线积分

线积分(也称为小路或曲线积分)扩展了的概念简单的积分(用于寻找平面、二维表面的面积)到积分，这些积分可以用来寻找“向外弯曲”成三维的表面面积，就像窗帘一样。注意线积分是关于轮廓集成;然而，轮廓集成通常适用于复杂平面中的集成。

线积分可用于计算三维曲面的面积。

线积分具有多种用途。例如,在电磁学，它们可以用来计算带电粒子在a中沿某条曲线运动时所做的功力表示的字段向量场地。或者，在经典力学，它们可以用来计算对物体所做的功 $m$在引力场中运动。这两个问题都可以通过一个广义向量方程来解决。

线积分可以求出在矢量力场中运动的粒子所做的功。

或者，例如，a线积分可以确定海盗在寻宝路径附近的辐射源会暴露多少辐射。

请注意，在他的路径上的不同点，他将暴露在不同的辐射量，这取决于他离辐射源的远近。通过a对每一点的辐射积分线积分将有助于确定海盗所暴露的总辐射量。

或者一个人可能想要弄清楚游泳者沿着某路线游泳的热量，可以准确地预测所有区域的电流。

这也需要使用a线积分因为他需要做的总功会根据电流的强度和方向而变化。所以,一个线积分以上所示的路径将有助于确定游泳者沿着路径游泳时消耗的总功(或卡路里)。

对于一个简单的积分，面积是在定义的曲线下计算的 $y = f (x):$

简单的积分

求曲线下的面积，很简单集成了 $f (x)$从 $一种$来 $B：$

$函数f(x) = (x, x, x, x, x)$

然而,对于线积分，该区域是“曲线分为三维”的二维表面。它像窗帘一样波浪，而不是完全平坦，如上面的例子：

线积分

这可以通过引入以下的集合来实现参数方程定义曲线 $C$在 $xy$飞机:

$x = x (t) \四y = y (t)。$

该区域随后被发现 $f（x，y）$通过解决线积分（在下一节中详细派生）：

$\文本{区域}= \ int_ {t =} ^ {b} t = f \大(x (t), y (t) \大)\√6{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2}\,dt。$

广义到三维，这就变成了

$\文本{区域} = \ int_ {t = a} ^ {t = b} f \ big（x（t），y（t），z（t）\ big）\ sqrt {\ left（\ frac {dx} {dt} \右）^ 2 + \ left（\ frac {dy} {dt}右）^ 2 + \ left（\ frac {dz} {dt}右）^ 2} \，dt。$

用于曲线的线路积分的区域 $xy$-Plane通过方程式给出

$\文本{区域}= \ int_ {t =} ^ {b} t = f \大(x (t), y (t) \大)\√6{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2}\,dt。$

此方程式的推导如下：

首先，有一条曲线 $C$在 $xy$-平面，由一组参数化方程定义 $x（t）$和 $y (t)$终止点 $t =一个$和 $T = B：$

然后曲线 $C$通过函数延伸到三个维度 $z = f (x, y),$在介于之间定义“窗帘” $f（x，y）$和 $z = 0$躺在曲线上 $C：$

这个积分的定义类似于平坦积分 $\大(y = f (x) \大)。$定义上图中每个小垂直部分的宽度 $\δS$．每一段的面积是

$\文本{区域} = f（x，y）\ delta s，$

在哪里 $\δS$是每个线段的宽度，因为它接近零： $\ delta s \ lightarrow 0。$

$\δS$然后以条件表达 $\δx$和 $\δy:$

从勾股定理，这就引出了

$(S)²= (x)²+ (y)²。$

积分方程是这样的:

$f(x,y) ^{t=b} = (x,y)$

卖 $\ delta s \ lightarrow ds \ lightarrow 0$将上述等式转换为

$\ begin {对齐}（ds）^ 2＆=（dx）^ 2 +（dy）^ 2 \\ ds＆= \ sqrt {（dx）^ 2 +（dy）^ 2}。\结束{对齐}$

