线性的期望gydF4y2Ba

期望的线性是属性gydF4y2Ba期望值gydF4y2Ba无论它们是独立的，随机变量的总和等于其单个预期值的总和。gydF4y2Ba

随机变量的期望值本质上是可能结果的加权平均值。我们经常对随机变量和的期望值感兴趣。例如，假设我们正在玩一个游戏，其中我们取两个六面骰子上滚来的数字之和：gydF4y2Ba

使用我们的基本方法来计算转鼓总数的期望值是非常繁琐的。相反，我们提出以下论点：gydF4y2Ba"每个骰子的期望值是gydF4y2Ba $3.5gydF4y2Ba$，这两个骰子是gydF4y2Ba独立事件gydF4y2Ba，因此其总和的预期值应为gydF4y2Ba $3.5 + 3.5 = 7gydF4y2Ba$．"

这是真的，这些期望值相加。但还有更多！期望的线性特性特别强大，因为它告诉我们gydF4y2Ba即使随机变量依赖，我们也可以以这种方式添加预期值gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

让我们花点时间来理解这一点，因为它可能是非常反直觉的!例如，这意味着本周末雨量的期望值就是周六雨量的期望值加上周日雨量的期望值，尽管我们确实是这样做的gydF4y2Ba不是gydF4y2Ba假设周六的降雨量与周日的降雨量无关（例如，非常多雨的周六会增加周日下雨的可能性）。gydF4y2Ba

在这一页上，我们导出了这个期望值的属性。我们将解决一些基本问题，然后深入研究高级技术，这些技术使我们能够解决许多组合问题，从合理的直接问题到极具挑战性的问题。最后，我们将探讨计算机科学和几何等其他学科领域的应用。gydF4y2Ba

首先，让我们清楚地说明预期值函数的线性属性（通常简单地称为“期望的线性”）：gydF4y2Ba

为随机变量gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $YgydF4y2Ba$（可能是依赖的），gydF4y2Ba

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]。gydF4y2Ba$

更一般地说，对于随机变量gydF4y2Ba $X_1、X_2 \ ldots X_ngydF4y2Ba$和常数gydF4y2Ba $c₁,c₂\ ldots c_n,gydF4y2Ba$

$左(E \ \ sum_ {i = 1} ^ {n}为c_i X_i \右]= \ sum_ {i = 1} ^ {n} \大(左为c_i \ cdot E \[正确X_i \] \大)。gydF4y2Ba$

我们要明确地证明这个定理gydF4y2Ba离散随机变量gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $YgydF4y2Ba$. 根据期望值的基本定义，gydF4y2Ba

$\（X+Y）或大[（X+Y）元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元朗（X+Y）cdot P（X=X=X，Y=Y=Y）元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元P（X=X）}+\sum{Y}Y\subrace{\sum{X}P（X=X，Y=Y）}{P（Y=Y）\\\&=\sum{x}x\cdot P（x=x）+\sum{Y}Y\cdot P（Y=Y）\\\&=E[x]+E[Y]\结束{对齐}gydF4y2Ba$

这一结果可以推广到其他领域gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$变量使用感应。gydF4y2Ba

注意，在这个证明中我们从未使用过任何独立性质，因此期望的线性性对所有随机变量都成立!gydF4y2Ba

为gydF4y2Ba连续随机变量gydF4y2Ba，证据基本上是相同的，除了总结由积分替换。另外，很容易将两个随机变量扩展到更常规的情况下的证据gydF4y2Ba期望值的性质gydF4y2Ba．gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

希望上面的证明能清楚地说明为什么这个性质成立，不管随机变量是否独立。这是期望线性的关键概念之一，所以如果这不是很明显，一定要再次证明。gydF4y2Ba

在我们开始研究解决问题的技巧之前，让我们先来看看如何直接应用期望的线性。考虑引言中给出的例子：一个26方骰子被掷骰子的游戏。我们已经讨论了如何找到总和的期望值gydF4y2Ba $7，gydF4y2Ba$由于每个模具的预期值为gydF4y2Ba $3.5。gydF4y2Ba$

