线性规划gydF4y2Ba

线性规划gydF4y2Ba是一个gydF4y2Ba优化gydF4y2Ba一种技巧gydF4y2Ba线性约束系统gydF4y2Ba和一个线性目标函数。一个gydF4y2Ba目标函数gydF4y2Ba定义要优化的量，线性规划的目标是找到最大化或最小化目标函数的变量的值。gydF4y2Ba

一家工厂生产小玩意儿和旋转器。制作一个小玩意儿需要2美元，3个小时。制作一个旋转陀螺需要花费4美元和2个小时。工厂本周有220美元和150小时来生产这些产品。如果每个小玩意儿卖6美元，每个旋转器卖7美元，那么为了利润最大化，这周每种产品应该生产多少?gydF4y2Ba

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这类问题很适合用线性规划技术解决。gydF4y2Ba

• 问题中所有可量化的关系都是线性的。gydF4y2Ba

• 变量的值在某种程度上是有限制的。gydF4y2Ba

• 我们的目标是找到变量的值，使一些量最大化。gydF4y2Ba

线性规划对于许多需要资源优化的问题都很有用。它可以应用于制造业，计算如何分配劳动力和机器，以最大限度地降低运营成本。它可以应用于高层商业运作，以决定销售哪些产品和多少数量，以实现利润最大化。它也可以应用于物流，决定如何运用资源在最短的时间内完成一项工作。gydF4y2Ba

当问题的目标是最大化某个值，并且有一个线性不等式系统定义了问题的约束条件时，线性规划可以用来解决问题。gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba约束gydF4y2Ba是一个不等式，它定义了问题中变量的值是如何有限的。为了使线性规划技术工作，所有的约束都应该是线性不等式。gydF4y2Ba

回到介绍中的例子:gydF4y2Ba

请注意，生产每个部件都有成本。每个小装饰品的制作成本为2美元，每个旋转器的制作成本为4美元。工厂只有220美元可用来支付这些成本，所以生产受到成本的限制。让gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是生产的小玩意儿的数量，并让gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$是生产的旋转器的数量。那么这个约束可以写成一个不等式:gydF4y2Ba

$2x+4y \le 220。gydF4y2Ba$

工厂生产这些零件的时间也有限制。每个小装饰品需要3小时制作，每个旋转器需要2小时制作。工厂本周只有150小时的生产时间，所以生产也受到时间的限制。这个约束可以写成一个不等式:gydF4y2Ba

$3x+2y \le 150。gydF4y2Ba$

除了这些约束之外，还有一些“常识”约束。不可能产生任何小于0的零件，因此这些约束条件也可以写成:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} x &\ge 0 \\ y &\ge 0。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这些被称为gydF4y2Ba非负约束gydF4y2Ba．总之，这些约束形成了一个不等式系统:gydF4y2Ba

$\begin{case}\begin{aligned} 2x+4y &\le 220 \\ 3x+2y &\le 150 \\ x &\ge 0 \\ y &\ge 0。结束\{对齐}\{病例}结束gydF4y2Ba$

在坐标平面上绘制这些不等式可以创建一个多边形形状。gydF4y2Ba

画出约束系统的图形gydF4y2Ba

$\begin{case}\begin{aligned} 2x+4y &\le 220 \\ 3x+2y &\le 150 \\ x &\ge 0 \\ y &\ge 0。结束\{对齐}\{病例}结束gydF4y2Ba$

上面的阴影区域是gydF4y2Ba可行域gydF4y2Ba这个问题。gydF4y2Ba

受约束系统约束的区域称为区域gydF4y2Ba可行域gydF4y2Ba．它表示满足所有约束条件的变量的可能值。为了使线性规划技术工作，它应该是一个凸多面体(在二维中，一个凸多边形;在三维空间中，一个凸多面体;等等)。gydF4y2Ba

求可行域只足以给出gydF4y2Ba可能的gydF4y2Ba问题的解决方案。线性规划的目标是找到gydF4y2Ba最好的gydF4y2Ba解决问题的方法。这是通过最大化或最小化gydF4y2Ba目标函数gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba目标函数gydF4y2Ba是一个函数，它定义了一些应该被最小化或最大化的量。目标函数的参数与约束中使用的变量相同。为了使线性规划技术工作，目标函数应该是线性的。gydF4y2Ba

每个小玩意儿的制作成本为2美元，售价为6美元。这给每个小玩意儿带来了4美元的利润。每个旋转器的制作成本为4美元，售价为7美元。这样每个旋转器的利润为3美元。利润函数可以定义为gydF4y2Ba

$p (x, y) = 4 x + 3 y。gydF4y2Ba$

这是这个问题的目标函数，目标是最大化它。gydF4y2Ba

现在的策略似乎是在可行区域内测试有序对，直到找到最大利润。然而，有一种更有效的方法。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$为可行区域内最大利润:gydF4y2Ba

$P = 4 x + 3 y。gydF4y2Ba$

解出y:gydF4y2Ba

$y = - \压裂{4}{3}x + \压裂{P}{3}。gydF4y2Ba$

这个最大收益给出了一条直线的方程，可行域中经过这条直线的点就是最优解。的gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-该线的截距为gydF4y2Ba $\压裂{P}{3}。gydF4y2Ba$自gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$是最大化的，这个gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-intercept也应该最大化。gydF4y2Ba

画几条斜率相同的直线gydF4y2Ba $- - - - - - \压裂{4}{3}。gydF4y2Ba$

这条线使gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-intercept是通过顶点at的值gydF4y2Ba $(45) 20gydF4y2Ba$前两个约束条件的交集。所有其他更高的线都不经过可行区域。所有其他较低的线都经过可行区域中的一个以上点，并且没有使gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-直线截距。gydF4y2Ba

因此，工厂应该生产20个doodads和45个whirligigs。这将带来…的利润gydF4y2Ba $\ 215美元。gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

