平行线和垂直线方程

正如我们在维基上看到的直线的斜率和截距，每一行 $xy$飞机上有一个坡的变化率 $y$关于 $x$．给定两条直线，比较这两条直线的斜率可以为我们提供重要的信息 $xy$-plane(如果有的话)。

平行线直线是否在任意点不相交 $xy$飞机。另一种描述平行线的方法是相同斜率的不同直线。假设我们有两条斜截式的非垂直线:

$\{对齐}开始y & = 1 x + y b_1 \ \ & = m_2 x + b_2。结束\{对齐}$

那么这两条线是平行的 $1 = m_2$和 $东北b_1、b_2$．

直观地说，如果两条不同的线具有相同的变化率，那么这两条线总是指向同一个方向，因此永远不会相交。在上图中，两条直线的斜率-截距形式为

${对齐}y & = \ \开始压裂{1}{2}x + y & = 0 \ \ \压裂{1}{2}x + 3。结束\{对齐}$

因为这两条线的斜率相同但不同 $y$-截距，两条线是平行的。

平行于这条直线的直线方程是什么 $2 x-3y-8 = 0$通过这个点 $(3、5)?$

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让 $y = ax + b$是兴趣线的方程。因为这条线和这条线平行 $2 x-3y-8 = 0$或 $x y = \压裂{2}{3}\压裂{8},{3},$它的斜率是 $\压裂{2}{3},$所以它一定是真的 $= \压裂{2}{3}。$方程变成了 $y = \压裂{2}{3}x + b。$代入坐标 $(3、5)$我们有 $5= frac{2}{3}乘以3+b等于b=3。$因此，兴趣线的方程为 $y = \压裂{2}{3}x + 3。\ _ \广场$

一对线是垂直的如果两行相交于 $90 ^ \保监会$角。给出两条斜截式的非垂直线

$\begin{aligned} y &= m_1 x + b_1\\ y &= m_2 x + b_2， \end{aligned}$

这两条线垂直于 $M_1 = - \frac{1}{m_2}$，也就是说，如果两者的斜率互为负倒数:

在上图中，这两条直线的斜截形式为

$\{对齐}开始y & = \压裂{1}{2}x + 3 \ \ & = 2 x 2 \{对齐}结束$

因为这两个斜率是负倒数，所以这两条线是垂直的。

通过这一点的直线方程是什么 $(7,3)$垂直于直线 $y = \压裂{1}{5}x - 2 ?$

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让 $y = ax + b$是兴趣线的方程。因为这条线垂直于这条线 $y = \压裂{1}{5}x - 2$它的斜率是 $\压裂{1}{5},$那一定是真的 $= 5。$方程变成了 $y = 5 x + b。$代入坐标 $(3) 7$我们有 $3=-5\乘以(-7)+b \等于b=-32。$因此，兴趣线的方程为 $y = 5×32。\ _ \广场$

所有常数的和是多少 $k$使这两条线 $c \开始{数组}{}& (k + 1) x-3y + 2 = 0, & (k-2) x + 4 y-1 = 0 \{数组}结束$是互相垂直的吗?

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这两条线是垂直的，它必须成立 $(k + 1) \ * (k-2) +(3) \ * 4 = 0。$因此, $\{对齐}开始(k + 1) \ * (k-2) + (3) \ * 4 & = 0 k \ \ ^ 2-k-2-12& = 0 k \ \ ^ 2-k-14& = 0。结束\{对齐}$因此，根据Vieta的公式，所有可能值的和 $k$是 $1.$ $_ \广场$

在某些问题中，我们可能已知两条直线的斜率和截距的性质，并希望计算斜率和截距的值。

考虑两行 $y = 2 x + 3$和 $y = x + 4 (K + 1)。$当 $K =,$这两条线平行。当 $K = b,$这两条线垂直。是什么 $a + b ?$

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观察直线的斜率 $y = 2 x + 3$是 $－２$以及直线的斜率 $y = x + 4 (K + 1)$是 $K + 1。$

那么，既然两条线是平行的 $K =,$由此可见, $+ 1 = 2 \意味着= 3。$类似地，由于两条线垂直于 $K = b,$由此可见, $b + 1 = \压裂{1}{2}\意味着b = - \压裂{1}{2}。$因此，我们的答案是 $a + b = 3 - \压裂{1}{2}= - \压裂{7}{2}。\ _ \广场$