那么积分就变成

$文本\{区域}= \ int_ {t =} ^ {b} t = f (x, y) \√6 {(dx) ^ 2 + (dy) ^ 2}。$

$X$和 $y$的参数化函数是 $T.$：

${begin{align} x &= x(t)\\ y &= y(t)\结束{对齐}$

同时, $DT.$可以包含在 $\ sqrt {（dx）^ 2 +（dy）^ 2}$方程：

$\ sqrt {（dx）^ 2 +（dy）^ 2} = \ sqrt {\ left（\ frac {dx} {dt}右）^ 2 + \ left（\ frac {d dt} {dt}右）^ 2} \，dt。$

然后把这个代入面积方程:

$\文本{区域}= \ int_ {t =} ^ {b} t = f \大(x (t), y (t) \大)\√6{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2}\,dt。$

上面的结果如何推广到不仅存在的路径 $xy$-平面，但也在 $Z.$-方向。例如，滚子过山车或变化的等式 $z ?$

---

主要的区别是 $f（x，y）$现在是一个功能 $Z.$也是，所以 $f (x, y, z)$,这 $\δS$上面定义的现在需要推广到三维。

参考上面的图片， $S =√{x²+ y²+ z²}。$

所以,当 $S等于0$那

$\ begin {对齐} ds＆= \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2} \\ \ frac {ds} {dt}＆= \ sqrt {\ left（\ frac {dx} {dt}右）^ 2 + \ left（\ frac {dy} {dt} \ other）^ 2 +左（\ frac {dz} {dt} \ revaly）^ 2}。\结束{对齐}$

最后的积分是这样的

$\文本{区域}= \ int_ f C{} \大(x (t), y (t) z (t) \大)\√6{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dz} {dt} \右)^ 2}\,dt。\ _ \广场$

步骤1:确认 $f (x, y, z)$在上面的方程和曲线中 $C$在上面进行积分。对于涉及到对物体做功的问题， $f (x, y, z)$表示粒子/物体上的力。例如，对于原点的点电荷， $f (r) = \压裂{q} {r ^ 2}$,在那里 $问：$电荷的大小是多少 $R.$是从充电到路径的距离。或者，在 $x，y，$和 $Z.$对于原点的点电荷， $f (x, y, z) = \压裂{q} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}。$曲线 $C，$它定义了粒子的路径，也需要确定。

步骤2:确定参数方程 $x（t），y（t），z（t）。$
这可能是解线积分的一个不那么简单的部分，因为方程是 $x，y，z$需要翻译成 $x（t），y（t），z（t）。$例如，等式 $x^2 + y^2 = R^2$转换成一个圆，它有参数方程 $x (t) = R \ cos (t)$和 $y (t) = R \罪(t)$,在那里 $T：0 \ lightarrow 2 \ pi。$

下表显示了一些更常见的参数方程式：

$\开始{对齐}{{# 3 d99f6} \ \颜色textbf{坐标方程 }} &&&&&{\ 颜色{# 3 d99f6} \ textbf{参数方程}}\ \ x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 &&&&& x (t) = R \ cos (t), y (t) = R \罪(t) \ \ (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = R ^ 2 &&&&& x (t) = x_0 + R \ cos (t), y (t) = y_0 + R \罪(t) \ \ y = mx + b &&&&& x (t) = - \压裂{b} {m} + \压裂{t} {\ sqrt {m ^ 2 + 1}},y = b + \压裂{太}{\ sqrt {m ^ 2 + 1}} \ \ \ z文本{螺旋围绕}\文本}{设在,半径R \文本{间距}&&&&& x (t) = R \ cos (t), y (t) = R \罪(t)、z (t) = \压裂在{}{2 \π}。\结束{对齐}$

步骤3:计算 $ds:$ $大概{ds = \ \离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dz} {dt} \右)^ 2}。$

步骤4:解决积分: $\文本{区域}= \ int_ f C{} \大(x (t), y (t) z (t) \大)\√6{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dz} {dt} \右)^ 2}\,dt。$

