洛必达法则
假设有连续函数
医院规则
洛必达法则
假设
和 可微函数是这样的吗
然后
我们有
基本例子
中间示例
到目前为止,我们已经学习了如何计算可简化为不定式的极限
但是,我们如何评估降低到
现有用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/lhopitals-rule/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_generic_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/lhopitals-rule/">登录
已经有账户了吗?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/lhopitals-rule/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">日志在这里。
假设有连续函数 在某些情况下,我们可以使用一个强大的定理
洛必达法则
假设
f 和 g 可微函数是这样的吗
- g
” ( x ) = 0 在开放区间 我 包含 一个 ; - x
→ lim一个 f ( x ) = 0 和 x → lim一个 g ( x ) = 0 , 或x → lim一个 f ( x ) = ± ∞ 和 x → lim一个 g ( x ) = ± ∞ ; - x
→ lim一个 g ” 的存在。( x f) ” ( x ) 然后
x
→ lim一个 g ( x =) f( x ) x → lim一个 g ” ( x ) f” 。( x )
我们有
g
” =( 一个 ) f” ( 一个 ) lim x → x一个 − g一个 ( limx ) − g ( 一个 ) x → x一个 − f一个 ( =x ) − f ( 一个 ) x → lim一个 x − g一个 ( xx ) − g ( 一个 ) − f一个 ( =x ) − f ( 一个 ) x → lim一个 g ( x ) − g ( 一个 ) f( =x ) − f ( 一个 ) x → lim一个 g ( x ) =− 0 f( x ) − 0 x → lim一个 g ( 。x ) f( x ) □
评估
x
→ lim0 x 罪 x 。
直接应用
x = 将极限导至不定式。因为分子的项和分母的项都是零0 x = 由于0 罪 x 和x 都是可微的 x = ,我们可以使用l'Hôpital的规则:0 x
→ lim0 x 罪 x =1 余弦 x ∣∣ ∣ x = =0 1 1 = 1 。 □
评估
x
→ lim0 x x + −9 3. 。
还是直接申请
x = 产生不定式。让分子的表达式是0 f ( x ) 以及分母中的表达式, g ( x 。自) f ( 0 和) g ( 0 都是零和零) f ( x 和) g ( x 都是可微的) x = ,我们可以使用l'Hôpital的规则:0 x
→ lim0 x x + −9 3. =1 2 x ∣+ 19 ∣ ∣ ∣ ∣ x = =0 6 1 。 □
算计
x → lim∞ x 3. 自然对数1 ( 。x )
自
自然对数 ( x ) → 和∞ x 3. 1 → ∞ 作为 x → ,我们可以使用L'Hopital的规则:∞ x
→ lim∞ x 3. 自然对数1 ( =x ) x → lim∞ 3. 1 x − 。3. x2 1 将表达式化简,得到
x
→ lim∞ x 3. 3.1 = 0 。 □
到目前为止,我们已经学习了如何计算可简化为不定式的极限
0 但是,我们如何评估降低到
f 评估 我们有
x 评估
x 直接应用
y
在应用L'Hôpital规则产生不确定形式的情况下,如果得到的极限表达式满足使用L'Hôpital规则所需的条件,则可以再次使用它。这可能会让人很困惑。让我们看看下面的示例以了解这意味着什么。 评估
x 让
x 得到的表达式产生一种不确定形式的
x 评估
x 因为限制的形式是
x 注意: 评估的极限
x 请注意,限制的形式确实是
评估的极限
x
→ lim0 x 4 1− 。余弦 x 2
因为限制的形式是
0 0 什么时候 x = ,L'Hôpital的规则适用。因为0 d x d( 1 − 余弦 x 2 ) = 2 x 罪 x 2 我们有, x
→ lim0 x 4 1− =余弦 x 2 = = = = x → lim0 4 x x3. 2x 罪 x 2 → lim0 4 2 ⋅ x 2 罪x x2 2 lim→ 0 2 1 ⋅ x 2 罪x 22 1 y → lim0 ⋅ y 罪 y 21 ⋅ 1 = 2 1 。 □
考虑到
一个 , 和B C 有限常数是这样的吗 x → lim0 x 5 罪x + =一个 x + B x 3. C 1 , 评价 一个 × B × 。C
我们首先注意到这种形式的极限
0 0 什么时候 x = ,所以L'Hôpital的规则适用:0 x
→ lim0 x 5 罪x =+ 一个 x + B x 3. x → lim0 d x d( x 5 d) x d( 罪 x =+ 一个 x + B x 3. ] x → lim0 5 x 4 dx d( 余弦 x + 一个 。+ 3. B x 2 ] 如果
一个 = − 1 ,限制等于0 一个 , 哪个不能等于一个有限常数 C 。 因此一个 是被迫采取的价值 − 1 . 继续应用该规则几次,以获得x
→ lim0 x 5 罪x =+ 一个 x + B x 3. x → lim0 5 x 4 余弦x =+ 一个 + 3. B x 2 x → lim0 2 0 x 3. −罪 =x + 6 B x x → lim0 6 0 x 2 −余弦 。x + 6 B 同样,如上所述,
6 B 是否被迫取值为1 , 所以B = 6 1 。然后我们有 x
→ lim0 x 5 罪x =+ 一个 x + B x 3. x → lim0 6 0 =x 2 −余弦 x + 1 x → lim0 1 2 =0 x 罪x x → lim0 1 2 =0 余弦x 1 2 。0 1因此,,
C 1 = 1 2 10 或 C = 1 2 0 暗示, 一个
× B × C = − 1 × 6 1 × 1 2 0 = − 2 0 。 □
现有用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/lhopitals-rule/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/lhopitals-rule/">登录
加载时出现问题。。。 注意加载… 设置加载…