线性不等式

一个不平等顾名思义，是两个不相等的量之间的关系。

一个属性的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数＂target="_blank">实数他们有秩序。这种顺序允许我们比较数字，并决定它们是相等的，还是一个比另一个大或小。

数轴

最容易理解的不等式是在数轴(见上图)。这表明这些数字是按特定的方式排列的。左边的“小于”右边的“。

为了表示数字的不相等，我们使用符号表示法:

• 不到: $<$标志代表“小于”。所以, $4 < 10$是真的。此外, $x < 10$意味着 $x$可以是比它小的任何数字吗 $10.$

• 大于: $>$标志代表“大于”。所以, $11 > 10$是真的。此外, $x > 11$意味着 $x$可以是比?大的任何数吗 $11.$

• 或等于:有时我们想要展示一种严格意义上不大于或小于的不平等。我们使用相同的符号，但带有下划线，以表示该数字也可能等于我们要比较的值。所以 $4 \组4$是真的吗 $5 \组4$．所以, $x \ leq 3$意味着 $x$可以是比它小的任何数字吗或等于 $3.$

有多少正整数 $< 7 ?$

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看一下上面的数轴，我们看到小于的数 $7$正能量在两者之间 $0$而且 $7$．

这些数字是 $1 2 3 4 5$而且 $6$，构成了 $6$． $_ \广场$

用什么不等式运算来代替下面的问号?

$61 \ ? \ 59$

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如果我们看延伸的数轴，我们会看到这个数字 $61$领先两步 $59$．两者皆有" $61$大于 $59$”和“ $59$小于 $61.$＂

我们看到一个大于另一个的恰当符号是" $>$"．

所以答案是 $61 > 59$，这是事实。 $_ \广场$

小于的正整数有多少 $One hundred.$和是的倍数 $11吗?$

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我们列出所有的倍数 $11$它们被发现在 $0$而且 $One hundred.$：

$\begin{aligned} 11\times1&=11\ 11\times2&=22\\ 11\times 3&=33\\ 11\times 4& =44\\ 11\times 5& = 55\\ 11\times 6& = 66\\ 11\times 7 &=77\\ 11\times 8 &= 88\\ 11\times 9&=99。结束\{对齐}$

自 $11 \ * 10 = 110$而且 $110$领先十步 $One hundred.$，我们省略它，到此结束。

这些数字是 $11 22 33 44 55 66 77 88 99$，给的总数 $9$这样的数字。 $_ \广场$

多少个整数 $x$满足 $13 < x < 21吗?$

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如果我们把上面的不等式分开，我们得到两个不等式 $13 < x$而且 $x < 21$．

第一个不平等 $13 < x$意味着 $13$小于 $x$，这也意味着 $x$大于 $13$．所以这些数字是在 $13$在数轴上。

第二个不平等 $x < 21$意味着 $x$小于 $21$．所以数字在左边 $21$在数轴上。

结合这两个不等式，我们得到了在的右边的数的列表 $13$以及左边的一串数字 $21$，这意味着位于之间的数字 $13$而且 $21$．

这些数字 $14 15 16 17 18 19 20$，得到的总数为 $7$数字。 $_ \广场$

在维基<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/representation-on-the-real-line/" class="wiki_link" title="实线上的表示＂target="_blank">实线上的表示，我们看到实数可以直观地表示在数轴上，直线上的每个点对应一个实数，每个实数对应直线上的一个点。我们如何用数轴来表示实数集?

当我们绘制数轴的区域时，我们使用以下约定:

• 实点和彩色线表示包含在区域中的点。
• 开的(未填充的)圆点表示不包含在区域内的点。

让我们考虑一个例子。

在数轴上找到一个表示上述区域的不等式。

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因为圆上有实数 $3$是一个开放的圆， $3$不包括在区域内。这表明该区域包含了所有严格大于的实数 $3$，即都是实数 $x$满足了不平等 $x > 3$． $_ \广场$

现在，我们将考虑数轴上的同一个区域，并证明可能存在不止一个不等式来表示同一个区域。

下列哪个不等式用上面的数轴表示?

