序列的极限
的<圣rong>数列的极限圣rong>就是当项的个数趋于无穷时序列趋近的值。并不是每个序列都有这种行为:有这种行为的称为收敛的,而没有这种行为的称为发散的。
极限捕捉序列的长期行为,因此在限定它们时非常有用。它们在实际分析中也经常出现。
序列的收敛性
在这里,我们将讨论理解序列收敛的概念所需要知道的方面。我们将逐步向您介绍所有的概念。首先,序列到底是什么?
一个<圣rong>序列圣rong>是一个函数 由于我们现在已经熟悉了序列,让我们试着理解一个序列的极限代表什么。简单地说,极限是一种精确的数学方法,用来讨论接近一个值,而不需要直接求值。
一个实数
是
例如,如果 当一个数列的极限为
我们说这是一个序列
n是收敛的如果存在 0∈R这样,对于每一个 >0,存在一个正整数 这样 n∈(x0−ϵ,x0+ϵ)或 xn−x0∣<ϵ对所有 ≥N.
可以很容易地验证,如果这样一个数字 备注:圣rong>从定义直接验证了上述例子中给出的每个序列的收敛性。通常,直接从定义验证收敛性是一项困难的任务。我们将看到一些求数列极限的方法和数列收敛的充分条件。
现在我们已经从理论上了解了收敛的概念,现在是时候给出一些例子,为序列收敛打下坚实的基础了。我们开始吧:
以下序列是否收敛:
序列似乎趋于0。更大的
,项越接近0越小。因此,序列收敛。
证明:圣rong>
对于任意的
下面的序列是由函数生成的吗
(n)=1+10n1聚合:
在这个序列中,我们看到值随着
增加,并最终接近单个值。的值就越大,这项越接近1。因此,给定序列的元素趋近于1时 趋向于无穷。所以这个序列收敛于1。
下面的序列是由函数生成的吗
(n)=n(−1)n聚合:
序列似乎趋于0。更大的
越接近0。因此,序列收敛。虽然序列的元素(−1)n振荡时,它们“最终接近”单点0。这些序列的共同特征是,每个序列的项只在一个点上“累积”。
现在,我们来定义一个序列的散度:
我们说一个函数<圣rong>发散圣rong>如果极限不存在。
以下序列是否收敛:
很明显,序列在1和-1之间来回反弹,它不会收敛到一个值。我们说序列是发散的。序列的元素
−1)n在两个不同的点- 1和1之间振荡,这意味着序列的元素“频繁”接近- 1和1 增加。
我们说一个函数<圣rong>发散到正无穷圣rong>如果它趋向于正无穷或负无穷。
例如, 以下序列是否收敛:
整数序列在上面是无界的。这样的序列将发散到(正)无穷大。序列的值变得越来越大,不会在任何地方积累。
以下序列是否收敛:
注1圣rong>:在上面的例子中,我们看到,如果连续项之间的差小于等于一个常数 注2圣rong>:如果一个正数列不递减,则极限存在,这是正确的。然而,我们可能无法轻易地确定极限。
图形化的例子
序列的图形解释是确定收敛性的一个简单工具:
- 有时候很容易看出来;
有时我们可能会得出错误的结论。
找到的极限
我们来求一下这个数列的前几项。
- 为
=1, 由于序列的项在-1和1之间振荡,我们可以得出结论,序列发散或不收敛到一个单一的值。
求数列的极限
如果我们写出最初的几项,我们会得到
,0.707...,0.577..., <101=0.1. 如果 >100,所以>10000,然后 1<1001=0.01. 如果 >1000,所以>1000000,然后 1<10001=0.001. 因此,该序列的极限为0。
利用极限的性质
你们应该熟悉极限的下列性质。如果限制
数列的极限是什么
首先,让我们列出这些项。
- 为
=1, +11=21=0.5. 为 ,=2 +12=3.2=0.666.... 为 ,=3. +13.=43.=0.75. 为 ,=4 +14=54=0.8. 为 ,=5 +15=65=0.866.... 我们看到这些项是增加的,并且趋于1。
注意,序列的另一种写法是as
−n+11.我们知道常数1的极限是1,而的极限 +11是0,所以我们可以应用第一个规则得出结论
找到
→∞limn21.
我们知道
→∞limn1=0.因此,通过应用第三条规则,我们有
找到
→∞lim3.n2+1n2+5n.
通过将分子和分母的最高次项因式分解,我们得到
→∞lim3.n2+1n2+5n=n→∞lim3.+n211+n5.现在,通过应用前面例子的结果 →∞limn1=0而且 →∞limn21=0,我们有 →∞lim(1+n5)n→∞lim(3.+n21)=n→∞lim(1)+5n→∞limn1=1而且=n→∞lim(3.)+n→∞limn21=3..因此, →∞lim3.n2+1n2+5n=n→∞lim(3.+n21)n→∞lim(1+n5)=3.1.□
找到
→∞lim(日志ydF4y2Bag10(10n2−2n)−日志ydF4y2Bag10(n2+1)).
利用对数的性质
一个x−日志ydF4y2Bag一个y=log一个yx,我们可以重写给定的方程,得到极限值如下:
找到
→∞limn3.+212+22+3.2+⋯+n2.
观察到
2+22+3.2+⋯+n2=k=1∑nk2=6n(n+1)(2n+1),则可计算出所给方程的值: →∞limn3.+212+22+3.2+⋯+n2=n→∞limn3.+21⋅6n(n+1)(2n+1)=n→∞lim6n3.+122n3.+3.n2+n=n→∞lim6+n3.122+n3.+n21=62=3.1.□
对于正整数
,让 n的小数部分 2+5n+4.然后找到 →∞lim一个n.
对于正整数,它一定是对的
2+4n+4<n2+5n+4<n2+6n+9,这意味着 n+2)2<n2+5n+4<(n+3.)2.因此,我们有 +2<n2+5n+4<n+3..因此,整数部分 2+5n+4是 n+2)它的小数部分是 n=n2+5n+4−(n+2).因此,我们有 →∞lim一个n=n→∞lim(n2+5n+4−(n+2))=n→∞limn2+5n+4+(n+2)(n2+5n+4−(n+2))(n2+5n+4+(n+2))=n→∞limn2+5n+4+(n+2)n=n→∞lim1+n5+n24+1+n21=1+0+0+1+01=21.□
ε-δ定义
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/epsilon-delta-definition-of-a-limit/" class="wiki_link" title="极限的ε - delta定义gydF4y2Ba" target="_blank">极限的ε - delta定义一个>
表示确切地说,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/epsilon-delta-definition-of-a-limit/" class="wiki_link" title="极限的定义是gydF4y2Ba" target="_blank">极限的定义是一个>
它趋向于0。然而,倒数的和发散到无穷。