欧拉

欧拉。［1］欧拉(1707-1783)是一位瑞士数学家和物理学家，他在数学的无数领域做出了基础性的贡献。他研究并启发了一些基本概念微积分，复数，数论，图论,几何，其中许多都以他的名字命名。(关于欧拉，一个常见的笑话是，为了避免有太多的数学概念以他的名字命名，惯例是用第一个人的名字在欧拉发现了它们。)

欧拉对现代数学语言也做出了巨大的贡献。他是第一个定义函数写成 $f (x)$；他是第一个使用的求和使用希腊字母的符号 $\σ$；他引入了标准符号三角函数；和许多更多。

下面是欧拉工作的一些亮点。它必然是不完整的，因为欧拉的数学生涯漫长而多产。

欧拉并不是第一个这样做的人 $e$作为一个有趣的数学常数(取决于人们如何理解“发现”的含义，这个常数是由纳皮尔在17世纪早期或伯努利在17世纪晚期发现的)，但他确实对它的研究做出了一些重要贡献。在他最著名的一本书中，无限分析导论(1748)，他证明了无限的总和 $\ frac1 {0 !｝+\frac1{1!} + \frac1{2!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac1{k!}$以及它的价值限制 $\ lim_ {n \ \ infty} \离开(1 + \ frac1 {n} \右)^ n$和数量 $一个$因为它的性质 ${x}， dx = 1$都是同一个号码，然后打了那个号码 $e$．他也给出了近似 $23$位小数。他也是第一个证明这一点的人 $e$是非理性的，通过证明它连分数是 $e =[2; 1、2、1、1、4、1、1、6、1、1、8、1 \ cdots] = 2 + \ frac1 {1 + \ frac1 {2 + \ frac1 {1 + \ frac1 {1 + \ frac1 {4 + \ frac1 {\ cdots}}}}}}。$由于有理数有有限连分式，本文证明了 $e$是非理性的。

了解更多的历史 $e$,请参阅e的发现．

在他的分析黎曼ζ函数(见下文)，欧拉分析了谐波数 $H_n = 1 + \ fr12 + \cdots + \ fr1 {n}。$在1731年的一篇论文中，他证明了这一点 $\lim_{n\to\ inty} (H_n - \ln(n))$存在且等于条件收敛的和系列 $\ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} (1) ^ n \压裂{\泽塔(n)} {n}。$这个常数现在被称为 $\γ$，因为它与γ函数，通常被称为欧拉-马歇罗尼常数．它出现在函数和积分中对数和指数,如。 $\ int_0 ^ {\ infty} \压裂{\ ln (x)} {e x ^} \, dx = - \γ。$

欧拉经常用现代标准看来并不严格的方法来处理无穷级数，但他的直觉通常会引导他修正结果。现代数学家们事后往往会证明这些操作是正确的。

作为先锋用户泰勒级数欧拉注意到代入 $z =我\θ$该系列 $e ^ z = 1 + z + \压裂{z ^ 2} {2 !｝+\cdots= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}$给了 $\{对齐}开始e ^{我\θ}& = \离开(1 - \压裂{\θ^ 2}{2 !}+ \压裂{\θ^ 4}{4 !}- \ cdots \右)+ i \离开(\压裂{\θ}{1 !}- \压裂{\θ^ 3}{3 !}+ \压裂{\θ^ 5}{5 !}- \ cdots \) \ \ & =罪\ cosθ+ i \ \ \θ。结束\{对齐}$这个结果是现代的基础复杂的分析，有许多应用三角函数也的特殊情况 $\θ= \π$给了 $E ^{i\pi} +1 = 0，$这是数学中最美丽的公式。

更多信息,见欧拉公式．

欧拉发明了欧拉公式产品为黎曼ζ函数， $\泽塔(s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac1 {n ^ s} = \ prod_{文本\ p{'}} \离开(1 - \ frac1 {p s ^} \右)^{1}。$他用这个证明了素数的倒数和是发散的，并且用一个类似的(更简单的)论证来证明是发散的无穷多个素数．

欧拉定义了totient函数 $\φ(n)$在1736年，他证明了一些事实，包括乘积公式 $\压裂{\φ(n)} {n} = \ prod_ {\ stackrel {p | n}{文本\ p{'}}} \离开(1 - \ frac1 p{} \右)$和欧拉定理 $A ^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$所有整数 $一个$coprime来 $n$．这个函数在数论和密码学中是非常重要的RSA密码系统)．

欧拉研究了确定一个数是否为a的问题二次剩余模的主要 $p$，并在1748年证明了以下简单的标准: $如果a^{a}{p} = 1，则a^{a}{p} = 1，如果a^{a}{p} = 1，则a^{a}{p} = 1;$在这里 $左(\ \压裂{一}{p} \右)$是勒让德的象征．

这个结果用于证明的定理二次互反性．

欧拉证明了无穷乘积 $\ prod_ {k = 1} ^ {\ infty} (1 - x ^ k)$= $\ sum_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} (1) m x ^ ^ {m (3 m - 1) / 2}$然后用这个推导了一个递归公式配分函数 $p (n)$： $p (n) = p (n - 1) + p (n - 2) - p(存在)- p (n-7) + p (n-12) \ cdots,$出现的数字恰好是五边形的数字．这就是欧拉五边形定理。

欧拉的贡献之一是图论是an的概念吗欧拉路径．这是一条经过图上每条边恰好一次的路径。如果它开始和结束在同一个顶点，它被称为an欧拉回路．

欧拉在1736年证明了如果欧拉电路存在，每个顶点都有偶数学位，并在没有证明的情况下提出了一个相反的命题，即所有偶数顶点的连通图都包含一个欧拉电路。(这一点后来得到了证实 $19 ^ \文本{th}$世纪。)

他探索的动机是著名的哥尼斯堡七座桥问题。

欧拉证明了这一点多面体， $v e + F = 2,$在哪里 $V, E, F$分别为顶点、边和面的数量。通过使用类似的定义，他证明了连通平面图也是如此(平面意味着边可以在一张纸上绘制而不互相交叉)。在现代语言中，我们说等式的右边是欧拉示性数的对象。这一概念的概括(包括，最显著的属)是美国最早期的基础性问题之一拓扑结构．

欧拉在1765年证明了垂心，外心,重心三角形的三个角共线(它们都在一条直线上)。这条线，叫做欧拉线，有许多其他漂亮的属性，详细内容在wiki:欧拉线．

欧拉证明了一个描述所有偶数的定理。他证明了他们的形式 $\压裂{问(q + 1)} 2$,在那里 $问$是一个梅森素数．所有这些数字都是完美的这一事实早在欧几里得的时候就已经为人所知元素，但欧拉的结果是新的。证据很简单，在维基上完美的数字．

[1]从形象https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Leonhard_Euler.jpg在知识共享许可下重用和修改。