具有与鸟相同的特征。然而，并非所有鸟类都具有鸡的相同特征。（听起来很熟悉？这是相反的错误。）所以“所有的鸟都是鸡”的说法肯定是错误的。

注要确定结论，你应该说一些鸟是鸡而不是所有鸟鸡。”

现在我们已经知道了维恩图证明的基本应用，让我们把我们学到的知识应用到下面的例子中:

维恩图的证明不是很有趣吗?你不需要使用实际的词汇来形式化这些陈述。看起来很不寻常，对吧?但它的工作原理。说到不寻常，如果我们将这些逻辑表述戏剧化，是否有可能解决这些逻辑表述呢?是的,我们可以!类比证明是解决逻辑问题的另一种证明方法。请参阅以下部分:

我们如何解决看似难以解读的文本?

所有的疼痛都是ping。
有些乒乓球是乒乓球。
因此，有些疼痛是砰砰作响的。

考虑一下上面给出的逻辑陈述。因为我们无法联系或识别什么是“痛苦”、“乒乓”或“乒乓”，所以这些术语似乎很模糊或太过相似。如果我们对正在发生的事情一无所知，又该如何解决这样的问题呢?类比证明在这里会很有用:当我们将使用的术语戏剧化或讽刺化时。

例如，我们可以把痛苦称为人类，把乒乓球称为猿，把乒乓球称为大猩猩。有了这些新术语，我们就能够想象它们是什么。将它们改写成原来的3条语句，可以看出

$\text{所有人都是类人猿。有些类人猿是大猩猩。因此有些人是大猩猩。}$

因此，给定的结论是错误的，因为“有些人是大猩猩”的结论是荒谬的。

然而，一个重要的问题是为什么会这样。好得让人难以置信，对吧?或者，我们是否陷入了错误的争论?为什么会这样呢?

解释其工作原理

类比工作证明的原因是因为我们作出推论,如果对象有多个类似的特征,这是考虑到你知道其中一个有一个额外的特点(称之为X),那么它不是一个糟糕的推理得出其他对象共享相同的特征X。

简而言之，类比证明的广义/结构化形式为：

• P和Q有相似的性质 $X_1 x_2 x_3 ldots x_n$．
• 我们知道P有一个更进一步的性质 $Y$．
• 因此Q可能有性质 $Y$了。

现在让我们试试之前的乒乓问题的改进版!

真或假? $$

$\ qquad$所有的阳都是阳和阳。
$\ qquad$有些阴就是阴。
$\ qquad$那么，所有的阳都是阳。

---

这是错误的。

让“羊”定义为“宠物”，“羊”定义为“老虎”，“羊”定义为“猫”。

所以所有的宠物都是猫和老虎，有些老虎是猫，这是真的(或至少是合理的)。但并不是所有的老虎都是宠物。 $_ \广场$

注:类比证明在这里最有效的原因是我们不能标记或识别阳、阳和阴的任何特征。因此，一种合理的方法是类比证明。

现在您已经准备好通过类比来解决逻辑问题了，让我们再试着解决下面的问题，但这次是通过类比!

适用性的类比

注意，在上一节中我们提到，Q可能有属性 $Y$而不是“Q肯定有一个属性。 $Y$也是。”这是因为论证可能提供了看似正确的证据，但结论并不总是随之而来。这个小节解释了为什么这个证明(论证)可能并不总是有效。

虽然我们确实会强调或放大相似的特征，但事物之间的差异往往会压倒它们的相似之处。有人可能会注意到，总是有可能把一个类比延伸到荒谬的地步。举个例子，下面这个著名的“信息论点”:

DNA是一种密码。
密码需要智慧。
因此，DNA来自智力。

是的，如果我们采用隐含方法，这听起来完全符合逻辑。也就是说，P暗指Q Q暗指R，所以P暗指R。然而，这里的论证是无效的，因为“DNA是一个密码”这一陈述纯粹是一个类比，因此它从一开始就不是一个完全准确的陈述。因此，我们的出发点是错误的。所以类比的优点是不成立的。这在从类比分析论点．

我们可以看到类比证明是非常有用的，也可以用来得出错误的结论。因此，在使用这种方法时，必须小心标记某些特征。让我们看看下面的例子，看看类比证明是如何适得其反的:

真或假? $$

所有的正方形和矩形都是凸的，有四条边，在它们的顶点形成直角。
所有的正方形都有相同长度的边。
因此，所有矩形的边长都是相同的。

---

这显然是错误的，因为根据定义，不是所有的矩形都有相同长度的边，但只有正方形有相同长度的边。我们得出了错误的结论，认为矩形也有这个特征，因为我们之前就知道这两个矩形都有一些相同的特征。 $_ \广场$

1. 运用代数的命题逻辑．
2. 命题逻辑．
3. 讲真话的人,骗子．
4. 逻辑门．