但是，记住，期望线性的一个最重要的区别是它可以被应用到gydF4y2Ba依赖的gydF4y2Ba随机变量。让我们用骰子做一个例子：gydF4y2Ba

如果掷骰子的数字之和是gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$这些数字的乘积是gydF4y2Ba $B,gydF4y2Ba$计算gydF4y2Ba $e \ left [a + b \右]。gydF4y2Ba$

我们知道gydF4y2Ba $E[A]=7，gydF4y2Ba$由于这两个数字是独立的，我们有gydF4y2Ba $E[B]=3.5\cdot 3.5=12.25。gydF4y2Ba$因此，尽管事实是gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$显然是依赖的，期望的线性告诉我们gydF4y2Ba

$E\左[A+B\右]=E[A]+E[B]=7+12.25=19.25.\_\广场gydF4y2Ba$

你可以在下面的问题中练习直接应用期望的线性:gydF4y2Ba

现在我们看到了一些直接应用线性的期望，让我们跳进一些解决问题的技术！gydF4y2Ba

有趣的是，期望线性在解决问题中最常见的用途之一是，它可以用于寻找单个随机变量的期望值。你可能会想，“等等，我怎么能把一个关于随机变量和的工具应用到一个随机变量上？”gydF4y2Ba

在期望的线性性最有用的情况下，应用它往往不是很明显。相反，我们必须运用解决问题的技巧，将单个随机变量重新定义为其他随机变量的总和。gydF4y2Ba

首先，让我们注意两个重要的符号，它们提醒我们，当我们解决一个给定的期望值问题时，我们可以应用期望值的线性:gydF4y2Ba

1. 作为加权平均值计算期望值是困难的/混乱的，因为每个单独结果的概率很难计算。gydF4y2Ba
2. 所考虑的随机变量可以写成一些简单随机变量的和。gydF4y2Ba

让我们来看一个例子:gydF4y2Ba

卡洛琳要抛10枚均匀硬币。如果她翻转gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$正面，她将得到$gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．她支付的期望值是多少?gydF4y2Ba

我们把卡洛琳的支出记作$gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$. 我们的第一反应是找到gydF4y2Ba $X = 0, 1, 2, \ ldotsgydF4y2Ba$然后做一个加权平均，但是计算这些概率和做一个期望值的和很快就变得很难看了我们考虑使用期望的线性的第一个标志!我们该如何表达gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是简单随机变量的和吗?gydF4y2Ba

我们注意到获得报酬$gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$头部与她获得报酬的说法gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$对于每个人头，我们可以把她的总支出看作是每个硬币的总支出($gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$头)。因此，如果我们让gydF4y2Ba $X_i = 1gydF4y2Ba$如果是gydF4y2Ba $我^ \ text {th}gydF4y2Ba$硬币是正面gydF4y2Ba $X_i = 0gydF4y2Ba$如果是尾巴，那么我们可以写Caroline的支付gydF4y2Ba

$x = x_1 + x_2 + \ cdots + x_ {10}。gydF4y2Ba$

找到gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$，我们现在只需要找到预期的价值gydF4y2Ba $X_1+X_2+\cdots+X_{10}gydF4y2Ba$．就像这样，我们的问题看起来就像期望的线性问题!gydF4y2Ba

当然，由于每个硬币是具有概率的头部gydF4y2Ba $\分形{1}{2}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $e \ left [x_i \ light] = 1 \ cdot \ frac {1} {2} + 0 \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {2}gydF4y2Ba$对所有人gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$. 因此gydF4y2Ba

$e [x] = e \ left [x_1 + x_2 + \ cdots + x_ {10} \ rectle] = 10 \ cdot \ frac {1} {2} = 5，gydF4y2Ba$