在前面的例子中，我们证明了最优解在可行域的一个顶点上。这对于所有的线性规划问题都是成立的。gydF4y2Ba

给定一个凸多边形可行域和一个线性目标函数，使目标函数最大或最小的解将位于可行域的一个顶点上。gydF4y2Ba

设目标函数为gydF4y2Ba $f (x, y) = ax + by。gydF4y2Ba$设该函数的最大值为gydF4y2Ba $P,gydF4y2Ba$令这个函数的最小值为gydF4y2Ba $Q。gydF4y2Ba$存在与每个最优解相交的直线，gydF4y2Ba $(x, y)gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$开始\ P{对齐}ax + by & = & & \ qquad (1) \ \ ax + by Q & = & & \ qquad (2) \ \ \ \ \ Rightarrow y & = - \压裂{一}{b} x + \压裂{P} {b} & & \ qquad (1) \ \ y & = - \压裂{一}{b} x + \压裂{Q} {b}。&&\qquad (2) \end{aligned}gydF4y2Ba$

自gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$为目标函数的最大值，gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$有最大值gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-有斜率的直线截距gydF4y2Ba $- \压裂{一}{b}gydF4y2Ba$它经过可行域。同样的,gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$具有最小值gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-有斜率的直线截距gydF4y2Ba $- \压裂{一}{b}gydF4y2Ba$它经过可行域。gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$经过一个点gydF4y2Ba不gydF4y2Ba可行域的顶点之一。gydF4y2Ba

• 案例1。gydF4y2Ba交点在可行区域平行于直线的一侧gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $（2）.gydF4y2Ba$
  如果是这样，那么行gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$也包含可行域的一个顶点，所以不可能是这样。gydF4y2Ba

• 例2。gydF4y2Ba交点在可行区域内的其他地方。gydF4y2Ba
  这条线将与可行区域内的多个点相交。然后在可行区域内存在另一个点，或高或低，与斜率平行的直线相交。这是不成立的gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$有最大值或最小值吗gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-通过可行区域的直线截距。gydF4y2Ba

因此,gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$必须与可行域的一个顶点相交。每个最优解位于可行域的一个顶点。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

该定理给出了求解二元线性规划问题最优解的一个简单方法。gydF4y2Ba

求解双变量线性规划问题的最优解的过程gydF4y2Ba

• 确认可行区域为凸多边形，目标函数为线性。gydF4y2Ba

• 求可行域的每个顶点的有序对。gydF4y2Ba

• 将每个有序对代入目标函数，求出使目标函数最大或最小的解。gydF4y2Ba

一个农民给他的奶牛喂混合饲料以补充它们的觅食。农民使用两种饲料进行混合。每公斤玉米饲料含有100克蛋白质和750克淀粉。小麦饲料每公斤含有150克蛋白质和700克淀粉。每头牛每天最多喂7公斤饲料。农民希望每头牛每天至少摄入650克蛋白质和4000克淀粉。如果玉米饲料成本为0.40美元/公斤，小麦为0.45美元/公斤，那么什么是成本最小化的最佳饲料组合?把答案四舍五入到最接近的克。gydF4y2Ba

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让gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$是每头牛每天的玉米饲料公斤数，令gydF4y2Ba $wgydF4y2Ba$是每头牛每天小麦饲料的公斤数。约束系统可以写成:gydF4y2Ba

$\begin{case} \begin{aligned} 0.1c+0.15w &\ge 0.65 \\ 0.75c+0.7w &\ge 4 \ c+w &\le 7 \ c &\ge 0 \\ w &\ge 0。结束\{对齐}\{病例}结束gydF4y2Ba$

目标函数为gydF4y2Ba

$\ f(c,w)=0.40c+0.45w。gydF4y2Ba$

通过绘制约束系统的图形，我们可以知道可行域的顶点在哪里，以及哪些直线相交形成它们:gydF4y2Ba

通过将每对相交线解为方程组来求解可行域的每一个顶点。例如，求解的顶点gydF4y2Ba $1 ^ \文本{圣}gydF4y2Ba$象限，解方程组gydF4y2Ba

$\begin{cases} \begin{aligned} 0.1c+0.15w &= 0.65 \\ 0.75c +0.7w &= 4。结束\{对齐}\{病例}结束gydF4y2Ba$

求解该方程组得到gydF4y2Ba $C \约3.411gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $W \约2.059。gydF4y2Ba$这些值可以代入目标函数，得到该组合的成本:gydF4y2Ba

$F(3.411,2.059) = \$2.29。gydF4y2Ba$

注意，没有必要求解每个顶点。由于问题要求最小值且目标函数线斜率为负，因此最优解必须在可行域的下方。求出这些顶点:gydF4y2Ba

$\begin{cases} \begin{aligned} 0.75c +0.7w &= 4 \\ c &= 0 \end{aligned} \end{cases} \暗示c=0, w \约5.714 \暗示f(0,5.714)=\$2.57gydF4y2Ba$

$\begin{cases} \begin{aligned} 0.1c+0.15w &= 0.65 \\ w &= 0 \end{aligned} \end{cases} \表示c=6.5, w=0 \表示f(6.5,0)=\$2.60。gydF4y2Ba$

成本最低的饲料混合物包含3411克玉米和2059克小麦。每头牛的成本为2.29美元。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

这种方法也适用于两个以上变量的线性优化问题。然而，这类问题用坐标图进行可视化更具挑战性，并且可以有更多的顶点来检查最优解决方案。单纯形算法是解决这类问题的一种有效方法。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba单纯形算法gydF4y2Ba是在给定线性目标函数的条件下，求线性约束系统最优解的一种方法。它从a开始gydF4y2Ba基本gydF4y2Ba然后迭代移动到相邻的顶点，每次都对解进行改进，直到找到最优解。gydF4y2Ba

单纯形算法有许多步骤和规则，因此在继续形式化算法之前，用一个简单的示例来理解这些步骤和规则背后的逻辑是有帮助的。gydF4y2Ba

给定约束系统gydF4y2Ba

$\begin{cases} \begin{aligned} 2x+3y &\le 90 \\ 3x+2y &\le 120 \\ x &\ ge 0 \\ y &\ ge 0， \end{aligned} \end{cases}gydF4y2Ba$

