线性方程组

一个线性方程是一个代数方程，绘制时形成一条直线。每个项要么是常数，要么是常数和单个变量的乘积。

一个线性方程可以有一个或多个因变量. 例如，下面的等式表示购买的总成本 $一个$苹果每只0.5美元 $b$香蕉每只0.3美元。 $\text{Cost} = a \times \$0.50 + b \times \$0.30。$总成本是依赖的，如果 $一个$或 $b$改变了。

操纵和使用线性方程必须理解以下概念：线性变化率、斜率、点和截距。一旦掌握了这些，当信息丢失时，可以用各种方式来定义一行。

一个线性变化率表示所讨论的值在给定的时间单位内以固定的数量变化。这意味着斜坡方程的形式是一个常数值，关系图是一条直线。

当关系涉及线性变化率时，通常最简单的方法是将其表示为线性方程斜截式：

$Y = mx+ b。$

在这个公式中， $y$代表我们的最终金额， $米$是直线的变化率或斜率， $x$所经过的时间(单位是否相同 $米$), $b$是我们开始时的金额吗 $x = 0$．

汤姆使 $\ 9美元$每小时。汤姆工作挣多少钱 $20.$小时?

答复

解决方案1:
汤姆挣的钱可以用这个方程式来表示 $Y = 9x + 0。$斜率是 $9$和 $y$拦截是 $0$因为汤姆挣钱 $\ 9美元$每小时，从 $\$0.$评价 $y$什么时候 $x = 20$产量 $y=20\乘以9=180。$因此,汤姆挣 $\$180$工作之后 $20.$个小时。 $_\方格$

解决方案2:
因为汤姆挣钱了 $\ 9美元$每小时工作 $20.$工时，我们可以看到他的工资是 $20次\$9=\$180.\\平方$

图书馆每周丢失100本书。如果他们现在有1万本书，要过几周他们才会有8400本书?

答复

图书馆拥有的藏书数可以用这个方程表示 $Y = -100x + 10000。$要解决这个问题，价值观 $x$对应于 $y = 8400$必须找到: $\开始{aligned}8400&=-100x+10000\\-1600&=-100x\\x&=16\结束{对齐}$因此，答案是 $16$周。 $_\方格$

的斜率截距公式线的长度由 $y=mx+b，$在哪里 $米$和 $b$是固定的数字。满足此方程的点集描述了曲线中的一条直线 $xy$飞机。

直线的斜率是 $y$以及 $x$．例如，对于一条直线上的两个不同点， $y_1 p_1 = (x_1)$和 $p_2=（x_2，y_2）$，斜率等于比率 $\分形{y_2-y_1}{x_2-x_1}$．这也被称为的变化率 $y$关于 $x$．

坡度有时表示为在运行．那些忘记了哪个分量是分子的学生可能想把确定斜率看成是走一段楼梯。首先是竖直方向的变化(分子)，然后是水平方向的变化(分母)。

排队 $y=mx+b$的变化率 $y$关于 $x$总是等于斜率吗 $米$对于线上任何一对不同的点，其计算如下：

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{（mx_2+b）-（mx_1+b）}{x_2-x_1}=\frac{m（x_2-x_1）}{x_2-x_1}=m。$

注意:这个规则的一个例外是:

• $x=k$为了某个常数 $k$. 在这种情况下，坡度未定义。
• $y=k$为了某个常数 $k$．在这种情况下，斜率是 $0.$

通过求解直线方程，当 $x = 0$,我们获得 $Y = m \cdot 0 + b，$所以 $(0, b)$是直线上的一点。因为这一点就在 $y$-轴，它是 $y$直线的截距。这就解释了它的名字坡度截距排队表格 $y=mx+b，$在哪里 $米$坡度和坡度是多少 $b$是 $y$-拦截。

求斜率和 $y$直线的截距 $x=2y+6。$

答复

快速看一下，你可能会说这条线的斜率是 $2.$然而，所给的方程不是斜截式。为了把方程转化为斜截式，使 $y$这个主题 $Y = {x}{2} - 3$. 因此斜坡是 $\分形{1}{2}$和 $y$拦截是 $－3$． $_\方格$

让 $（a-3）x-y+b-5=0$是a的直线方程 $45 ^ \保监会$与电池正极的角度 $x$-轴心国。如果 $y$拦截是 $-2,$是什么 $a - b吗?$

答复

重写该方程可得出：

$\开始{aligned}（a-3）x-y+b-5&=0\\y&=（a-3）x+（b-5）\\a-3&=\tan 45^\circ，四元b-5=-2\\a&=4，四元b=3\\\右箭头a-b&=4-3\\\\&=1_\方形\结束{对齐}$

如果我们想找到直线上的一点，我们只需将坐标代入方程，然后解出得到的线性方程。通常情况下，我们会得到 $x$协调,或 $y$-协调，并要求找到另一个。我们还可以得到实际点的坐标，并要求确定坡度或坡度 $y$-拦截。