所以卡洛琳的预期收益是美元gydF4y2Ba $5gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

正如您所看到的，期望值的线性可以极大地简化期望值计算所需的计算!请注意，我们是如何利用期望值计算看起来很混乱的事实来考虑期望的线性性的，然后我们聪明地将随机变量(Caroline的支出)写成简单随机变量的和。试试下面的问题来测试你的技能:gydF4y2Ba

在上面的例子和问题中，我们将期望的线性应用于独立随机变量的和。这很好，但请记住，期望线性的一个最强大的方面是，它适用于相关的随机变量!我们来做一个例题gydF4y2Ba依赖的gydF4y2Ba随机变量。gydF4y2Ba

数字gydF4y2Ba $1、2、3,gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $4gydF4y2Ba$随机排列以形成两个两位数字，gydF4y2Ba $\上划线{AB}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\ overline {CD}。gydF4y2Ba$例如，我们可以gydF4y2Ba $\眉题{AB} = 42gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\上划线{CD}=13。gydF4y2Ba$什么是预期的价值gydF4y2Ba $AB \眉题{}\ cdot \眉题{CD} ?gydF4y2Ba$

我们的第一本能是寻找gydF4y2Ba $E大\[\,{\小\眉题{AB}} \ \]大gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $e \ big [\，{\ small \ overline {cd}} \，\ big]gydF4y2Ba$并简单地乘以它们。但是，请记住gydF4y2Ba $e [xy] = e [x] \ times e [y]gydF4y2Ba$ 只有当随机变量相互独立时才成立gydF4y2Ba．清楚地，gydF4y2Ba $\上划线{AB}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $CD \眉题{}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba不是gydF4y2Ba独立，因为每个数字只能使用一次;例如,如果gydF4y2Ba $\上划线{AB}=13gydF4y2Ba$然后我们会知道的gydF4y2Ba $CD \眉题{}gydF4y2Ba$只能是24或42。这激励我们尝试把我们的问题变成某种求和。gydF4y2Ba

因为我们最简单的变量是单个数字，所以我们受启发将产品编写为gydF4y2Ba

$\左（10A+B\right）\cdot\left（10C+D\right）=100\cdot AC+10\cdot AD+10\cdot BC+BD。gydF4y2Ba$

然而，很明显，这些产品的任何形式的预期价值gydF4y2Ba $交流gydF4y2Ba$是一样的，因为它们之间是对称的gydF4y2Ba $A、 B，C，D。gydF4y2Ba$我们可以计算gydF4y2Ba

$左[右]=\frac{1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 4+2\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 4}{6}=\frac{35}{6}。gydF4y2Ba$

因此，通过期望的线性，gydF4y2Ba

$e \ big [\，{\ small \ overline {ab} \ cdot \ overline {cd}} \，\ big] = e \ left [100 \ cdot ac \ light] + e \ left [10 \ cdot ad \ light］+E\left[10 \cdot BC\right] + E\left[BD\right] = 121\cdot E\left[AC\right] = \frac{4235}{6} = 705.8\overline{3}.\ _\square$

现在我们已经掌握了基本的思想，让我们继续学习一些更复杂的解决问题的技巧。gydF4y2Ba

在本节中，我们将继续探索允许我们gydF4y2Ba解决组合问题gydF4y2Ba使用期望线性，引入一种新工具，称为gydF4y2Ba指标变量gydF4y2Ba. 特别是，当考虑的随机变量为gydF4y2Ba计数gydF4y2Ba简单事件发生的次数。gydF4y2Ba

在这些类型的问题中，所考虑的随机变量可以写成其他随机变量的和这一事实将不像前一节中那么明显。但是有了我们目前已经建立起来的工具，我们将能够很快解决这些问题!gydF4y2Ba

