线性变换
一个线性变换是一个从一个向量空间到另一个向量空间的函数,它尊重每个向量空间的底层(线性)结构。线性变换也称为线性算子或映射。的范围可能和定义域是一样的,当这种情况发生时,这个变换被称为自同构,或者,如果可逆的话,自同构。两个向量空间必须具有相同的下场。
线性变换的决定性特征 这对任何向量都适用吗 和 在 和标量 和 在潜在的领域,
线性变换很有用,因为它们保留了向量空间的结构。因此,对于线性变换域的向量空间的许多定性评价,在一定条件下,可以自动地保持在线性变换的象中。例如,结构立即给出内核和像都是线性变换范围的子空间(不仅仅是子集)
在适当的条件下,大多数线性函数都可以被看作是线性变换。的转换更改基础公式是线性的,大多数几何运算,包括旋转、反射和收缩/膨胀,都是线性变换。更强大的是,线性代数技术可以应用于某些非常非线性的函数,无论是通过线性函数逼近,还是在不寻常的向量空间中重新解释为线性函数。对线性变换的全面的、有基础的理解揭示了数学领域和数学对象之间的许多联系。
欧几里德几何中常见的变换是绕原点在平面上旋转。通过把欧氏点看作向量空间中的向量 ,旋转可以从线性代数的意义上看。旋转 逆时针按角度 由
线性变换 从 来 由上面的矩阵给出。因为这个矩阵对任何值都是可逆的 ,可以得出这个线性变换实际上是一个自同构。因为向相反方向旋转可以“取消”旋转,这是有意义的。
线性变换的类型
线性变换最常被写成矩阵乘法。一个变换 从 -维向量空间 来 -维向量空间 由 矩阵 .但是请注意,这需要选择一个基础为 这是 ,而线性变换独立于基底存在。(也就是说,它可以表示为任意基底的矩阵。)
线性变换从 来 定义为 是由矩阵给出的吗
所以, 也可以定义向量 通过矩阵乘积
请注意维的个数列在矩阵中,而目标向量空间的维数为行在矩阵中。
线性变换也存在于无限维的向量空间中,它们中的一些也可以写成矩阵,使用一种被称为无限矩阵.然而,线性变换的概念独立于矩阵存在;矩阵为有限计算提供了一个很好的框架。
线性变换是满射如果每个向量在它的范围内都在它的像中。同样地,至少有一个 未成年人 矩阵是可逆的。它是内射如果它的像中的每个向量都是它的定义域中的一个向量的像。同样地,至少有一个 未成年人 矩阵是可逆的。
就是线性变换 ,从 来 ,内射?它是满射的吗?
对于一个向量 ,可以写成
是一个 矩阵,所以它是满射的因为这个小子 有行列式 因此是可逆的(因为行列式是非零的)然而,没有 未成年人,所以它不是单射的.
线性变换 在两个等维(有限或无限)的向量空间之间可逆的如果存在一个线性变换 这样 和 对于任何向量 .对于有限维向量空间,一个线性变换是可逆的,当且仅当它的矩阵是可逆的。
注意这是一个线性变换必须在维数相等的向量空间之间,以便可逆。要知道为什么,考虑一下线性变换 从 来 .这个线性变换有一个正确的反 也就是说, 对所有 .然而,它没有左逆因为没有地图 这样 对所有 .这是根据有关的事实得出的结论排名的 .
线性变换的例子
线性变换可以有多种形式,这取决于所涉及的向量空间。
考虑向量空间 最多的次多项式 .注意到 任何多项式的系数,在某种意义上是相等的 成立。然而,有一个自然的线性变换 关于向量空间 满足
对基础的影响
向量空间的线性变换 到向量空间 完全由基向量的像决定 .这允许对线性变换进行更简洁的表示,并为线性变换和矩阵(矩阵的列和行表示基底)之间的关系提供了线性代数解释。
让 和 是同一场上的向量空间,让 是一组基向量 .对于任何函数 ,有一个唯一的线性变换 这样 为每一个 .的张成 等于的像 .
换句话说,基向量上的任何函数(无论看起来多么“非线性”)都可以产生线性变换。基向量的行为完全决定了线性变换。
的任何元素都可以证明 可表示为基本元素的线性组合,并且只有一种可能的这种线性组合。
根据这种思路,基的变换可以用来用任何基底来重写线性变换的矩阵。这对于自同态(从向量空间到自身的线性变换)尤其有帮助。
然而,线性变换本身保持不变,与基的选择无关。也就是说,无论选择什么基,线性变换的所有性质都保持不变:注入性、满射性、可逆性、对角化性等。
我们也可以在上的线性变换之间建立一个双射 维空间 来 维空间 .让 做这样的转变,并固定的基础 为 , 为 .然后我们可以描述的效果 在每个基向量上 如下: .定义矩阵 是变换的矩阵 在基地 .的 的第Th列 描述了 在 基向量 ,从前面的想法,我们现在可以用坐标描述的效果 在任意向量上 通过矩阵乘法。相反,选择 矩阵和右边相乘的向量的线性组合 也定义了一个线性变换 -维空间变为 -维空间的矩阵乘法定义。因为线性变换从 来 ,其集合已表示 ,本身就是一个向量空间,当这种变换的基是固定的时,就由此建立到一切的集合的双射 矩阵。