最大化目标函数gydF4y2Ba

$f (x, y) = 7 x y + 5。gydF4y2Ba$

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单纯形算法首先将约束和目标函数转换为方程组。这是通过引入名为gydF4y2Ba松弛变量gydF4y2Ba．松弛变量表示正差异，或gydF4y2Ba松弛gydF4y2Ba不等式的左边和右边之间。gydF4y2Ba

的不平等gydF4y2Ba

$2x+3y \le 90gydF4y2Ba$

就变成了gydF4y2Ba

$2 x + 3 y + s_1 = 90。gydF4y2Ba$

同样，不等式gydF4y2Ba

$3x+2y \le 120gydF4y2Ba$

就变成了gydF4y2Ba

$3x+2y+s_2 = 120。gydF4y2Ba$

除了松弛变量，还有一个变量gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$用于表示目标函数的值。这就给出了方程gydF4y2Ba

$z-7x-5y = 0。gydF4y2Ba$

这些方程给出了方程组gydF4y2Ba

${病例}\ \开始开始{数组}{cccccccccccc} z & - & 7 x & & 5 y & & & & & = & 0 & & (0) \ \ & & 2 x & + & 3 y & + & s_1 & & & = & 90 & & (1) \ \ & & + & 2 & 3 x y & & & + & s_2 & = & 120。&& (2) \end{array} \end{casesgydF4y2Ba$

增广矩阵的形式是gydF4y2Ba

$\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & -7 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 90 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 120 \end{array}\right]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \(1)\ \(2)\{数组}结束gydF4y2Ba$

这意味着在这个系统中的所有变量(包括gydF4y2Ba $s_1,gydF4y2Ba$ $s_2,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$)均大于或等于0。的变量gydF4y2Ba $s_1gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $s_2gydF4y2Ba$连续系数为零gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba基本变量gydF4y2Ba．的变量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$有非零系数gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba非基本变量gydF4y2Ba．在这个过程中的任何一点gydF4y2Ba基本的解决方案gydF4y2Ba是通过将非基本变量设为0得到的。目前，基本的解决方案是gydF4y2Ba

$X =0， \quad y=0， \quad s_1=90， \quad s_2=120， \quad z=0。gydF4y2Ba$

考虑增加非基本变量的值会对的值产生什么影响gydF4y2Ba $z。gydF4y2Ba$要么增加gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$会导致gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$要也增加，因为gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$有负的系数吗gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$因此，这不是最优解。gydF4y2Ba

单纯形算法的迭代是通过矩阵行运算来交换基本变量和非基本变量。在过程的每一步中，row中的一个非基本变量gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$被消除，导致另一个基本变量取代它作为一个非基本变量。这叫做gydF4y2Ba主gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$会被连续淘汰吗gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$这可以用任意一行来完成gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$或行gydF4y2Ba $（2）.gydF4y2Ba$

案例1。gydF4y2Ba消除gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在一行gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$与行gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & \frac{21}{2} & \frac{7}{2} & 0 & 315 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 90 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 120 \end{array}\right]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \(1)\ \(2)\{数组}结束gydF4y2Ba$

在这个主元过程中，变量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$进入gydF4y2Ba作为一个基本变量，和变量gydF4y2Ba $s_1gydF4y2Ba$左gydF4y2Ba变成一个非基本变量。现在取消gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在一行gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccc | c} 1 & 0 & \压裂{21}{2}& \压裂{7}{2}315 \ \ & 0 & 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 90 \ \ 0 & 0 & - \压裂{5}{2}& \压裂{3},{2}& 1 & -15 \结束数组{}\]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \ (1)\ \ (2)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\{数组}结束gydF4y2Ba$

这就给出了基本的解决方案gydF4y2Ba

$X =45， \quad y=0， \quad s_1=0， \quad s_2=-15， \quad z=315。gydF4y2Ba$

这个解是不可能的，因为它导致其中一个变量为负。gydF4y2Ba

例2。gydF4y2Ba消除gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在一行gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$与行gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{7}{3} & 280 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 90 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 120 \end{array}\right]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \(1)\ \(2)\{数组}结束gydF4y2Ba$

在这个主元过程中，变量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$进入gydF4y2Ba作为一个基本变量，和变量gydF4y2Ba $s_2gydF4y2Ba$左gydF4y2Ba变成一个非基本变量。现在取消gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在一行gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccc | c} 1 & 0 & - \压裂{1}{3}& 0 & \压裂{7}{3}& 280 \ \ 0 & 0 & \压裂{5}{3}& 1 & - \压裂{2}{3}10 \ \ & 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 120 \结束数组{}\]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \ (1)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \(2)\{数组}结束gydF4y2Ba$

这就给出了基本的解决方案gydF4y2Ba

$X =40， \quad y=0， \quad s_1=10， \quad s_2=0， \quad z=280。gydF4y2Ba$

这个解是可能的，但不是最优的，因为这一行有一个负的系数gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$这意味着gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$可以通过增加来进一步增加吗gydF4y2Ba $y。gydF4y2Ba$另一个支点将需要找到最优解。gydF4y2Ba

这是一个相当多的工作来执行枢轴，只发现它给出了一个不可行的解决方案。幸运的是，我们可以通过观察增宽矩阵右边部分的元素与进入变量系数的比值来预测哪个枢轴将导致可行解。考虑gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$作为输入变量，计算这些比值:gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccc | c} 1 & 0 & - \压裂{1}{3}& 0 & \压裂{7}{3}& 280 \ \ 0 & 0 & {{# D61F06} \ \颜色压裂{5}{3}}& 1 & - \压裂{2}{3}和{{# D61F06} 10} \颜色\ \ 0 & 3 &{\颜色# 3 d99f6} {2} & 0 & 1 & {{# 3 d99f6} 120} \颜色\结束数组{}\右)。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \ (1)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \(2)\{数组}结束gydF4y2Ba$