让我们从一个例子开始，帮助激发一些想法，如何巧妙地将随机变量写成简单随机变量的和:gydF4y2Ba

一个盒子包含一个黄色球，橙色球，绿色球和蓝色球。比利从盒子里随机选择4个球（用替换）。锦标赛数量比利的预期价值是什么？gydF4y2Ba

我们希望找到Billy选择的不同颜色数的期望值。我们可以直接计算Billy选择的概率gydF4y2Ba $k = 1,2,3,4.gydF4y2Ba$不同的颜色，但这有点凌乱（如果有超过4个球的话就更难了）。这就是我们的线索，看看线性预期是否有帮助！gydF4y2Ba

现在，我们要考虑如何把比利选择的不同颜色的个数写成其他随机变量的和。首先，假设比利的四个选择如下:gydF4y2Ba

您如何确定Billy选择的不同颜色的数量？好的，看上图，比利选择了橙色、绿色和蓝色的球，但他没有选择黄色的球，所以这是3种不同的颜色。如果你在想，“是的，当然，我已经知道怎么数数了！”，抓紧，这就是魔法发生的地方。gydF4y2Ba

因为我们的随机变量只是计算有多少颜色被选中了，我们可以把它看作是4个随机变量的和:每个颜色一个，如果颜色被选中了，这个值等于1，如果颜色没有被选中，这个值等于0。在上面的例子中，橙色，绿色和蓝色的随机变量是1，而黄色的随机变量是0。把这些加起来，总共有3个不同颜色的球被选中。gydF4y2Ba

此外，这四个随机变量中的任何一个的期望都很容易计算。事实上，使用期望值的基本定义，我们可以看到它的期望值仅仅等于颜色被选中的概率。使用gydF4y2Ba免费概率gydF4y2Ba技术，我们发现选择任意颜色（比如黄色）的概率是gydF4y2Ba

$1-P（\text{yellow未选中}）=1-\left（\frac{3}{4}\right）^4=\frac{175}{256}。gydF4y2Ba$

最后，通过期望的线性，比利将选择的不同彩球数量的预期价值是gydF4y2Ba

$4\cdot\frac{175}{256}=\frac{175}{64}\约2.73_\广场gydF4y2Ba$

让我们反思这个例子，看看我们使用和开发的重要创意：gydF4y2Ba

• 期望的线性性帮助我们以一种非常简单的方式计算出一个看似复杂的期望值(尽管是在使用了一个聪明的见解之后——但这些将成为更多实践的第二天性)!gydF4y2Ba
• 期望的线性性让我们不用担心我们考虑的是相关随机变量的和。显然，这些变量是相关的:例如，如果其中3个变量为0，那么第4个变量就必须为1(因为必须至少选择一种颜色)。然而，正如我们在本页开始时所证明的，期望的线性对所有随机变量都成立，不管它们的独立性如何。gydF4y2Ba
• 因为我们的随机变量gydF4y2Ba计数gydF4y2Ba有些东西(如不同颜色的球的数量)，我们可以将其写成随机变量的总和，表示哪些东西应该被计数(如每种颜色都有1)。gydF4y2Ba

看最后一点，这其实很像我们之前解卡洛琳抛硬币的例子当我们计算她抛正面的次数时通过对随机变量求和来表示，每枚硬币，是否为正面。事实上，对于这种随机变量有一个正式的术语:gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba指示器随机变量gydF4y2Ba在一个事件上gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$，常表示为gydF4y2Ba $\ mathbb {1} _tgydF4y2Ba$是随机变量是gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$如果发生，则为0gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$不会发生。根据期望值的定义，gydF4y2Ba

$E\left[\mathbb{1}_t\right] = P(t\text{occur})\cdot 1 + P(t\text{不出现})\cdot 0 = P(t\text{occur})。gydF4y2Ba$

这些指示器变量对于解决期望的线性问题来说非常有用，特别是在简单地计算预期率时（即发生事件的概率）。使用这个想法，你已经准备好承担了一个问题，否则以简单，干净的方式来解决。gydF4y2Ba

