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绝对值线性不等式的一个简单例子是
∣一个x+b∣>c.解决这些问题的通用方法是将绝对值表达式分为两种情况:其中一项为正,一项为负。表达式恰好为零的情况可以包含在这两种情况中的任何一种。让我们通过一个例子来看看它是如何工作的。
当符号是
<,如。
∣f(x)∣<g(x),结果将是
−g(x)<f(x)<+g(x).
当符号是
>,如。
∣f(x)∣>g(x),结果将是
f(x)<−g(x)和
f(x)>+g(x).
红色部分是我们的答案。
解出
x:
∣x−1∣<4.
我们知道
x−1≥0当
x≥1,和
x−1<0当
x<1.因此我们把它分为这两种情况。
(我)当
x≥1,这个词
∣x−1∣等于
x−1.因此我们有
∣x−1∣x−1⇒x<4<4<5.然而,既然我们假设
x≥1,的值
x在这个条件下满足给定不等式的是
1≤x<5.
(2)当
x<1,这个词
∣x−1∣等于
−x+1.因此我们有
∣x−1∣−x+1⇒−3.<4<4<x.然而,既然我们假设
x<1,这次我们有
−3.<x<1.
在求解完每一种情况后,我们找到每一种情况的解集的并集,即答案。因此我们的答案是
−3.<x<5.
□
如果有多个绝对值表达式(例如:
2∣x+1∣−3.∣x−5∣<7),然后我们对每个表达式做同样的事情。当我们有
n绝对值表达式,我们要把它分成
n+1大小写(除非表达式是另一个表达式的倍数,比如
∣x−1∣和
∣2x−2∣).那么每种情况的解集的并集就是答案。
具有单一绝对值表达式的不等式可以用一种稍微简单的方法来处理。请注意,
∣x∣>5等于
x>5或
x<−5,和
∣x∣<5等于
−5<x<5.利用这个原理,上面的例子可以求解为:
解出
x:
∣x−1∣<4.
使用上面提到的原则,我们有
−4<x−1⇒−3.<x<4<5.□
现在我们再来解一些例题。
解出
x:
2∣x−2∣+x>8.
解决方案1:
如果
x<−2,然后
2×(−(x−2))+x>8,这意味着
x<−4.如果
x≥−2,然后
2×(x−2)+x>8,这意味着
x>4.因此,解决方案是
x<−4或
x>4.
□
解决方案2:
注意,给定的不等式等价于
∣x−2∣>28−x.
然后,如果
x≥2,我们有
x−2x23.xx>28−x>4−2x+2>6>4.(它满足这个条件x≥2)如果
x<2,我们有
−(x−2)−x−2xx>28−x>4−2x−2>2<−4.(它满足这个条件x<−2)因此,答案是
x>4或
x<−4.
□
有多少个整数
x满足
∣3.−4x∣≤5?
(一个)1(b)2(c)3.(d)4(e)5
我们可以将不等式改写为:
∣3.−4x∣−5−8−2−21≤5≤3.−4x≤5≤−4x≤2≤4x≤8≤x≤2.
因此,三个整数
0,1,2满足不等式,所以答案是
(c).
□
有多少个整数解
x下面的不等式是否有:
2∣x−1∣+3.∣x+1∣<14?
(一个)1(b)2(c)3.(d)4(e)5
如果
x<−1,我们有
2×(−(x−1))+3.×(−(x+1))−5x−1x−3.<14<14>−3.<x<−1.(自x<−1)
如果
−1≤x<1,我们有
2×(−(x−1))+3.×(x+1)x+5x−1<14<14<9≤x<1.(自−1≤x<1)
如果
x≥1,我们有
2×(x−1)+3.×(x+1)5x+1x1<14<14<513.≤x<513..(自x≥1)
因此,从以上三个案例中我们有
−3.<x<513.,这意味着5个整数
−2,−1,0,1,2满足给定不等式。所以我们的答案是
(e).
□
让不等式的解
∣2x+p∣≥5是
x≥问或
x≤−1,在哪里
p和
问是常数。是什么
p+问?
观察到
∣2x+p∣≥5意味着
2x+p≥5或
2x+p≤−5,它等价于
x≥25−p或x≤2−5−p.
既然我们得到了
x≥问或
x≤−1,我们有以下两个方程:
25−p=问和2−5−p=−1,
这意味着
p=−3.和
问=4.因此,
p+问=−3.+4=1.
□
引用:绝对值线性不等式。Brilliant.org.检索从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-inequalities-absolute-value/">//www.parkandroid.com/wiki/linear-inequalities-absolute-value/