对于输入变量gydF4y2Ba $y,gydF4y2Ba$这个比值是gydF4y2Ba $10 \ div \压裂{5}{3}= 6gydF4y2Ba$对行gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\压裂{120}{2}= 60gydF4y2Ba$对行gydF4y2Ba $（2）.gydF4y2Ba$选择以下行gydF4y2Ba最小化gydF4y2Ba这个比例将确保枢轴得到一个可行的解。因此,行gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$应该被选为主行。gydF4y2Ba

消除gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$在一行gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$与行gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccc | c} 1 & 0 & 0 & \压裂{1}{5}& \压裂{11}{5}& 282 \ \ 0 & 0 & \压裂{5}{3}& 1 & - \压裂{2}{3}10 \ \ & 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 120 \结束数组{}\]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \ (1)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \(2)\{数组}结束gydF4y2Ba$

然后消除gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$在一行gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccc | c} 1 & 0 & 0 & \压裂{1}{5}& \压裂{11}{5}& 282 \ \ 0 & 0 & \压裂{5}{3}& 1 & - \压裂{2}{3}& 10 \ \ 0 & 3 & 0 & - \压裂{6}{5}& \压裂{9}{5}& 108 \结束数组{}\]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \ (1)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \ (2)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\{数组}结束gydF4y2Ba$

这就给出了基本的解决方案gydF4y2Ba

$X =36， \quad y=6， \quad s_1=0， \quad s_2=0， \quad z=282。gydF4y2Ba$

这个解决方案gydF4y2Ba必须gydF4y2Ba是最优的，因为任何非基本变量的增加gydF4y2Ba $s_1gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $s_2gydF4y2Ba$会不会造成减少gydF4y2Ba $z。gydF4y2Ba$因此，目标函数的最大值为gydF4y2Ba

$f(36岁,6)= 282。\ _ \广场gydF4y2Ba$

最大化的单纯形算法gydF4y2Ba

• 这个版本的单纯形算法是有效的最大化问题，所有约束(除非负约束)给出最大值(使用gydF4y2Ba $\勒gydF4y2Ba$符号)。在矩阵形式中，需求是gydF4y2Ba $\begin{array}{ll} \text{Maximize:} & \textbf{c}^\text{T} \cdot \textbf{x} \\ text{Subject to:} & \textbf{A}\textbf{x} \le \textbf{b}， \ x_i \ge 0， \end{array}gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $c \ textbf {}gydF4y2Ba$是一个包含目标函数系数的向量，gydF4y2Ba $\ textbf {x}gydF4y2Ba$是一个包含问题变量的向量，gydF4y2Ba $\ textbf{一}gydF4y2Ba$矩阵是否包含约束系数，和gydF4y2Ba $\ textbf {b}gydF4y2Ba$包含这些约束的最大值的向量。gydF4y2Ba

• 通过引入松弛变量，将约束条件和目标函数转化为方程组gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$变量。gydF4y2Ba

• 把方程组化为增广矩阵形式。目标函数方程应该排在一行gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$

• 选择一个非基本变量作为输入变量。gydF4y2Ba

• 通过计算比值选择主行gydF4y2Ba $\frac{\text{增广矩阵右侧的元素}}{\text{输入变量系数}}gydF4y2Ba$对于每一行。正确的主行可以使这个比率最小化。然而，这个比率gydF4y2Ba必须gydF4y2Ba是正的。gydF4y2Ba

• 如果所有非基本变量的系数都在一行gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$是正的，那么你就得到了最优解。否则，选择一个非基本变量，在row中有一个负的系数gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$成为下一个进入变量，然后再次旋转以找到另一个可行的解决方案。继续旋转，直到找到最优解。gydF4y2Ba

最小化问题的单纯形算法通过将问题转化为最大化问题来工作。每一个最大化问题都有一个相应的最小化问题的概念是形式化的gydF4y2Ba冯·诺依曼对偶原理gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

给定约束系统gydF4y2Ba

$\begin{cases}\begin{aligned} 4x+3y+5z &\ge 65 \\ x+3y+2z &\ge 38 \ 2x+3y+4z &\ge 52 \\ x,y,z &\ge 0， \end{aligned}\end{cases}gydF4y2Ba$

最小化函数gydF4y2Ba

$f (x, y, z) = 12 x + 3 y + 10 z。gydF4y2Ba$

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这个问题可以用上面最大化示例中所示的形式来表达，但是在找到第一个基本解决方案时就会出现问题:设置gydF4y2Ba $x,gydF4y2Ba$ $y,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $z,gydF4y2Ba$变量gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$会给出一个不可行的解决方案，松弛变量为负值。单纯形算法需要从一个可行解开始，所以这行不通。Big-M方法为这个问题提供了一个变通方法，但是对于这个问题还有一个更简单的方法。gydF4y2Ba

这个问题的“对偶”可以写成系数的转置。将约束的系数放入增广矩阵中。将目标函数的系数放入最下面一行，右边为0:gydF4y2Ba

$\left[\begin{array}{ccc|c} \color{#20A900}4 & \color{#D61F06}3 & \color{#3D99F6}5 & \color{#EC7300}65 \\ \color{#20A900}1 & \color{#EC7300}38 \\ \color{#D61F06}3 & \color{#3D99F6}4 & \color{#EC7300}52 \\ \hline \color{#20A900}12 & \color{#3D99F6} 3 & \color{#3D99F6}10 & \color{#EC7300}0 \end{array}\right]。gydF4y2Ba$

转置矩阵的元素:gydF4y2Ba

$\left[\begin{array}{ccc|c} \color{#20A900}4 & \color{#20A900}1 & \color{#20A900}2 & \color{#D61F06}3 & \color{#D61F06}3 & \color{#3D99F6}5 & \color{#3D99F6}2 & \color{#3D99F6}4 & \color{#3D99F6}10 \\ \hline \color{#EC7300}65 & \color{#EC7300}38 & \color{#EC7300}52 & \color{#EC7300}0 \end{array}\right]。gydF4y2Ba$