总而言之，使用与指示器变量的期望的线性通常是有用的gydF4y2Ba

• 一个问题看起来可以用期望的线性来解决;gydF4y2Ba
• 没有一个明显的方法来编写所考虑的随机变量作为更简单的随机变量的总和;gydF4y2Ba
• 考虑的随机变量是计算固定数量的简单事件的发生次数。gydF4y2Ba

在本节中，我们将介绍一种应用期望线性的技术，当考虑的随机变量度量完成某种过程所需的时间或步骤数时。如果这听起来有点模糊，让我们考虑以下简单的例子来介绍过程中的“状态”概念:gydF4y2Ba

Allison有一枚非均匀硬币，正面朝上的概率是gydF4y2Ba $p。gydF4y2Ba$在她翻转头脑之前，她必须翻转硬币的次数的预期价值是多少？gydF4y2Ba

乍一看，我们的随机变量肯定是在计算简单事件，所以看起来指标变量可能会有所帮助。我们只需要计算我们翻转的尾巴的数量，每个翻转都是带有概率的尾巴gydF4y2Ba $1 - p。gydF4y2Ba$但是有一个大问题！我们不知道我们的总数中应该有多少这样的翻转；事实上，这几乎正是所提出的问题。gydF4y2Ba

相反，我们在“完成一个过程”中考虑这个问题，其中有多个州。在这里，各州很简单：我们还没有翻转头部（让我们召唤这个状态0），或者我们已经翻了个头（让我们召唤这个州1）。gydF4y2Ba

现在,让gydF4y2Ba $左右E \ [X_i \]gydF4y2Ba$表示在给定状态下完成这个过程(抛第一个正面)所需的预期次数gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$应该很清楚gydF4y2Ba $E\left[X_1 \right] = 0，gydF4y2Ba$因为状态1意味着我们已经抛了一个头，所以这个过程完成了。另一方面，一旦翻转到状态0，状态0的概率就会保持不变gydF4y2Ba $1 - pgydF4y2Ba$我们将以概率转移到状态1gydF4y2Ba $p。gydF4y2Ba$因此，考虑到状态0中第一次翻转后的状态，我们有gydF4y2Ba

$左右E \ [X_0 \] = 1 + (1 - p)左\ cdot E \ [X_0正确\]+ p \ cdot \ underbrace {E \左(X_1 \右)}_ {0},gydF4y2Ba$

所以gydF4y2Ba $p\cdot E\left[X_0\right]=1，gydF4y2Ba$给予gydF4y2Ba $E\left[X_0\right]=\frac{1}{p}.\_\广场gydF4y2Ba$

备注:gydF4y2Ba这是求a期望值的一种方法gydF4y2Ba伯努利分布gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

让我们看一个使用状态的更复杂的例子，在这个例子中，我们将能够直接应用我们刚刚得到的结果！gydF4y2Ba

每次在SlurpeeShack购买时，您都会收到右侧显示的一块随机拼图。gydF4y2Ba

一旦你收集了全部12件，你就可以得到一个免费的Slurpee！gydF4y2Ba

为了收集所有12件物品，你需要购买多少件物品?gydF4y2Ba

在这里，我们的州是我们有多少不同的优惠券。让gydF4y2Ba $X_I.gydF4y2Ba$表示我们需要购买的数量，以获得gydF4y2Ba $我^ \ text {th}gydF4y2Ba$券息不同，所以考虑的随机变量为gydF4y2Ba $\ sum_ {i = 1} ^ {12} X_i。gydF4y2Ba$

一旦你有gydF4y2Ba $张gydF4y2Ba$不同的优惠券，在任何给定的购买中获得新优惠券的概率是gydF4y2Ba $\分形{12-（i-1）}{12}。gydF4y2Ba$如前面的示例中得出的，所需的预期购买次数将是gydF4y2Ba $左右E \ [X_i \] = \压裂{12}{12 -(张)}。gydF4y2Ba$因此，通过期望的线性，gydF4y2Ba