$\开始{数组}{c} & & ~ (a) \ x + 8 le 2 x & & ~ (b) \ \ 2 - 3 > x + 4 & & ~ (c) \ - x + 3 < 4 x + 18 & & ~ (d) le 2 x - 1 \ \ 3 x + 9 \{数组}结束$

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上述不等式的解是

$c \开始{数组}{}& & (a) \ x + 8 \ le 2 x & \意味着x \通用电气8 \ \ \ \ & (b) \ 2 - 3 > x + 4 & \意味着x > 7 \ \ \ \ & (c) \ - x + 3 < 4 x + 18 & \意味着x > 3 \ \ \ \ & (d) \ le 2 x - 1 & 3 x + 9 \ \意味着x \ le 2。结束\{数组}$

因此，答案是 $(c)。$ $_ \广场$

这个例子说明，在能够确定不等式是否代表数轴上的给定区域之前，可能需要对不等式执行代数操作。可能的代数操作包括

• 两边加减一个常数;
• 两边同时乘以正数;
• 两边同时乘以负数，把不等号调换一下。

下列哪个数轴代表这个不等式

$\ \ 2×11 \ le - (x + 2) ?$

我们有

$\开始{对齐}2×11 & \ le - (x + 2) \ \ 2×11 & \ le x 2 \ \ 3 x & \勒9 \ \ x & \勒3。结束\{对齐}$

因此，答案是 $(b)。$ $_ \广场$

下列哪个不等式用上面的数轴表示?

$c \开始{数组}{}& & ~ (a) \ \压裂{x}{100} < \压裂{x}{5} + \压裂{19}{50}& & ~ (b) \ \压裂{1}{5}- \压裂{2 x}{5} > \压裂{x} {5} 1 & & ~ (c) \ \压裂{x - 1}{2} < \压裂{x + 3} {4} & & ~ (d) \ \压裂{3 x + 1}{4} < \压裂{x}{3} 1 \{数组}结束$

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上述不等式的解是

$c \开始{数组}{}& & (a) \ \压裂{x}{100} < \压裂{x}{5} + \压裂{19}{50}& \意味着\压裂{x 19}{100} >——\压裂{38}{100}& \意味着x > 2 \ \ \ \ & (b) \ \压裂{1}{5}- \压裂{2 x}{5} > \压裂{x}{5} 1 & \意味着\压裂{3 x}{5} < \压裂{6}{5}& \意味着x < 2 \ \ \ \ & (c) \ \压裂{x - 1}{2} < \压裂{x + 3}{4} & \意味着\压裂{2 x - 2}{4} < \压裂{x + 3}{4} & \意味着x < 5 \ \ \ \ & (d) \ \压裂{3 x + 1}{4} < \压裂{x}{3} 1 & \意味着\压裂{9 x + 3}{12} < \压裂十二个{4}{12}& \意味着x < 3。结束\{数组}$

因此，答案是 $(c)。$ $_ \广场$

上面哪个数轴代表下面线性不等式系统的解?

$\begin{cases} 2 - 1& \le &x+5\\x+1&>&0\end{cases}$

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第一个不等式给出 $x \勒6。$第二个不等式给出了 $x > 1。$因此，解决方案是 $1 < x \ 6,$暗示数轴的适当表示是 $(一)。$ $_ \广场$

线性不等式是两个不同分量之间成立的关系。它们通常由一个 $<、>、\ leq,$或 $\组$的象征。

的符号 $x < y$意味着 $x$小于 $y$．
的符号 $x \ leq y$意味着 $x$是小于还是等于 $y$．
的符号 $x > y$意味着 $x$大于 $y$．
的符号 $x \组y$意味着 $x$是大于还是等于 $y$．