注意:gydF4y2Ba我们很容易把这个矩阵的第二行中的3分出来，但是这会破坏回到原始问题所需要的对称性。gydF4y2Ba

这给出了一个新的约束系统和目标函数gydF4y2Ba最大化:gydF4y2Ba给定约束系统gydF4y2Ba

$\begin{cases}\begin{aligned} 4u+v+2w &\le 12 \\ 3u+3v+3w &\le 3 \\ 2u+3v+4w &\le 52 \\ u,v,w &\ge 0， \end{aligned}\end{cases}gydF4y2Ba$

功能最大化gydF4y2Ba

$g (u, v, w) = 65 u + 38 v + 52 w。gydF4y2Ba$

现在可以用单纯形算法求最优解gydF4y2Ba

$\left[\begin{array}{ccccccc|c} 1 & -65 & -38 & -52 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 & 52 \end{array}\right]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \(3)\{数组}结束gydF4y2Ba$

输入gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$与行gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$\left[\begin{array}{ccccccc|c} 1 & 0 & 27 & 13 & 0 & \frac{65}{3} & 0 & 65 \\ 0 & 0 & -3 & -2 & 1 & -4 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & -2 & 1 & 50 \end{array}\right]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \ (1)\ \ (2)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \(3)\{数组}结束gydF4y2Ba$

行中的所有系数gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$都是正的，所以这就是最优解。矩阵右上角的最大值，gydF4y2Ba $65年,gydF4y2Ba$与原问题的最小值相同。然而，变量gydF4y2Ba $u,gydF4y2Ba$ $v,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $wgydF4y2Ba$和原来问题中的变量不一样。幸运的是，使原始问题最小化的变量值对应于行中松弛变量的系数gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$

$\left[\begin{array}{ccccccc|c} 1 & 0 & 27 & 13 & \color{#D61F06}0 & \color{#D61F06}\frac{65}{3} & \color{#D61F06}0 & 65 \\ 0 & 0 & -3 & -2 & 1 & -4 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & -2 & 1 & 50 \end{array}\right]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \ (1)\ \ (2)\ vphantom{\压裂{1}{2}}\ \(3)\{数组}结束gydF4y2Ba$

因此，原问题最小化目标函数的值为gydF4y2Ba

$X =0， \quad y=\frac{65}{3}， \quad z=0。\ _ \广场gydF4y2Ba$

求解最小值的单纯形算法gydF4y2Ba

• 此版本的单纯形算法适用于所有约束都给出最小值的最小化问题(使用gydF4y2Ba $通用电气\gydF4y2Ba$符号)。矩阵形式的要求是:gydF4y2Ba

$\begin{array}{ll} \text{最小化:}& \textbf{c}^\text{T} \cdot \textbf{x} \\ text{Subject to:} & \textbf{A}\textbf{x} \ge \textbf{b}\， \quad x_i \ge 0 \end{array}gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $c \ textbf {}gydF4y2Ba$是一个包含目标函数系数的向量，gydF4y2Ba $\ textbf {x}gydF4y2Ba$是一个包含问题变量的向量，gydF4y2Ba $\ textbf{一}gydF4y2Ba$矩阵是否包含约束系数，和gydF4y2Ba $\ textbf {b}gydF4y2Ba$包含这些约束的最小值的向量。gydF4y2Ba

• 将约束和目标函数的系数放入增广矩阵中。目标函数的系数应该放在最下面一行。gydF4y2Ba

• 转置这个矩阵。gydF4y2Ba

• 这个新矩阵表示gydF4y2Ba双gydF4y2Ba最大化问题。写出约束条件和目标函数的新系统。这个问题和原来的问题有不同的变量。gydF4y2Ba

• 利用单纯形算法求最大值，得到最大值。这个最大值与原始问题的最小值相同。一行中松弛变量的系数gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$对应于原问题中变量的值。gydF4y2Ba

单纯形算法有时会导致一些令人惊讶的结果。线性规划问题可能有无限解，也可能没有解。这里将探讨这些特殊情况。gydF4y2Ba

如前所述，具有最小约束的线性规划问题不适用单纯形算法。原因是最初的基本解决方案是不可行的。gydF4y2Ba

给定约束系统gydF4y2Ba

$\begin{cases}\begin{aligned} 2x+3y &\ge 10 \\ 3x+y &\ge 8 \\ x &\ge 0 \\ y &\ge 0， \end{aligned}\end{cases}gydF4y2Ba$

最小化函数gydF4y2Ba

$f (x, y) = 5 x y + 10。gydF4y2Ba$

证明这不能用普通的单纯形算法来实现。gydF4y2Ba

---

这个问题可以用对偶或简单地测试可行域的顶点来解决，但要考虑用单纯形算法来解决。因为约束是最小约束，松弛变量需要有负系数。此外，目标函数是一个最小化。这可以通过将问题视为一个gydF4y2Ba最大化gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $- z。gydF4y2Ba$利用单纯形算法，给出了初始矩阵gydF4y2Ba

$\left[\begin{array}{ccccc|c} -1 & 5 & 10 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -1 & 0 & 10 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & -1 & 8 \\ \end{array}\right]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \(1)\ \(2)\{数组}结束gydF4y2Ba$

的不可行解gydF4y2Ba $s_1 = -10, \ s_2 = 8。gydF4y2Ba$如果初始基本解不可行，单纯形算法将得不到有意义的结果。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

有时可以用它的对偶来解决问题，但如果问题混合了最小约束和最大约束，情况就不一样了。gydF4y2Ba

给定约束系统gydF4y2Ba

$\begin{cases}\begin{aligned} -x+5y &\le 25 \\ 6x+5y &\le 60 \ x+y &\ge 2 \ x &\ge 0 \ y &\ge 0， \end{aligned}\end{cases}gydF4y2Ba$