解决积分的线条 $f (x, y) = xy$沿着圆周定义的等高线 $X ^2 + y^2 = 9$如图所示方向:

---

步骤1:在这种情况下，很明显 $f (x, y) = xy$和路径 $C$沿着圆 $X ^2 + y^2 = 9$．

步骤2:我们需要转换这个方程 $X ^2 + y^2 = 9$进入一对参数方程 $x（t）$和 $y (t)$．
对于一个半径圈 $3.$，下列参数方程符合要求: $X (t) = 3sin (t)， y(t) = 3cos (t)，$在这种情况下 $0 leq t leq pi$为了沿着上面的红色曲线。

现在我们使用上面的一般方程: $\文本{区域}= \ int_ {t =} ^ {b} t = f \大(x (t), y (t) \大)\√6{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2}\,dt。$用在了 $\文本{区域}= \ int_ {t = 0} ^ {t =π\}\ f大(3 \罪(t), 3 \ cos (t) \大)\√6{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2}\,dt。$

步骤3:我们有

• $X (t) = 3\sin(t) \implies \frac{dx}{dt} = 3\cos(t)$
• $y (t) = 3 \ cos (t) \意味着\压裂{dy} {dt} = 3 \罪(t)$

和以来 $f（x，y）= xy，$ $f \大(3 \罪(t), 3 \ cos (t) \大)= 9 \ cos (t) \罪(t)。$

步骤4:所以，该地区变成了 $\开始{对齐}\文本{区域}& = 9 \ int_ {t = 0} ^ {t =π\}\ cos (t) \罪(t) \√6{\大(- \罪(t) \大)^ 2 + \大(\ cos (t) \大)^ 2}\,dt \ \ & = 9 \ int_ {t = 0} ^ {t =π\}\ cos (t) (t) \ \罪,dt \ \ & = \盒装{0}。\结束{对齐}$由于问题的对称性，这是我们所期望的。 $_ \广场$

现在我们来研究一个切实的问题:

假设有一个银行强盗谁想找到一个钥匙然后使用它来打开一个安全。

关键在于，当他拿到钥匙后，他就会触发警报，触发辐射炸弹以恒定速率释放辐射，直到他打开保险箱，再不会释放辐射。

他现在想优化他的路线，以便他获得最低剂量的辐射。

假设关键是 $(0,1)$．安全是 $(1,0)$，并且辐射的强度以速度释放

$i = \ frac {1} {r ^ 2}。$

举个例子，如果抢劫犯站在 $R.$离开了一段时间 $t =$，他接收到的辐射总量是

$(\text{Total radiation}) = \frac{T}{R^2}。$

所以现在为问题......以下哪种路径允许强盗抓住钥匙并用最少可能的辐射曝光打开安全？（假设他所采取的任何路径，他将以恒定的速度移动。）

让我们考虑以下三个选项:

一种。以…为圆心的圆弧 $(1,1)$
B.直接路线从 $(0,1)$来 $(1,0)$
C。以…为圆心的圆弧 $(0,0)$．

显然，抢劫犯面临的问题是如何在最短的时间内暴露在辐射中，同时又离辐射源足够远。

直观地说,一种是出去了，因为它不仅比B.但这也让他更接近辐射。哎哟!

然而,B.和C并不明显。B.作为最直接的路线（一条直线），它给了他暴露于辐射的总时间最少的总时间，但让他稍微更接近辐射C．或者，C让他远离辐射，但让他暴露在辐射下的总时间更长一点。

那么，哪条路更好呢?