有一个变量的线性不等式可以通过代数操作不等式来解决，这样变量就保持在一边，数值保持在另一边。一旦这样做了，我们就得到了一个表示不等式解的关系式。

线性不等式也可以通过画图和直观地思考来解决。

满足条件的最小整数是多少 $x > 4 ?$

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看看等式，我们观察到它表示所有大于4的实数．但既然我们要找最小的整数值，我们注意到最小的整数大于 $4$是5。 $_ \广场$

满足条件的最小整数是多少 $x \组4 ?$

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看看等式，我们观察到它表示所有大于等于4的实数．因为这些数字基本上都是从 $4$来 $\ infty$,包括 $4$，我们知道 $4$是满足不等式的最小整数。 $_ \广场$

用代数求出的值 $x$的 $6x + 4 < 2 + x。$

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我们首先通过相加来收集相似项 $- x 4$不等式两边同时除以 $5$获得

$\开始{对齐}- x - 4 + 6 + 4 & < 2 + x - x - 4 \ \ \ \ 5 x & < 2 \ \ \ \ & < \压裂{2},{5}。结束\{对齐}$

的所有值 $x$不到 $\压裂{2}{5}$都是上述关系的解。

简而言之，我们可以把解写成 $\离开(——\ \ infty压裂{2}{5}\右),$也就是说所有的实数，但不包括负无穷和 $\压裂{2}{5}$．这实际上是重写上面语句的一种更简短的方法。 $_ \广场$

以图形的方式显示为上述例子所得到的解是正确的。

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从之前的方程我们知道 $6x + 4 < 2 + x$减少到 $x < \压裂{2},{5}$．

在这张图上，我们先画出直线 $x = \压裂{2},{5},$然后在这条线左边的整个区域涂上阴影。阴影区域称为有界区域，该区域内的任何一点都满足不等式 $x < \压裂{2},{5}。$还要注意，表示区域边界的线是虚线;这意味着沿着这条线的值 $x = \压裂{2},{5}$不包含在不等式的解集中。 $_ \广场$

求解单变量线性不等式和求解线性方程是一样的。给定一个不等式，我们应该做的是将变量孤立在一边。

例如，已知不等式

$3 > 9日$

现在先把涉及的步骤放一放:

$\begin{aligned} x-3+3&>9+3\\ x+0&>12\\ x&>12。结束\{对齐}$

这两个 $3 > 9$而且 $x > 12$因为执行基本的算术运算，解是一样的 $+、-、\时报\ div$不等式两边的变化并不会改变不等式。这就是所谓的等价的不平等．因此所有大于的数 $12$满足上述不等式。

我们已经看到，将不平等转化为等价的不平等将引导我们找到解决方案。为了将一个不等式变成一个等价不等式，我们使用四个基本的算术运算，但是使用什么运算完全取决于问题的类型，所以我们必须保持敏锐的眼睛来识别使用什么运算。

附加形式等价不等式

当使用加法时，我们依赖一个事实，即任何数字加零就是数字本身 $(x + 0 = x)$．例如，如果不等式是

$x 8 < 1,$

为了建立等价不等式，我们必须分离 $x$．我们可以让左边的项等于 $x + 0,$也就是数字本身。所以我们可以加上 $+ 8$要使其为零:

$\begin{aligned} x-8+8&<1\\ x-0&<1\\ x&<1。结束\{对齐}$

好的，我们已经分离了 $x$，但我们通过简单的加法改变了不等式 $8$．为了纠正这一点，我们可以添加另一个 $8$向不平等的右边移动，以抵消我们在左边所做的改变:

$\begin{aligned} x-8+8&<1\\ x-0&<1+8\\ x&<9。结束\{对齐}$

所有小于的数 $9$满足不等式。

减去等价不等式

假设不等式已知 $x + 3 > 7。$

如果我们增加 $3.$双方, $x + 3 + 3 > 7 + 3$或 $x + 6 > 10,$这并不比原文更有帮助。但是如果我们减去 $3.$我们可以从两方面进行孤立 $x$：