最小化函数gydF4y2Ba

$f (x, y) = x-10y。gydF4y2Ba$

证明这不能用普通的单纯形算法或对偶方法来完成。gydF4y2Ba

---

把这个问题放到一个单纯形矩阵中，会得到一个初始的基本解，但这个解是不可行的:gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{cccccc | c} -10 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 1 & 5 25 \ \ & 1 & 0 & 0 & 0 & 6和5 60 \ \ & 0 & 1 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \ \ \{数组}结束\]\ qquad \{数组}{c}开始(0)\ \(1)\ \ \ \(2)(3)结束\{数组}gydF4y2Ba$

$\{数组}{ccc}开始s_1 = 25日& s_2 = 60, & s_3 = 2。结束\{数组}gydF4y2Ba$

把问题的对偶放到一个单纯形矩阵中gydF4y2Ba也gydF4y2Ba产生一个不可行的初始基本解决方案:gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{cccccc | c} 1 & -25 & -60 & 2 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 1 & 6 & 1 & 1 & 0 & 1 \ \ 0 5、5 & 1 & 0 & & 1 & -10 \结束数组{}\]\ qquad \{数组}{c}开始(0)\ \(1)\ \(2)\{数组}结束gydF4y2Ba$

$\begin{array}{cc} s_1 = 1， & s_2 = -10。\ _\square \end{array}gydF4y2Ba$

的gydF4y2Ba大m法gydF4y2Ba可用于初始基本解决方案不可行的情况。这种方法背后的思想是介绍gydF4y2Ba人工变量gydF4y2Ba将问题的解移到可行域。与松弛变量不同，这些人为变量gydF4y2Ba必须gydF4y2Ba最终溶液的值为零。gydF4y2Ba

给定约束系统gydF4y2Ba

$\begin{cases}\begin{aligned} -x+5y &\le 25 \\ 6x+5y &\le 60 \ x+y &\ge 2 \ x &\ge 0 \ y &\ge 0， \end{aligned}\end{cases}gydF4y2Ba$

最小化函数gydF4y2Ba

$f (x, y) = x-10y。gydF4y2Ba$

---

从前面的例子中，我们知道第三个约束产生了一个不可行的gydF4y2Ba $s_3 = 2。gydF4y2Ba$为了弥补这一点，一个人为变量，gydF4y2Ba $a_1,gydF4y2Ba$引入了这个约束和目标函数。在目标函数中，该变量的系数为gydF4y2Ba $M。gydF4y2Ba$ $米gydF4y2Ba$表示任意大的常数。新的约束条件和目标函数为gydF4y2Ba

${病例}\ \开始开始{数组}{ccccccccccccccc} - z & + & x和y - & 10 & & & & & & & + & Ma_1 & = & 0 \\ & - & x和y & + & s_1 + & 5 & & & & & & & = & 25 \ \ & & 6 x和y + & 5 & & & + & s_2 & & & & & = & 60 \ \ & & & + x和y & & & & & - & s_3 & + & a_1 & = & 2。\结束数组{}\{病例}\ qquad \结束开始{数组}{c}(0) \ \ \ \(1)(2) \ \(3) \{数组}结束gydF4y2Ba$

在矩阵形式下，gydF4y2Ba

$\left [\begin{array}{ccccccc|c} -1 & -10 & 0 & 0 & 0 & M & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 25 \\ 0 & 6 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 60 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 2 \end{array} \right]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \(3)\{数组}结束gydF4y2Ba$

大m方法的第一个目标是将问题移到可行域。回想一下目前的基本解决方案gydF4y2Ba $s_3 = 2。gydF4y2Ba$这个变量是剩下的变量，还有人工变量，gydF4y2Ba $a_1,gydF4y2Ba$作为输入变量:gydF4y2Ba

$\left [\begin{array}{ccccccc|c} -1 & 1-M & -10-M & 0 & 0 & M & 0 & -2M \\ 0 & -1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 25 \\ 0 & 6 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 60 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array} \right]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \(3)\{数组}结束gydF4y2Ba$

当前解现在在可行域，所有基本变量都为正:gydF4y2Ba

$S_1 = 25， \quad s_2 = 60， \quad a_1 = 2。gydF4y2Ba$

这个解显然是不正确的，因为它在解中包含了一个非零的人工变量。此外，行中有负的系数gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$．大m方法现在就像单纯形算法一样进行。新的目标是在行中输入负系数的变量gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$．自gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$有gydF4y2Ba大多数gydF4y2Ba这一行的系数是负的gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$，该变量将首先输入。最小化右边和系数之比的行是gydF4y2Ba $（3）gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$将通过这一行输入:gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccccc | c} 1 & 11 & 0 & 0 & 0 & -10 & 10 + 20 \ \ & 0 & 6 & 0 & 1 & 0 & 5 5、15 \ \ & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & & 5 50 \ \ & 0 & & 1 & 0 & 0 & & 1 & 2 \ \ \{数组}结束\]\ qquad \{数组}{c}开始(0)\ \ \ \(1)(2)\ \(3)\{数组}结束gydF4y2Ba$

$Y =2， \quad s_1=15， \quad s_2=50。gydF4y2Ba$

该解不再包含人工变量，但由于行中系数为负，还不是最优解gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$ $s_3gydF4y2Ba$一定是下一个要输入的变量。这个变量的最小正比值在第一行gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccccc | c} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & M 50 \ \ & 0 & 6 & 0 & 1 & 0 & 5 5、15 \ \ & 0 & 7 & 0 & 1 & 1 35 \ \ & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 25数组{}\ \ \ \端]\ qquad \{数组}{c}开始(0)\ \ \ \(1)(2)\ \(3)\{数组}结束gydF4y2Ba$

$Y = 5， \quad s_2 = 35， \quad s_3 = 3。gydF4y2Ba$

现在gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$必须是输入变量，而唯一的一行与正比是gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccccc | c} 1 & 0 & 0 & \压裂{15}{7}& \压裂{1}{7}55 \ \ & 0 & M & 0 & 0 & 0 & \压裂{1}{7}& \压裂{6}{7}& 5 & 5 45 \ \ & 0 & 7 & 0 & & 1 & 0 & 0 & 35 \ \ & 0 & 5 & \压裂{6}{7}& \压裂{1}{7}& 0 & 0 & 30数组{}\ \ \ \端)。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ vphantom{\压裂{1}{7}}\ \ (1)\ vphantom{\压裂{1}{7}}\ \ \ \ (2)(3)\ vphantom{\压裂{1}{7}}\{数组}结束gydF4y2Ba$

