洛必达法则
假设有连续函数
洛必达法则
洛必达法则
假设
而且 可微函数是这样的吗
然后
我们有
基本的例子
中间的例子
到目前为止,我们已经看了计算化简为不定式的极限
但是我们如何计算极限
现有的用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/lhopitals-rule/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_generic_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/lhopitals-rule/">登录
已经有账户了吗?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/lhopitals-rule/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">在这里登录。
假设有连续函数 在某些情况下,我们可以使用一个强大的定理叫做
洛必达法则
假设
f 而且 g 可微函数是这样的吗
- g
” ( x ) = 0 在开区间上 我 包含 一个 ; - x
→ lim一个 f ( x ) = 0 而且 x → lim一个 g ( x ) = 0 , 或x → lim一个 f ( x ) = ± ∞ 而且 x → lim一个 g ( x ) = ± ∞ ; - x
→ lim一个 g ” 的存在。( x f) ” ( x ) 然后
x
→ lim一个 g ( x =) f( x ) x → lim一个 g ” ( x ) f” .( x )
我们有
g
” =( 一个 ) f” ( 一个 ) lim x → x一个 − g一个 ( limx ) − g ( 一个 ) x → x一个 − f一个 ( =x ) − f ( 一个 ) x → lim一个 x − g一个 ( xx ) − g ( 一个 ) − f一个 ( =x ) − f ( 一个 ) x → lim一个 g ( x ) − g ( 一个 ) f( =x ) − f ( 一个 ) x → lim一个 g ( x ) =− 0 f( x ) − 0 x → lim一个 g ( .x ) f( x ) □
评估
x
→ lim0 x 罪 x .
直接应用
x = 将极限引入不定式。因为分子和分母上的项都是00 x = 由于0 罪 x 而且x 都是可微的吗 x = ,我们可以用L'Hôpital的规则:0 x
→ lim0 x 罪 x =1 因为 x ∣∣ ∣ x = =0 1 1 = 1 . □
评估
x
→ lim0 x x + −9 3. .
还是直接申请
x = 产生一个不定式。让分子的表达式为0 f ( x ) 分母上的表达式, g ( x .自) f ( 0 而且) g ( 0 都是零和) f ( x 而且) g ( x 都是可微的吗) x = ,我们可以用L'Hôpital的规则:0 x
→ lim0 x x + −9 3. =1 2 x ∣+ 19 ∣ ∣ ∣ ∣ x = =0 6 1 . □
计算
x → lim∞ x 3. ln1 ( .x )
自
ln ( x ) → 而且∞ x 3. 1 → ∞ 作为 x → ,我们可以用洛必达法则:∞ x
→ lim∞ x 3. ln1 ( =x ) x → lim∞ 3. 1 x − .3. x2 1 简化表达式,我们得到
x
→ lim∞ x 3. 3.1 = 0 . □
到目前为止,我们已经看了计算化简为不定式的极限
0 但是我们如何计算极限
f 评估 我们有
x 评估
x 直接应用
y
在应用L'Hôpital的规则得到不定式的情况下,如果得到的极限表达式满足使用L'Hôpital的规则所需的条件,则可以再次使用。这很难理解。让我们看看下面的例子,看看这意味着什么。 评估
x 让
x 的不定式
x 评估
x 因为极限的形式是
x 注意: 评估极限
x 注意,极限的形式确实是
评估极限
x
→ lim0 x 4 1− .因为 x 2
因为极限的形式是
0 0 当 x = , L'Hôpital的规则是适用的。自0 d x d( 1 − 因为 x 2 ) = 2 x 罪 x 2 我们有, x
→ lim0 x 4 1− =因为 x 2 = = = = x → lim0 4 x x3. 2x 罪 x 2 → lim0 4 2 ⋅ x 2 罪x x2 2 lim→ 0 2 1 ⋅ x 2 罪x 22 1 y → lim0 ⋅ y 罪 y 21 ⋅ 1 = 2 1 . □
考虑到
一个 , 而且B C 有限常数是这样的吗 x → lim0 x 5 罪x + =一个 x + B x 3. C 1 , 评估 一个 × B × .C
我们首先注意到极限是形式的
0 0 当 x = ,所以L'Hôpital的规则是适用的:0 x
→ lim0 x 5 罪x =+ 一个 x + B x 3. x → lim0 d x d( x 5 d) x d[ 罪 x =+ 一个 x + B x 3. ] x → lim0 5 x 4 dx d[ 因为 x + 一个 .+ 3. B x 2 ] 如果
一个 = − 1 极限等于0 一个 , 哪一个不能等于一个有限常数 C . 因此一个 是勉强拿的价值吗 − 1 .继续应用该规则几次,以获得x
→ lim0 x 5 罪x =+ 一个 x + B x 3. x → lim0 5 x 4 因为x =+ 一个 + 3. B x 2 x → lim0 2 0 x 3. −罪 =x + 6 B x x → lim0 6 0 x 2 −因为 .x + 6 B 同样,如上所述,
6 B 是强制取的值吗1 , 所以B = 6 1 .然后是 x
→ lim0 x 5 罪x =+ 一个 x + B x 3. x → lim0 6 0 =x 2 −因为 x + 1 x → lim0 1 2 =0 x 罪x x → lim0 1 2 =0 因为x 1 2 .0 1因此,
C 1 = 1 2 10 或 C = 1 2 0 暗示, 一个
× B × C = − 1 × 6 1 × 1 2 0 = − 2 0 . □
现有的用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/lhopitals-rule/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/lhopitals-rule/">登录
问题加载… 注意加载… 设置加载…