如果这一点 $P = (a, 5)$岌岌可危 $Y = 3x + 2$，什么是价值 $一个$？

答复

将点的坐标代入直线， $5=3次a+2$,这意味着 $一个= 1$． $_\方格$

如果这一点 $P = (1,3)$岌岌可危 $y=mx-4$，什么是价值 $米$？

答复

将点的坐标代入直线， $3 = m乘以1 - 4$,这意味着 $m = 7$． $_\方格$

的 $y$拦截这条线的交叉点是哪里 $y$-轴心国。自从 $y$-轴对应满足条件的点 $x=0$, $y$-intercept通过设置获取 $x=0$，它给出了标准形式 $Y = m乘以0 + b = b$. 这个 $y$拦截是 $(0, b)$．

的 $x$拦截这条线的交叉点是哪里 $x$-轴心国。自从 $x$-轴对应于满足条件的点 $y = 0$, $x$-intercept通过设置获取 $y = 0$，这给了我们 $0 = m \乘以x + b$,或 $X = - frac{b}{m}$．

注意:一个常见的错误是转换的定义 $x$- - - $y$拦截。画一些例子来确保定义清晰是有帮助的。

有什么问题 $x$和 $y$线路截距 $2x + 3y = 12$？

答复

找到 $y$拦截,我们设置 $x=0$，这给了我们 $2 * 0 + 3 * y = 12$,或 $y = 4$. 因此 $y$拦截是 $(0, 4)$．
找到 $x$-截取 $y = 0$，即 $2倍x+3倍0=12$,或 $x=6$. 因此 $x$拦截是 $(0)$． $_\方格$

逊尼派 $300$墙上的砖头 $425$星期四他在墙上挂了几块砖。如果他每天以固定的速度工作，我们希望他在星期天有多少块砖？

答复

如果逊尼派以恒定的速度工作，砖块的数量将线性增加。星期四和星期一的差是三天，而星期四和星期一的差是三天 $425$和 $300$是 $125年,$提高增长率 $\dfrac{125\text{bricks}{3\text{days}}$. 再过三天，逊尼派将增加一个新职位 $125$砖块，这使得 $425 + 125 = 550$砖。

因此，答案是 $550$砖。 $_\方格$

亨利口袋里有125美元，但他每小时在游戏厅花20美元。如果他在两个半小时后离开，他还剩多少钱?

答复

亨利的钱可以用 $Y = -20x + 125$哪里 $y$剩下的钱是多少 $x$是花在街机上的时间(以小时为单位)。这个问题需要计算这个表达式 $x = 2.5$，即

$Y = -20(2.5) + 125 = 125-50 = 75。$

亨利将会 $\ 75美元$他一走就走。 $_\方格$

通过的直线的方程是什么 $(1、5)$而且有一个 $y$-截获 $6.$

答复

从斜率开始 $(1、5)$和 $(0,6)$是 $m=\dfrac{5-6}{1-0}=-1$，以及 $y$截距是6，直线方程是

$y=-x+6.\\平方$

让 $大概{3}\ x + ay + b = 0$是通过点的直线的方程式 $(1、3)$形成一个 $60^\circ$与电池正极的角度 $x$-轴心国。是什么 $a + b ?$

答复

重写已知的方程

$\开始{aligned}\sqrt{3}x+ay+b&=0\\y&=-\frac{\sqrt{3}}{a}x-\frac{b}{a}\qquad（1）\-\frac{\sqrt{3}{a}&=\tan 60^\circ\\\\\&=\sqrt{3}\righta&-1\结束{对齐}$

然后 $（1）$就变成了 $y=\sqrt{3}x+b。$现在，替换坐标 $(1、3)$给了 $3=\sqrt{3}+b\Rightarrow b=3-\sqrt{3}。$因此

$a + b = 1 + (3 - \ sqrt {3}) = 2 - \ sqrt{3}。\ _ \广场$

位于曲线第二象限的线段长度是多少 $xy$是通过这两点的直线的一部分 $(-3, -1)$和 $(4, 6)?$

答复

通过这两点的直线方程 $(-3, -1)$和 $(4、6)$是

$\开始{aligned}y-（-1）&=\frac{6-（-1）}{4-（-3）}（x-（-3））\\向右箭头y&=x+2\结束{对齐}$

现在 $x$-线路的截距为 $(2,0)。$类似地, $y$-线路的截距为 $(0, 2).$因此，第二象限的线段的长度就是这两点之间的长度，也就是

$\sqrt{（0+2）^2+（2-0）^2}=2\sqrt{2}.\\平方$

查找的所有值 $k$使以下三点位于一条直线上：

$（2，0），\quad（6，k-1），\quad（-3+k，3）。$

答复

观察穿过的管线的坡度 $(2,0)$和 $(k - 1)$与通过的线的坡度相同 $(k - 1)$和 $(3 + k, 3)。$

$\开始{aligned}\frac{（k-1）-0}{6-2}&=\frac{3-（k-1）}{（-3+k）-6}\\（k-1）（k-9）&=4（-k+4）\\k^2-6k-7&=0\\（k+1）（k-7）&=0\结束{对齐}$

然后是 $k$以致 $(2, 0)， (6, k-1)$和 $（-3+k，3）$躺在一条直线上是 $k=-1$和 $k=7。$ $_\方格$