很明显，这给出了最优解:gydF4y2Ba

$X =5, y=6, s_3=9\表示f(5,6)=-55。\ _ \广场gydF4y2Ba$

大M单纯形法gydF4y2Ba

• 的形式不匹配的任何线性规划问题，这种方法都是可行的gydF4y2Ba前一节gydF4y2Ba．对于包含等式约束的问题也是必需的。gydF4y2Ba

• 分配松弛变量和gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$用变量作为基本的单纯形算法，并创建一个单纯形矩阵。对于每个在初始基本解中具有负值的松弛变量，在该约束中添加一个不同的人工变量。还要为每个等式约束添加一个不同的人工变量。人工变量的系数为gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$在每个约束行中。在目标函数行中，每个人工变量都以相同的系数开始，gydF4y2Ba $M。gydF4y2Ba$这表示一个任意大的正常数。gydF4y2Ba

• 如果问题是最小化，那么目标函数行的系数是负的，目标是最大化gydF4y2Ba $- z。gydF4y2Ba$

• 通过以负松弛变量作为离开变量，以人工变量作为进入变量进行枢轴旋转，将解移动到可行区域。gydF4y2Ba

• 一旦基本解在可行区域内，就像以前一样继续使用单纯形算法。gydF4y2Ba

• 在执行单纯形算法时，确保矩阵右侧的元素为正数。如果右边有一个元素不是正数，就把这一行乘以gydF4y2Ba $－1gydF4y2Ba$让它变成正数。如果矩阵右边的一个元素是gydF4y2Ba $0，gydF4y2Ba$然后确保这一行基本变量的系数为正。gydF4y2Ba

• 通过观察行中的系数来选择输入变量gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$这就是gydF4y2Ba大多数gydF4y2Ba负的。通过选择使比值最小的行来选择主行gydF4y2Ba $\frac{\text{增广矩阵右侧的元素}}{\text{输入变量的系数}}。gydF4y2Ba$这一比率gydF4y2Ba必须gydF4y2Ba为非负的，且主行中进入变量的系数gydF4y2Ba必须gydF4y2Ba是正的。gydF4y2Ba

• 最优解不能包含任何人为变量。如果行gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$如果矩阵中不含负系数，且解中含有人为变量，则问题无解。gydF4y2Ba

瓦内萨正在安排她的员工下周的工作。在装配线上，达伦每小时组装5个单位，在包装线上，他每小时包装10个单位。洛莉只在流水线上工作，她每小时组装4件。达伦的工资是每小时12美元，洛莉的工资是每小时9美元gydF4y2Ba

瓦妮莎需要在周末前至少组装好200个部件并进行包装。她最多可以给每个工人分配40个小时的工作时间。瓦妮莎应该如何安排她的员工来减少工资?gydF4y2Ba

---

这个问题可以用更简单的方法来解决，但是这里用大M方法来解决，它演示了如何用大M方法处理不同类型的约束。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $m_dgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $m_lgydF4y2Ba$是达伦和洛里分别在流水线上工作的小时数。让gydF4y2Ba $p_dgydF4y2Ba$分别是达伦和洛里在包装线上工作的小时数。每个工人最多可以工作40小时。这就给出了约束条件gydF4y2Ba

$\begin{aligned} m_d+p_d &\le 40 \\ m_l &\le 40。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

凡妮莎不想在包装上浪费时间，如果没有组装的部件要包装。因此，组装的数量应该等于包装的数量。这可以用方程表示gydF4y2Ba

$5 m_d + 4 m_l = 10 p_d。gydF4y2Ba$

组装和包装的数量至少为200个。这可以用约束来表示gydF4y2Ba

$\begin{aligned} 10p_d &\ge 200 \\ p_d &\ge 20。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这给出了以下约束系统:gydF4y2Ba

$\开始{病例}\{数组}{ccccccc} m_d开始 & & & + & p_d le 40 & & \ \ \ & & m_l le & & & & \ 40 \\ & & & & p_d & \通用电气& 20 \ \ 5 m_d & + & 4 m_l & & 10 p_d & = & 0 \ \ m_d & & m_l & & p_d & \通用电气& 0。\结束数组{}\{病例}结束gydF4y2Ba$

目标函数为gydF4y2Ba

$f (m_d m_l p_d) = 12 m_d + 9 m_l + 12 p_d。gydF4y2Ba$

将约束和目标函数系统转换为单纯形矩阵，gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccccc | c} 1和12 & 9和12 0 \ \ & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 40 \ \ & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 40 \ \ & 0 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 0 & 1 & 20 \ \ & 0 & 5 & -10 & 0 & 0 & 0 & 0 \ \ \{数组}结束\]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \ \ \(3)(4)结束\{数组}gydF4y2Ba$

基本的解决方案目前是不可行的:gydF4y2Ba

$m_d = 0, \四m_l = 0, \四p_d = 0, \四s_1 = 40 \四s_2 = 40 \四s_3 = -20。gydF4y2Ba$

自gydF4y2Ba $s_3gydF4y2Ba$有一个不可行的值，包含它的行需要一个人工变量。相等约束行也需要一个人工变量。这些人为变量已被赋予系数gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$在一行gydF4y2Ba $(0):gydF4y2Ba$

$左\[开始\{数组}{ccccccccc | c} 1 & 12 & 9 & 12 & 0 & 0 & 0 & M & M & 0 \ \ 0 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 40 \ \ & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 40 \ \ & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 20 \ \ & 0 & 5 & -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0数组{}\ \端)。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \ \ \(3)(4)结束\{数组}gydF4y2Ba$