这就是对每条路径做线积分的用处。

让我们开始吧C．虽然可以在这里取线积分，但这不是很有趣因为虽然他在做弧线运动，但他在原点到辐射源的距离是相同的，所以总辐射暴露量 $E.$将

$E_C = frac{T}{R^2} = frac{T}{1^2} =$

在哪里 $T.$是他到达那里所花的总时间。因为WLOG它的速度可以取为1，这就是弧的长度，或者 $\ frac {\ pi} {2}：$

$E_C = \压裂{\π}{2}。$

现在对于路径B…

为此，一个线积分将是必要的，因为强盗与辐射的距离不同，因此在他的路径上的不同点得到的辐射量也不同。

显然，在这一点上 $大(\ \压裂{1}{2},\压裂{1}{2}\大)$辐射将达到最大值，在 $(0,1)$和 $(1,0)$辐射曝光将处于别行的（对于该特定路径）。因此，定性地，沿着路径的辐射将如下所示：

沿着路径的总辐射暴露量B.那 $E_B$，由曲线下的区域（蓝色区域）表示，是一条线积分将能够评估：

$e_b = \ \ int_ {b} ^ {} i \，ds = \ int_ {a} ^ {b} i \，ds，$

在哪里

• $A = \text{键的位置}$
• $B = \text{safe的位置}$
• $i = \ text {辐射强度} = \ frac {1} {r ^ 2}$
• $ds = \ text {小段的宽度}$．

对于线积分，第一步是建立参数方程， $x（t）$和 $y (t)$．

$x（t）$从 $0.$来 $1$, $y (t)$从 $1$来 $0.$，以率 $\压裂{1}{\ sqrt2}$因为 $45 ^ \ circ$路径的角度。

这给了

$x (t) = \压裂{t} {\ sqrt{2}} \四y (t) = 1 - \压裂{t} {\ sqrt{2}}。$

所以，

$\压裂{dx} {dt} = \压裂{1},{\ sqrt{2}} \四\压裂{dy} {dt} = - \压裂{1}{\ sqrt{2}}。$

最后,一个线积分可用于找到沿路径的辐射曝光B.那 $E_B:$

$\{对齐}E_B开始& = \ int_ {B} ^ {} \, dS \ \ & = \ int_ {t = 0} ^ {t = \ sqrt{2}}我\大(x (t), y (t) \大)\√6{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2}\,dt \ \ & = \ int_ {t = 0} ^ {t = \ sqrt{2}} \离开(\压裂{1}{r ^ 2} \) \√6{\离开(\压裂{1}{\ sqrt{2}} \右)^ 2 + \离开(- \压裂{1}{\ sqrt{2}} \右)^ 2}\,dt \ \ & = \ int_ {t = 0} ^ {t = \ sqrt{2}} \离开(\压裂{1}{x ^ 2 + y ^ 2} \) \√6{\压裂{1}{2}+ \压裂{1}{2}}\,dt \ \ & = \ int_ {t = 0} ^ {t = \ sqrt{2}} \压裂{1}{\离开(\压裂{t} {\ sqrt{2}} \右)^ 2 + \离开(1 - \压裂{t} {\ sqrt{2}} \右)^ 2}\,dt \ \ & = \ int_0 ^ {\ sqrt{2}} \压裂{1}{\压裂{t ^ 2}{2} + \离开(1——2 \压裂{t} {\ sqrt{2}} + \压裂{t ^ 2}{2} \右)}\,dt \ \ & = \ int_0 ^ {\ sqrt{2}} \压裂{dt} {t ^ 2 - \ t + 1倍根号{2}}。\结束{对齐}$

如果 $u = t - \压裂{1}{\ sqrt2},$然后 $U ^2 = t^2 - sqrt2t + frac{1}{2}，$这意味着

$\{对齐}E_B开始& = \ int_{- \压裂{1}{\ sqrt2}} ^ \压裂{1}{\ sqrt{2}} \压裂{du}{你^ 2 + \压裂{1}{2}}\ \ & = \ sqrt2 \反正切\大(大\ sqrt2u \) \ | _{- \压裂{1}{\ sqrt{2}}} ^{\压裂{1}{\√6 {2 }}}\\ &= \ sqrt2 \大(\反正切(1)- \反正切(1)\大)\ \ & = \压裂{\ sqrt2 \π}{2}。\结束{对齐}$

因此, $e_b> e_c.$．他的最佳选择是 $盒装{\ text {path c}}$．

• 定积分
• 参数方程
• 格林公式
• 斯托克斯的定理
• 轮廓整合
• 保守力