局部线性化

假设你正在长途汽车旅行，远处有一座山。是陡峭的,对吧?但当你到达那里，你会觉得，哦，这不是那么陡峭!

同样地，如果你取一条曲线，如果你不断放大它，它会越来越像一条直线。我们可以用它来近似函数在烦人点的值。

主要文章:割线和切线

上面的图代表了一个函数 $f (x)。$我们想算一个近似值 $f (x)$在 $x$因为 $x$是一个很难处理的数字。但它很容易计算 $f (a)$,在那里 $一个$非常接近 $x。$我们要做的是画一条与 $(f ())$．记住，当我们放大曲线时，它会越来越像切线，它的斜率是 $f '(一个)$．

为了近似 $f (x)$在 $(x, f (x))$，我们要求出切线上的点 $x$价值 $x$因为只要 $x$非常接近 $一个,$差异应该是微乎其微的。我们可以画一个只有一条腿的直角三角形(我们称之为微分 $dx$有长度的 $入$另一条腿(我们称之为微分 $dy$与 $y$-取值范围从点 $(x, f (a))$到切线上的点 $x$．那么斜边的斜率是 $\ dfrac {dy} {dx}$,或 $f '(一个)$．在这里，对我们重要的是 $dy$，因为它更接近我们想要的近似值。我们可以先写

$\ dfrac {dy} {dx} = f (a) \ Rightarrow dy = f”(a) dx。$

但这还不是全部。我们少了一些高度。因为“容易”的值处理在点 $(f ())$，我们的三角形从高度开始 $f (a)$，我们需要补充 $f (a)$我们的近似方程。因此，我们可以写作

$F (x)约等于F (a) + F '(a) dx。$

但是是什么 $dx$？自 $dx$是 $x -$,我们有

$f (x) \大约f (a) + f (x)。$

近似 $\ sqrt {4.01}$．

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我们有 $f (x) = \ sqrt {x}$．因为我们有 $x = 4.01$一个很复杂的数，什么数接近4.01，我们知道它的平方根?让我们尝试4。

我们的公式 $F (x) + F '(a) (x-a)$,所以

$\{对齐}开始f(4.01) & \大约\ sqrt {4} + f”(4)(4.01 - 4)\ \ f ' (4) & = \ dfrac{1}{2 \√{4}}= \ dfrac {1} {4} \ \ \ Rightarrow f(4.01) & \约2.0025。\ \ _ \广场结束{对齐}$

注:如果你尝试 $\ sqrt {4.01}$在计算器上，您将得到2.002498439，这非常接近这个近似值。

近似 $罪\ 44 ^{\保监会}$．

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什么时候近似值小于实际值?什么时候近似值大于实际值?

如果我们看看函数的凹性，我们会发现一条切线总是在上凹曲线的“下方”，而一条切线总是在下凹曲线的“上方”，除了在切点处。因此，我们可以得出这样的结论:如果函数在切点处向上凹，则近似值将小于实际值;如果函数在切点处向下凹，则近似值将大于实际值。

我．2.0009 $\四$2．2.0008 $\四$3．2.0007

上面三个数字中的哪个可以是局部线性逼近 $8.01 ^{\压裂{1}{3}}$？

一个．我只 $\四$B．二只 $\四$C．仅限I & II $\四$D．仅II及III $\四$E．I, ii & iii $\四$F．没有一个人

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作为 $f (x) = x ^ {1/3}$是向下凹的，你可以说你做的任何局部线性逼近一定大于实际值。实际值是2.000832986，所以唯一可能的近似是选项I，或选项I一个． $_ \广场$

在多变量微积分中，我们对局部线性逼近进行了推广，得到了许多重要的公式，如多变量逼近公式和多变量链式法则公式。

给定一个函数 $z = f (x, y)$，我们可以说

$Delta x + Delta z + partial{z}}{partial{y}} {partial{y}}$

这就是多元近似公式。基本上，我们添加了以下数量:

• 的变化 $z$当 $x$是有点变化，用 $y$保持不变
• 的变化 $z$当 $y$是有点变化，用 $x$保持不变。

顺便说一下，有一件重要的事要记住: $Delta z \neq dz。$我们将使用 $\δz$引用一个实际的数字，并且 $dz$指差速器。当我们做 $\δx$和 $\δy$两者都趋近于0，那么我们可以把它们变成微分 $dx$和 $dy$, $\δz$也将成为 $dz$．

我们可以用多变量逼近法求出平面切线方程 $Z = f(x, y)$．为了得到一个近似的切平面，我们首先需要两条直线与平面上的同一点相切。这两条线可以是

$\ \{\离开开始{数组}{c} x z = z_{0} + \ \ \δx y = y_{0} \结束数组{}\。$

$左\ \{\{数组}{c}开始x z = z_ {0} + b \δy \ \ x =间的{0},{数组}\ \端。$

在哪里 $= \ dfrac{\部分{f}}{\部分{x}}$和 $b = \ dfrac{\部分{f}}{\部分{y}}$．

那么切平面的方程就变成

$z - z_{0} = \离开(x -间的{0}\右)+ b \离开(y - y_{0} \右)。$

给定一个二元函数，我们可以做任何改变 $x$和 $y$趋近于0，将近似方程重写为

$dz = \ dfrac{\部分{z}}{\部分{x}} dx + \ dfrac{\部分{z}}{\部分{y}}。$

然后，我们可能想让整个函数依赖于 $t$来得到的值 $x, y$使用的参数 $t$．我们可以把整个方程除以 $dt$得到多变量链式法则:

$\ dfrac {dz} {dt} = \ dfrac{\部分{z}}{\部分{x}} \ dfrac {dx} {dt} + \ dfrac{\部分{z}}{\部分{y}} \ dfrac {dy} {dt}。$