为了将解移到可行域，gydF4y2Ba $s_3gydF4y2Ba$将是左变量和gydF4y2Ba $a_1gydF4y2Ba$将是进入变量。枢轴将由row执行gydF4y2Ba $(3):gydF4y2Ba$

$左\[开始\{数组}{ccccccccc | c} 1 & 12 & 9 & 12米& 0 & 0 & M & 0 & M -20 \ \ & 0 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 40 \ \ & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 40 \ \ & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 20 \ \ & 0 & 5 & -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0数组{}\ \端)。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \ \ \(3)(4)结束\{数组}gydF4y2Ba$

另一个人为变量也必须移到基本解中:gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccccccc | c} 1 & 12-5M & 9-4M & 12 + 9 M & 0 & 0 & M -20 \ \ & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 40 \ \ & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 40 \ \ & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 20 \ \ & 0 & 5 & -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0数组{}\ \端)。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \ \ \(3)(4)结束\{数组}gydF4y2Ba$

现在这个算法就像普通的单纯形算法一样。目标是消去一行的负系数gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$自gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$是一个任意大的正常数，gydF4y2Ba $12-5MgydF4y2Ba$负系数最大的是哪一行gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$因此,gydF4y2Ba $m_dgydF4y2Ba$将是进入变量。主行的选择比通常的单纯形算法更具挑战性。gydF4y2Ba

注意，约束行右侧的每个值都是正的，除了row中的值gydF4y2Ba $（4）．gydF4y2Ba$在这一行，右边是gydF4y2Ba $0，gydF4y2Ba$这一行包含的基本变量，gydF4y2Ba $,gydF4y2Ba$系数是正的。保持以下两点很重要:gydF4y2Ba

• 约束行右侧的值为正或gydF4y2Ba
• 如果右边的值是gydF4y2Ba $0，gydF4y2Ba$那么这一行的基本变量的系数是正的。gydF4y2Ba

保持这一点将确保正确选择主行。主行是通过选择使的比值最小的行来选择的gydF4y2Ba $\frac{\text{增广矩阵右侧的元素}}{\text{输入变量的系数}}，gydF4y2Ba$设输入变量的系数为gydF4y2Ba积极的gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

因此，输入变量的最小比值为gydF4y2Ba $\压裂{0}{5}gydF4y2Ba$从行gydF4y2Ba $（4）．gydF4y2Ba$这是主行gydF4y2Ba

$左\[开始\{数组}{ccccccccc | c} 1 & 0 & - \压裂{3}{5}& 36 M & 0 & 0 & M & 0 & M - \压裂{12}{5}-20 \ \ & 0 & 0 & 4 & 15 & 5 & 0 & 0 & 0 & 200 \ \ & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 40 \ \ & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 20 \ \ & 0 & 5 & -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0数组{}\ \端)。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \ \ \(3)(4)结束\{数组}gydF4y2Ba$

现在gydF4y2Ba $36 mgydF4y2Ba$负系数最大的是哪一行gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$因此,gydF4y2Ba $p_dgydF4y2Ba$将是进入变量。行gydF4y2Ba $（4）gydF4y2Ba$将gydF4y2Ba不gydF4y2Ba再次选择主行，因为这个变量的系数是负的。使比值最小的行是gydF4y2Ba $\压裂{200}{15}gydF4y2Ba$从行gydF4y2Ba $(1):gydF4y2Ba$

$左\[开始\{数组}{ccccccccc | c} 1 & 0 & 9 - \压裂{4}{15}M & 0 & \压裂{1}{3}M-12 & 0 & M & 0 & \压裂{14}{15}M & - \压裂{20}{3}M - 480 \ \ 15 & 0 & 0 & 4 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 & 200 \ \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 40 \ \ 5 0 & 0 & 4 & 0 & & 1 & & 0 & -15 & 100 \ \ 0 & 15 & 4 10 & 0 & 0 & 0 & 0 & & 1 & 400 \结束数组{}\]。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \ \ \(3)(4)结束\{数组}gydF4y2Ba$

现在gydF4y2Ba $9 - \压裂{4}{15}gydF4y2Ba$负系数最大的是哪一行gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$ $m_lgydF4y2Ba$是进入变量，最小值之比是gydF4y2Ba $\压裂{100}{4}gydF4y2Ba$在一行gydF4y2Ba $(3):gydF4y2Ba$

$左\[开始\{数组}{ccccccccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \压裂{3}{4}& 0 & \压裂{135}{4}& M - \压裂{135}{4}& M - \压裂{9}{4}& -705 \ \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 20 \ \ & 0 & 0 & 0 & 5 & 4 & & -15 60 \ \ & 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 5 & 0 & & 1 & -15 & 100 \ \ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 20 \结束数组{}\对吧)。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \ \ \(3)(4)结束\{数组}gydF4y2Ba$

现在gydF4y2Ba $- - - - - - \压裂{3}{4}gydF4y2Ba$负系数最大的是哪一行gydF4y2Ba $(0)。gydF4y2Ba$ $s_1gydF4y2Ba$是进入变量，最小值之比是gydF4y2Ba $\压裂{60}{5}gydF4y2Ba$在一行gydF4y2Ba $(2):gydF4y2Ba$

$左\[开始\{数组}{ccccccccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \压裂{3}{5}& 36 & M-36 & M - \压裂{12}{5}& -696 \ \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 20 \ \ & 0 & 0 & 0 & 5 & 4 & & -15 60 \ \ & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 40 \ \ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 4 & -10 & & 1 & 40数组{}\ \端)。c \ qquad \开始{数组}{}(0)\ \ \ \(1)(2)\ \ \ \(3)(4)结束\{数组}gydF4y2Ba$

所有系数都在一行gydF4y2Ba $（0)gydF4y2Ba$解为正且无人为变量，解为最优解。解决办法是gydF4y2Ba

$M_d =8， \quad m_l=40， \quad p_d=20， \quad z=696。gydF4y2Ba$

凡妮莎应该让达伦在流水线上工作8个小时，在包装线上工作20个小时。她应该让洛莉在流水线上工作40个小时。这将使本周的工资为696美元。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$