$E\left[\sum{i=1}{12}X{i\right]=\sum{i=1}{12}E\left[X{i\right]=\sum{i=1}{12}\frac{12}{12-（i-1）=\frac{12}+\frac{12}+\frac{12}{11}+\cdots+\frac{12}{12}2310}{gydF4y2Ba$

奖金：gydF4y2Ba这是一个着名的问题，通常被称为gydF4y2Ba优惠券收集器的问题gydF4y2Ba．一般来说，对于gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$优惠券，购买数量的预期值为gydF4y2Ba $nH_n,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $H_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $n ^ {\ text {th}}gydF4y2Ba$谐波数。它可以用微积分显示，对于大gydF4y2Ba $n,gydF4y2Ba$ $H_n近似ln n，gydF4y2Ba$所以期望值是近似的gydF4y2Ba $n\ln。gydF4y2Ba$

正如我们所看到的，当我们可以把随机变量写成其他随机变量的和时，状态法是有用的，这些随机变量度量从一个状态到另一个状态所花费的时间/步骤。如果你在寻找一个额外的挑战，试试这个状态更不明显的问题:gydF4y2Ba

我们已经看到了如何使用期望的线性来解决一些伟大的组合问题。然而，期望线性在现实世界和跨学科中也有许多用途，在本节中，我们将探讨其中的一些用途。gydF4y2Ba

让我们从彩票开始。gydF4y2Ba

有一种彩票比赛，参与者支付1美元，从1到50的整数中选择5个不同的数字。这家彩票公司提供250万美元的奖金，如果有人猜对了5个数字(如果有多个正确的参与者，奖金将分给所有的中奖者)。gydF4y2Ba

我们知道从gydF4y2Ba组合gydF4y2Ba有gydF4y2Ba $\ binom {50} {5} = 2118760gydF4y2Ba$可能的选择。但等待的gydF4y2Ba鸽子洞原理gydF4y2Ba，这意味着如果我们得到一组gydF4y2Ba $2,118,760.gydF4y2Ba$人们向每个人提交一张截然不同的彩票，我们一定会从彩票公司赚钱!gydF4y2Ba

虽然这是事实，但彩票公司知道，参与者通常没有资源以这种方式进行协调。相反，他们可能会假设每个人可能是随机选择数字的。如果是这样的话gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$人们参加彩票是因为gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$可能的选择，一些参与者获胜的概率是多少？gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $X_I.gydF4y2Ba$成为彩票组合所涉及事件的指标变量gydF4y2Ba $1 I \我\我gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba不是gydF4y2Ba由任何参与者选择。因为每个人都是随机选择的，gydF4y2Ba

$左右E \ [X_i \] = \离开(1 - \压裂{1}{m} \右)^ ngydF4y2Ba$

对所有人gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$通过期望的线性关系，未选择组合个数的期望值为gydF4y2Ba

$左[\sum{i=1}{m}X{i\right]=\sum{i=1}{m}E\left[X{i\right]=m\cdot\left（1-\frac{1}{m}\right）^n。gydF4y2Ba$

现在，由于随机选择获奖组合，gydF4y2Ba

$1 - \压裂{m \ cdot \离开(1 - \压裂{1}{m} \右)^ n} {m} = 1 - \离开(1 - \压裂{1}{m} \右)^ n。gydF4y2Ba$

例如，在我们的2118760个选择和2118760个参与者的彩票中，有人获胜的概率大约是63%。gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

奖金：gydF4y2Ba发生了什么gydF4y2Ba $MgydF4y2Ba$可能选项的数量，变得非常大?如果参与者的数量增加，这将如何影响彩票公司的适应?提示:结果涉及到一个著名的gydF4y2Ba数列极限gydF4y2Ba与常数有关gydF4y2Ba $e。gydF4y2Ba$此外，阅读这一点gydF4y2Ba回答gydF4y2Ba为了更深入的了解gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$和组合。gydF4y2Ba

