对数正态分布分布gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba对数正态分布分布gydF4y2Baa的概率分布是gydF4y2Ba随机变量gydF4y2Ba谁的gydF4y2Ba对数gydF4y2Ba遵循一个gydF4y2Ba正态分布gydF4y2Ba．它模拟的现象的相对增长速度与大小无关，这是大多数自然现象，包括组织的大小和血压，收入分配，甚至长度gydF4y2Ba国际象棋比赛gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $ZgydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba标准正态变量gydF4y2Ba的概率分布gydF4y2Ba $ZgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba正常的gydF4y2Ba中心为0，方差为1。然后将对数正态分布定义为随机变量的概率分布gydF4y2Ba

$X = e^{\mu+\sigma Z}，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$的均值和标准差是gydF4y2Ba的对数gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$,分别。gydF4y2Ba

“log-normal”一词来自于对两边取对数的结果:gydF4y2Ba

$\log X = \mu +\sigma Z。gydF4y2Ba$

作为gydF4y2Ba $ZgydF4y2Ba$是正常的,gydF4y2Ba $σ\μ+ \ ZgydF4y2Ba$也是正态的(变换只是缩放分布，不影响正态性)，这意味着gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$正态分布(因此称为对数正态)。gydF4y2Ba

对数正态分布满足gydF4y2Ba

$f_X (x) = \压裂{1}{\ sigma x \ sqrt{2 \π}}e ^ {- \ dfrac {(\ ln x - \μ)^ 2}{2 \σ^ 2}},gydF4y2Ba$

这是什么结果gydF4y2Ba变化的变量gydF4y2Ba定理和少量gydF4y2Ba微积分gydF4y2Ba．不幸的是，这种形式很难手工处理，所以通常更有用的是考虑分布的关键属性(如平均值和趋势)。由于这个原因，当的结果值得检查gydF4y2Ba $\μ= 0,\σ= 1gydF4y2Ba$(即标准条件):gydF4y2Ba

注意，分布是gydF4y2Ba倾斜gydF4y2Ba向右，众数大概是。35(事实上是这样的gydF4y2Ba $\压裂{1}{e}gydF4y2Ba$，如下一节所示)。这一点，加上曲线的一般形状，通常是足够的信息来绘制一个相当精确的近似图。gydF4y2Ba

有几个重要的值可以提供关于特定概率分布的信息。最重要的是:gydF4y2Ba

• 的gydF4y2Ba的意思是gydF4y2Ba,或gydF4y2Ba期望值gydF4y2Ba的分布提供了一个有用的信息，关于从大量重复试验中预期的平均值。gydF4y2Ba
• 的gydF4y2Ba中位数gydF4y2Ba的值是集中趋势的另一种度量方法，当分布包含gydF4y2Ba离群值gydF4y2Ba(即特别大/小的值)，使平均值具有误导性。gydF4y2Ba
• 的gydF4y2Ba模式gydF4y2Ba的值是发生概率最大的值。gydF4y2Ba
• 的gydF4y2Ba方差gydF4y2Ba分布度量数据的“分布程度”。相关的是gydF4y2Ba标准偏差gydF4y2Ba，方差的平方根，因为与数据的单位相同而有用。gydF4y2Ba

对于连续的概率分布(如对数正态分布)，这些值通常更容易计算，但由于它们的计算涉及到相当多的微积分，因此解释将是简短的。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba的意思是gydF4y2Ba对数正态分布的gydF4y2Ba $m = e ^{\μ+ \压裂{\σ^ 2}{2}},gydF4y2Ba$这也意味着gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$可计算为gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $\mu = \ln m - \frac{1}{2}\sigma^2。gydF4y2Ba$它们都是由均值推导出来的gydF4y2Ba正态分布gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba中位数gydF4y2Ba对数正态分布的gydF4y2Ba $文本\{地中海}[X] = e ^{\μ},gydF4y2Ba$这是通过设置gydF4y2Ba累积分布gydF4y2Ba等于0.5，求解得到的方程。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba模式gydF4y2Ba对数正态分布的gydF4y2Ba $文本\{模式}[X] = e ^{\μ- \σ^ 2},gydF4y2Ba$这是通过将前一节中p.d.f的导数设为0得到的，因为模式表示分布的全局最大值。gydF4y2Ba

最后,gydF4y2Ba方差gydF4y2Ba对数正态分布的gydF4y2Ba $文本{Var} \ [X] = (e ^{\σ^ 2}1)e ^{2 \μ+ \σ^ 2},gydF4y2Ba$也可以写成gydF4y2Ba $大(e ^ \ \{\σ^ 2}1大)m ^ 2gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$是上述分布的均值。gydF4y2Ba

对于大多数自然生长过程，生长速率与大小无关，因此服从对数正态分布。因此，对数正态分布在生物学和金融学有大量的应用，在这两个领域，增长是一个重要的研究领域。特别是，流行病和股票价格倾向于服从对数正态分布。其他的应用包括技术方面的考虑，例如公开可用文件的文件大小和修复可维护系统的时间，工程方面的考虑，例如城市的大小，以及物理方面的考虑，例如gydF4y2Ba摩擦gydF4y2Ba系数。gydF4y2Ba

这种分布也出现在看似不太可能的领域，最显著的是国际象棋游戏结束的步数。基于FICS(免费互联网象棋服务器)上的游戏，半步棋的数量如下图[1]所示:gydF4y2Ba

它可以很好地近似于对数正规曲线。gydF4y2Ba

[1]课件。gydF4y2Ba一盘国际象棋的平均长度是多少?gydF4y2Ba．检索自2016年3月2日http://chess.stackexchange.com/a/4899gydF4y2Ba

• 连续随机变量-定义gydF4y2Ba
• 连续随机变量-累积分布函数gydF4y2Ba
• 连续概率分布-均匀分布gydF4y2Ba