线性复发关系
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- 可能性年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="chevron">>年代p一个n>
线性复发关系一个>
一个<年代trong>线性再现关系年代trong>将序列或多维数组中的术语与之前使用的术语联系起来的方程是什么<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/recursion/" class="wiki_link" title="递归" target="_blank">递归一个>.使用这个词
一个<年代trong>线性再现关系年代trong>是定义的等式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">TH.年代p一个n>年代p一个n>在序列中的术语<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n>年代p一个n>以前的术语在序列中。复发关系是:
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>
其中每个<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>是常系数。
定义
一个<年代trong>解决重复关系年代trong>赋予价值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>而言,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>,并且不需要任何先前术语的值。
求解递归关系:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>
序列中的每个术语可以用上一个术语计算。第一个术语,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>是给定的。
可以使用关系计算下一项:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">9年代p一个n>年代p一个n>
随后的条款重复此过程:
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">7年代p一个n>年代p一个n>
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">4年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n>年代p一个n>
人们可能会注意到这一点的模式。这些是3的力量。
因此,解决方案是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>对于所有正整数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>.
几何级数(或组合,我们将看到)通常是递归的解。现在,假设有一个递归式<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>和一个解决方案<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.
插入,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>自从<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n>年代p一个n>0年代p一个n>年代p一个n>,我们可以分开<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>:年代p一个n>年代p一个n> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>把这些项移过去,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>这是多项式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>,所以解决方案仅满足重复性<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>是这个多项式的根。这个多项式叫做<年代trong>特征多项式年代trong>的复发。
另外,如果两个几何系列满足复发,则它们的总和也满足了复发。然后,我们可以找到以下方法来解决复发:
- 找到特征多项式。
找到根源<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>特征多项式。 假设没有多个根,闭合表达式看起来像这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>对于一些常数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>的年代。 用初值来求<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>的年代。
让我们举个例子:
序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是由的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>, 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>对所有人<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>.找到封闭式表达式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.
通过让递归中最低的索引术语来发现特征多项式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>,更换所有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>借助了<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>.在这种情况下,<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>⟹年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⟹年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>考虑特征多项式,我们得到了根源<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> -年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 6年代p一个n>年代p一个n>.因此,闭形式表达式如下所示<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>插入<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>插入<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>解决,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">7年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">7年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>,封闭式表达式是<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">7年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">7年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>这可以通过将其插入复发来验证。<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
问题:
1。弥补自己的复发并解决它们!
<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/discussions/thread/recurrence-relations-part-2/">点击这里了解更多关于这个主题的信息一个>.谢谢阅读!
在维基<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性递归关系," target="_blank">线性递归关系,一个><年代trong>线性复发年代trong>定义并且在其特征多项式仅具有多重型根的根的情况下描述了解决复发的方法。当其特征多项式重复根系时,这种维基将介绍一种解决线性复发的方法。也就是说,当一些根部可以具有高于1的多个。
重复的根
具有重复根部的线性复发是形式的线性复发<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>所有的所有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n>年代p一个n>是常数,其特征多项式,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>可能有重复的根,即多数的根,高于1。我们将解释如何解释的方法<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性复发关系" target="_blank">线性复发关系一个>也可以修改来解这个线性递归关系。在一般地解释这种方法之前,让我们先考虑一个例子。
只有一个重根的递归关系年代trong>
序列定义为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>对所有人<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>.求封闭形式的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
这种递归关系的特征多项式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>通过因式分解这个多项式,使它为零,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>因此,它唯一的根是具有多重性的2。如上所述<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性复发关系" target="_blank">线性复发关系一个>, 序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> α.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是一个解决方案之一。由于复发的顺序,这也等于特征多项式的程度,是2,我们需要获得另一个独立的解决方案。在这种情况下,可以通过将给定的解决方案乘以乘以给定的解决方案来获得其他解决方案<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>所以其他解决方案可以是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>我们可以验证<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>也是通过直接计算的解决方案。事实上,替代进入复发的右侧,我们得到了<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>现在封闭式解决方案可以表示为一个<一个target="_blank" rel="nofollow" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination">线性组合一个>两种解决方案。这意味着一般解决方案可以写成<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>我们所看到的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性递归关系," target="_blank">线性递归关系,一个>我们可以使用给定的初始值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>什么时候<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>找到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>制作<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>在前面的方程中,我们分别得到方程<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>用代换法,我们得到这个<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.所以由此产生的公式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
在求解带重根的线性递归的过程中,如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
r年代p一个n>年代p一个n>是具有多重性的特征多项式的根<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>然后我们需要考虑序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n>年代p一个n>
n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>作为复发溶液的封闭形式的一部分。现在我们可以解释一般的方法。
解带重根的线性递归的一般方法
找到特征多项式(学位<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n>年代p一个n>).