很高兴看到我们能够运用我们的线性期望技能去发现一个关于现实世界彩票的有趣事实!让我们转向另一种口味:著名的gydF4y2Ba几何概率gydF4y2Ba的问题。gydF4y2Ba

假设一根长度为1的针落在地板上，木板条分开一个单位。针穿过两条木条的概率是多少?gydF4y2Ba

这个问题的传统解决方法是使用微积分，但我们将展示如何用期望的线性来解决它!gydF4y2Ba

首先，我们要证明针穿过木条的预期次数与长度成正比gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$的针。假设针是由gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$线性等长度，让gydF4y2Ba $X_I.gydF4y2Ba$是一个指示器变量gydF4y2Ba $我^ {\ text {th}}gydF4y2Ba$横过两条木条的一块那么，通过期望的线性关系，总交叉数的期望是gydF4y2Ba

$e \ left [\ sum_ {i = 1} ^ {n} xi \ light] = \ sum_ {i = 1} ^ n e \ left [x_i \ light] = n \ cdot e \ left [x_1 \ light]。gydF4y2Ba$

保持这些小块的长度不变，我们可以看到预期的次数与针的长度成正比（诚然，这有点像挥手，但直觉应该是清楚的）。gydF4y2Ba

因此，作为长度的函数gydF4y2Ba $LgydF4y2Ba$预计的过境人数为gydF4y2Ba $clgydF4y2Ba$为了某个常数gydF4y2Ba $c。gydF4y2Ba$然而，考虑一个直径为1的圆(圆周gydF4y2Ba $\圆周率gydF4y2Ba$); 概率为1时，此圆正好与两个木材交叉点相交。因此,，gydF4y2Ba $c\pi=2，gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $c = \压裂{2}{\π}。gydF4y2Ba$如果你对圆的概念不太熟悉，可以考虑通过组合一些非常非常小的线段来近似圆。gydF4y2Ba

对于任何一根针(比如我们的针)，只要它至多能穿过一个十字路口，gydF4y2Ba $\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_igydF4y2Ba$事实上，是针穿过两条木条时的一个指标变量，因此预期值正是发生这种情况的概率。因此，与长度为1的针交叉的概率很简单gydF4y2Ba $\压裂{2}{\π}\大约64 \$

奖金：gydF4y2Ba你能想一下怎么用这个结果来估计价值吗gydF4y2Ba $\圆周率gydF4y2Ba$通过A.gydF4y2Ba蒙特卡罗gydF4y2Ba模拟？gydF4y2Ba

以下是其他一些示例，可以用期望的线性地解决：gydF4y2Ba

许多关于随机图中期望值的问题可以用期望值的线性来回答。例如，假设有一组gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$潜在的朋友，每对人都有可能成为朋友gydF4y2Ba $\分形{1}{2}gydF4y2Ba$. “朋友三胞胎”数量的预期值是多少，例如，由三个人组成的群体，他们都是共同的朋友？gydF4y2Ba

请注意，有gydF4y2Ba $\ binom {n} {3}gydF4y2Ba$这样的三元组，每一个三元组都有可能是一个朋友三元组gydF4y2Ba $左(\ \压裂{1}{2}\右)^ 3 = \压裂{1}{8}。gydF4y2Ba$如果我们让我们gydF4y2Ba $X_I.gydF4y2Ba$是一个指示器变量gydF4y2Ba $我^ {\ text {th}}gydF4y2Ba$Triplet是朋友三联网，那么朋友三胞胎的预期数量是gydF4y2Ba

$左[\sum{i=1}{\binom{n}{3}X{i\right]=\sum{i=1}{\binom{n}{3}}左[X{i\right]=\frac{\binom{n}{3}{8}_\广场gydF4y2Ba$

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