$\begin{aligned} x+3&<7\\ x+3-3&<7-3\\ x&<4。结束\{对齐}$

所有小于的数 $4$满足不等式。

乘法形成等价不等式

当使用乘法运算时，我们依赖于任意数字相乘的性质 $1$除了 $0$就是数字本身 $(m \ times1 = m m \ neq0)$．

考虑到不平等

$\frac {1}{2}x <7，$

我们来看看如何分离 $x$．我们可以看到，如果我们相乘 $\压裂{1}{2}$通过 $2$，我们得到一个。所以我们有

$\begin{aligned} \left(\frac {1}{2} x \right) \times 2 &<7\times 2\\ 1\times x&<14\\ x&<14。结束\{对齐}$

另一件不要忘记的事情是，当不等式两边同时乘以一个负数时，不等号会改变。例如，在不等式中 $- - - - - - \压裂{1}{3}x < 5$,孤立 $x$不等式两边同时乘以 $3$：

$\{对齐}-开始\离开(\压裂{1}{3}x \) \ * (3) & < 5 \ * (3) \ \ 1 \ * x > -15 \ \ x > -15。结束\{对齐}$

所有大于的数 $-15年$满足不等式。

除法形成等价不等式

除法的原理与乘法相同，因为除法是乘法的倒数: $M \div n= M \times \frac{1}{n}$．

考虑到不平等 $6 x < 12$．

如果我们想分离 $x$左项可以除以 $6$．因为任何数除以自己除了 $0$等于 $1$，可以得出 $\压裂{6}{6}= 1$,这意味着

$\begin{aligned} 6x&<12\\ 6x\div 6&<12\div 6\\ 6x\times \frac {1}{6} &<12\times \frac {1}{6} \\ 1\times x&<2\\ x&<2。结束\{对齐}$

所有小于的数 $2$满足不等式。

就像乘法一样，不等式两边同时除以负数不等式的符号会改变。

让我们看一些比较难的问题来加强我们的理解。

解决 $6 - 3 < 9$．

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看起来我们要做加法和除法才能分离 $x$．

步骤1：

$\begin{aligned} 6x-3&<9\\ 6x-3+3&<9+3\\ 6x&<12。结束\{对齐}$

步骤2：

$\begin{aligned} 6x\times \frac {1}{6} &<12\times \frac {1}{6} \\ x&<2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

请注意:我们不一定要在除法过程之前做加法过程，但通常在乘除过程之前做加减法过程更容易。

考虑到 $x$是集合的一个元素吗 $左\ \{2 1、7、4、5、0 \ \}$的多少个值 $x$满足不等式 $6 x + 13 < 37 ?$

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不要把所有的数字都代入并检查，让我们分离 $x$形成等价不等式。

步骤1:删除 $13$从左边开始:

$\{对齐}开始6 x + 13-13& < 37-13 \ \ 6 x < 24。结束\{对齐}$

步骤2:删除 $6$两边同时除以 $6$改变不等式的符号

$\{对齐}开始(6 x) \ \倍左(- \压裂{1}{6}\右)& < 24 \ * \离开(- \压裂{1}{6}\)\ \ x > 4。结束\{对齐}$

自 $x$大于 $4$,数字 $2 1 0$满足不等式。因此,总 $3.$价值满足不等式。 $_ \广场$

解决 $\压裂{2}{3}x - \压裂{1}{2}> \压裂{3}{2}。$

---

步骤1:删除 $\压裂{1}{2}$从左边开始:

${对齐}\ \开始压裂{2}{3}x - \压裂{1}{2}& > \压裂{3}{2}\ \ \压裂{2}{3}x - \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{2}& > \压裂{3}{2}+ \压裂{1}{2}\ \ \压裂{2}{3}x > 2。结束\{对齐}$

步骤2:这里我们可以去掉 $2$而且 $3.$在 $\压裂{2}{3}$分别除以 $2$,乘以 $3.$．但是如果我们意识到分数的倒数是 $1$,即 $\压裂{m} {n} \ * \压裂{n} {m} = 1$，我们可以乘以它的倒数:

$\begin{aligned} \left(\frac {2}{3} x\times \frac {3}{2} \right) &>2 \times \left(\frac {3}{2} \right) \\ 1\times x&>3\\ x&>3。结束\{对齐}$

因此，所有大于 $3.$满足不等式。 $_ \广场$

解决 $2 + 3 < x < 3 x + 16。$

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第一个不等式给出

$\begin{aligned} 2x+3 &$

第二个不等式给出了

$\begin{aligned} x &<3x+16 \\ -16 &<2x \\ -8 &$

结合 $(1）$而且 $（2）$给了 $8 < x < 3。\ _ \广场$

解决 $3 x 8 < 2 x < 5 x 33。$

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第一个不等式给出

$\begin{aligned} 3x-8 &<2x \\ x&<8。结束\ qquad(1) \{对齐}$

第二个不等式给出了

$\begin{aligned} 2x &<5x-33 \\ 33 &<3x \\ 11 &$

既然没有价值 $x$满足两个 $(1）$而且 $(2)，$没有解决办法。 $_ \广场$

如果下列不等式的解都是非负数，的值是多少 $一个吗?$

$X-9 \le 3x+1 \le 7x-a$

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第一个不等式给出

$\{对齐}开始x - 9 & \勒3 x + 1 \ \ -10 le 2 x \ \ & & \ \通用电气5。结束\ qquad(1) \{对齐}$

第二个不等式给出了

$\开始{对齐}3 x + 1 & \ le x 7 \ \ + 1 & le 4 x \ \ \ & \通用电气\压裂{+ 1}{4}。结束\ qquad(2) \{对齐}$

作为结合的结果 $(1）$而且 $(2)，$我们应该有解决这个问题的必要方法: $x通用电气\ 0。\ qquad (3)$

自 $(1）$包含 $(3)，$这一定是真的 $（2）$相当于 $(3):$

$x\ge \frac{a+1}{4} \Leftrightarrow x\ge 0。$

这意味着

$+ 1 = 0 \意味着= 1。\ _ \广场$

求解包含表达式的不等式 $mx + b$，我们需要考虑不等式的性质。

不等式的性质:

1. 如果两边加上相同的实数，不平等的感觉是不变的。
2. 如果两边乘以同，不平等的感觉是不变的积极的实数。
3. 如果两边都乘以同样的数，不平等的感觉就会逆转负实数。
4. 如果 $a >$而且 $c > d,$然后 $a + c > b + d。$
5. $> b > 0$而且 $c > d > 0,$然后 $ac >双相障碍。$

解的解集 $3-4x \leq 2x +9。$

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由房地产 $1$上图中, $6 x \ leq 6。$
然后由房地产 $3.$上图中, $x \组1。\ _ \广场$

当解决一个问题时(相对于仅仅使用一个给定的公式)，通常沿着以下路线进行是很好的:

1. 首先，你必须了解问题所在。
2. 了解之后，制定计划。
3. 执行计划。
4. 回顾你的工作。怎样才能更好呢?

有关这些方法的更多详细信息，请参见<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/discussions/thread/problem-solving-2/">如何解决Brilliant上的问题．

证明对于所有正实数 $x$时，以下不等式总是成立的:

$2. + + + +;$

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因为实数的平方总是非零的，我们有 $\大(\根x - \frac1{\根x}\大)^2 \geq 0。$执行一些代数操作，您将得到想要的不等式。 $_ \广场$

如果甜甜圈比人字拖重100克，但人字拖比干水泥轻1000公斤。哪个更重，甜甜圈还是干水泥?差距有多大?

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未完待续

一个教室 $n \ n$表的数量。如果老师移走了最少的方格数，使得桌子的平方数仍然是一个完美的平方数，那么就会有4个学生没有座位。如果老师没有移走这些桌子，还有多少多余的桌子?

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$(n-1)²= m + 4$什么的。未完待续。