因分解而限制

寻找A.限制通过分解是一种通过消去公因式找到极限的技术。这有时允许我们将不定式转换成允许直接求值的形式。

找

$\ lim_ {x \ lightarrow 3} \ dfrac {x ^ 2-9} {x-3}。$

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使用替代规则给了

$\ lim_ {x \ lightarrow 3} \ dfrac {x ^ 2-9} {x-3} = \ frac {3 ^ 2-9} {3-3} = \ frac {0} {0}，$

这是一个不确定的数。以不确定的数字结尾的极限，如上面的例子，称为in不定式．在微积分中，有7个主要的不确定数字：

$\ begin {array} {c}＆\ frac {0} {0}，＆\ frac {\ infty} {\ infty}，＆\ infty- \ idty，＆\ infty \ cdot 0，＆0 ^ 0，＆\idty ^ 0，＆1 ^ \ idty。\结束{array}$

那么，如何求不定式的极限值呢?限制以。的形式结束 $\压裂{0}{0}$通常可以通过因式分解分子和分母。然后找出公约数，分子和分母都除以它。因此，上述例子的解决方案如下:

$\ lim_ {x \ rightarrow 3} \ dfrac {x ^ 2 - 9} {3} = \ lim_ {x \ rightarrow 3} \ dfrac {(- 3) (x + 3)} {3} = \ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 3} (x + 3)} = 3 + 3 = 6。$

观察到 $\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 3} (3)} = 0$，因此是公约数 $- 3$是分子分母都为零的罪魁祸首。 $_ \广场$

是什么 ${\ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 5}} \压裂{x ^ 2-x-20} {x5} ?$

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我们有

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 5} \压裂{x ^ 2-x-20} {x5} & = \ lim_ {x \ rightarrow 5} \压裂{(x5) (x + 4)} {x5} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow 5} (x + 4) \ \ \ \ & = 9。\ \ _ \广场结束{对齐}$

是什么 ${\ displaystyle \ lim_ {h \ lightarrow 0}} \ frac {（h + 4）^ 2-16} {h}？$

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我们有

${对齐}\ \开始lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{(h + 4) ^ - 18} {h} & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{h ^ 2 + 8 h +并且}{h} \ \ \ \ & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{h (h + 8)} {h} \ \ \ \ & = \ displaystyle {\ lim_ {h \ rightarrow0} (h + 8)} \ \ \ \ & = 8。\ \ _ \广场结束{对齐}$

当我们遇到有平方根的极限时，分子和分母都乘以共轭再因式分解通常就是解。

找 $x \ rightarrow \ \ displaystyle {\ lim_ {infty} \左\√{x ^ 2 + 4 x} - x \右)}。$

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插入 $x = \ infty$给出的不定式 $\ \ infty infty$．利用共轭 $\ sqrt {x ^ 2 + 4 x} + x$给了

$\开始{对齐}\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \左\√{x ^ 2 + 4 x} - x \右)}& = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{\左\√{x ^ 2 + 4 x} - x \) \左\√{x ^ 2 + 4 x} + x \右)}{\ sqrt {x ^ 2 + 4 x} + x} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{x ^ 2 + 4 x ^ 2} {\ sqrt {x ^ 2 + 4 x} + x} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{4 x} {\ sqrt {x ^ 2 + 4 x} + x} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow\infty}\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}\\\\ &=\frac{4}{2}\\\\ &=2. \ _\square \end{aligned}$

是什么 ${\ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0}} \压裂{\ 2倍根号{4 + 3 x}} {x} ?$

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这一次，使用代换规则 $\压裂{0}{0}$．同样，分子分母同时乘以共轭 $\ sqrt {4 + 3 x} + 2$并获得

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{\ 2倍根号{4 + 3 x}} {x} & = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{\左\√{4 + 3 x} 2 \右)\离开\√{4 + 3 x} + 2 \右)}{x左\ cdot \ \√{4 + 3 x} + 2 \对吧 )}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{(4 + 3 x) 4} {x左\ cdot \ \√{4 + 3 x} + 2 \ )}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{3 x} {x左\ cdot \ \√{4 + 3 x} + 2 \ )}\\\\ &=\ lim_ {x\ rightarrow 0} \压裂{3}{\ sqrt {4 + 3 x} + 2} \ \ \ \ & = \压裂{3}{4}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

是什么 $x \ rightarrow \ \ displaystyle {\ lim_ {infty} \离开x - \√x ^ {2-7x + 2} \右)}。$

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我们有 $\开始{对齐}\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \离开x - \√x ^ {2-7x + 2} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{\离开x - \√x ^ {2-7x + 2} \) \离开(x + \ sqrt {x ^ 2-7x + 2} \右)}{x + \ sqrt {x ^ 2-7x + 2 }}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{x ^ 2 - (x ^ 2-7x + 2)} {x + \ sqrt {x ^ 2-7x + 2 }}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{7 x - 2} {x + \ sqrt {x ^ 2-7x + 2 }}\\\\ &=\ lim_ {x\ rightarrow \ infty} \压裂{7 - \压裂{2}{x}}{1 + \√{1 - \压裂{7}{x} + \压裂{2}{x ^ 2 }}}\\\\ &=\ 压裂{7}{2}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

找 $\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 8} \压裂{\ sqrt [3] {x} 2} {x 8}}。$

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我们有 $\ begin {对齐} \ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow 8} \ frac {\ sqrt [3] {x} -2} {x-8}＆= \ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow 8}frac {\ sqrt [3] {x} -2} {\ left（\ sqrt [3] {x} -2 \右）\ left（\ sqrt [3] {x ^ 2} +2 \ sqrt [3]{x} +4 \右）}}}}}}}}}}}} \\\\＆= \ displaystyle {\ lim_ {x \ lighararow 8} \ frac {1} {\ sqrt [3] {x ^ 2} +2 \ sqrt [3]{x} +4}} \\\\＆= \ frac {1} {12}。\ _ \ square \ END {对齐}$

是什么 $x \ rightarrow \ displaystyle {\ lim_{0} \压裂{1}{x} \离开(1 - \压裂{4}{(x + 2) ^ 2} \右)}。$

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我们有 ${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{1}{x} \离开(1 - \压裂{4}{(x + 2) ^ 2} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{1}{x} \ cdot \压裂{(x + 2) ^ 2 - 4} {(x + 2) ^ 2} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{x ^ 2 + 4 x} {x (x + 2) ^ 2} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{x + 4} {(x + 2) ^ 2} \ \ \ \ & = 1。\ \ _ \广场结束{对齐}$

找 $h \ rightarrow \ displaystyle {\ lim_{0} \压裂{\压裂{1}{x + h} - \压裂{1}{x}} {h}}。$

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我们有 ${对齐}\ \开始lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{\压裂{1}{x + h} - \压裂{1}{x}} {h} & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{\水平间距{3毫米}\压裂{- h} {x (x + h)} \水平间距{3毫米}}{h} \ \ \ \ & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{1}{x (x + h )}\\\\ &=-\ 压裂{1}{x ^ 2}。\ \ _ \广场结束{对齐}$