找到特征多项式的所有根<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">米年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">k年代p一个n>年代p一个n>与多样性<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">米年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>分别。
溶液的闭合形式表达可以表示为形式的所有序列的线性组合<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">j年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">j年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
使用初始值来查找用作线性组合系数的常量。
下面是一个用a解递归的例子<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">rd.年代p一个n>年代p一个n>程度特征多项式和一个重复的根:
序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是由的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>和复发关系<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>求封闭形式的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
所给递归关系的特征多项式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>所以它只有一个根,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>具有多个3.所以我们已经完成了上述一般方法的步骤1和2。根据第3步,封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>将会<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>现在,剩下的是第4步。
我们会发现<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>使用初始值。制作<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>分别在公式中<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>获得上面的,我们得到了方程式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>求解由这三个方程组成的方程组,得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">8年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>所以封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
下面是一个用a解递归的例子<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">rd.年代p一个n>年代p一个n>具有两个根的程度特征多项式,其中一个具有多重性2。
序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是由的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>和复发关系<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>求封闭形式的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
所给递归关系的特征多项式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>所以它只有两个根,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>多重性2,和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n>年代p一个n>与多样性1。然后是封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>看起来像<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>使用此表达式和给定的初始值,我们可以找到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>.的确,让我们制作<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>分别在所获得的公式中<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>然后我们得到方程<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">9年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>求解由这三个方程组成的方程组,得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>所以封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>]年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
用复杂的根求解线性复发
我们还将在这里解释如何处理给定线性递归的特征多项式的一些根是复非实数的情况。让我们用一个例子来说明这一点。
序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是由的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>和复发关系<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>求封闭形式的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
给定递归式的特征多项式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n>年代p一个n>由于该等式的解决方案是<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">±年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord sqrt">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n> =年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">±年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">arctan.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n> (见欧拉公式<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-formula">这里一个>).然后复发的解决方案可以表示为线性组合<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>COS.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">我年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>因此<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>COS.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
现在使用那个<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>我们得到以下两个等式:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>COS.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> COS.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">/年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">4年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n> /年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>通过解决这个系统,我们获得了<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n> 2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>因此,序列的封闭形式是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">arctan.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n> .年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">□年代p一个n>年代p一个n>
我们可以将上述的方法推广到特征多项式有两个复共轭根的任何二阶线性递归式。假设我们要解线性递归式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">问年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>对于任何自然数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这个递归式的特征多项式是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">问年代p一个n>年代p一个n>让我们假设<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">问年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>那么特征多项式有两个复共轭解<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>当然,我们可能会使用序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>生成递归式的所有可能解。但这些是复数序列。为了得到实值解,考虑由公式定义的序列会更方便<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>和年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>这两个数列也可以写成三角形式。事实上,让我们假设<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> θ.年代p一个n>年代p一个n>是一个角度,这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> b年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> COS.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>然后使用<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/de-moivres-theorem/">De moivre定理一个>,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>COS.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> d年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>现在可以证明任何实值序列是给定递归的解可以表示为线性组合<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> d年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>也就是说,任何这样的序列都可以表示为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>COS.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
求一个给定闭形式的序列的递归关系
我们可以获得序列的复发关系<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">0年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>当它的闭形式是以项的线性组合形式给出的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">j年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> j年代p一个n>年代p一个n>是一个非负整数,和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>是任何真实的或复杂的数字。对于任何这样的数字<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>我们表示<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> j年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>最大的价值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> j年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">j年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是上述线性组合的条款之一,那么<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>是多重性的根源<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> j年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>给定线性复发的特征多项式。因此,从序列的闭合形式,我们可以获得复发关系的特征多项式的所有根和它们的多重,这使我们能够找到特征多项式,从而获得复发关系。
以下是我们必须找到封闭形式的重复的一个例子:
找到序列的重复<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
根据我们上面的评论,数字-3和2分别是所要求的重复次数为2和3的特征多项式的根。那么多项式可以是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>把它扩大,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>因此,对应的递归式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">0年代p一个n>年代p一个n>σ.年代p一个n>年代p一个n>9年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>
对于给定的数值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">9年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>这是真的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>找<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ⌊年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>⌋年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
澄清年代trong>:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>林年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>≈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n>年代p一个n>.
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>COS.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault sizing reset-size6 size7" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n>年代p一个n>
对于我们知道的给定顺序<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord sizing reset-size6 size7">9年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">8年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord sizing reset-size6 size7">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">7年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">B年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> B年代p一个n>年代p一个n>是coprime积极整数,找到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
请参阅第1部分。
找<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>如果是真实的数字<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">, 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">满足的方程<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">4年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">4年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">.年代p一个n>年代p一个n>
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault sizing reset-size6 size7" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">COS.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault sizing reset-size6 size7" style="margin-right:0.02778em;">θ.年代p一个n>年代p一个n>
找<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">7年代p一个n>年代p一个n>如果这些数字<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> b年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> θ.年代p一个n>年代p一个n>满足以下等式:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">-年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
灵感。
一个多项式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>有学位<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 8年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
找<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">9年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>