直角三角形的长度

有某些类型的直角三角形，知道它们的边长比是有用的。这些也存在于三角函数的具体值．

在等腰直角三角形中，这些角是 $45 ^ \保监会$， $45 ^ \保监会$, $90 ^ \保监会$．对于这样的三角形，三角形的两条短边的长度相等，斜边的长度相等 $\ sqrt {2}$乘以短边的长度:

的定义也可以看出这种关系 $罪\ \θ$而且 $\ \因为θ$的具体值 $45 \θ= ^ \保监会$：

$\开始{对齐}\罪罪(45 ^ \保监会)& = \ \离开(\压裂{\π}{4}\右)= \压裂{1}{\ sqrt{2}} = \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}\ \ \ \ \ cos(45 ^ \保监会)& = \因为\离开(\压裂{\π}{4}\右)= \压裂{1}{\ sqrt{2}} = \压裂{\文本{相邻}}{斜边}}{\文本。结束\{对齐}$

在这个直角三角形中，角是 $30 ^ \保监会,60 ^ \保监会$, $90 ^ \保监会$．

如果对边 $30 ^ \保监会$角长度 $一个$，那么对边 $60 ^ \保监会$角长度 $一个\ sqrt {3}$斜边有长度 $2$．的定义也可以看出这一点 $罪\ \θ$而且 $\ \因为θ$的具体值 $\θ= 60 ^ \保监会$：

$\开始{对齐}\罪罪(60 ^ \保监会)& = \ \离开(\压裂{\π}{3}\右)= \压裂{\ sqrt{3}}{2} = \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}\ \ \ \ \ cos(60 ^ \保监会)& = \因为\离开(\压裂{\π}{3}\右)= \压裂{1}{2}= \压裂{\文本{相邻}}{斜边}}{\文本。结束\{对齐}$

考虑下面的直角三角形:

假设已知三角形的两条边长，例如斜边 $c$对边 $b$．然后我们求出的值 $\ sinθ(\)= \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}= \压裂{b} {c}。$由此，我们可以确定 $\ cosθ(\)?$因为三角形是直角三角形，我们可以用勾股定理求边长 $一个,$从中我们可以发现 $\ cosθ(\)= \压裂{\文本{相邻}}{\文本{斜边}}= \压裂{一}{c}$．我们通过一个示例来说明这一点。

给定下面的直角三角形

三角形的两个边长 $一个= 3$而且 $b = 4$,找 $\ sinθ(\)$， $\ cosθ(\)$, $\ tan(\θ)$．

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自 $\ tan(\θ)= \压裂{\文本{相反}}{\文本{相邻}}= \压裂{b} {},$我们有 $\ tan(\θ)= \压裂{4}{3}。$同时，勾股定理暗示了斜边 $c$直角三角形满足 $C ^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,或 $c = 5$．因此,

${对齐}\ \开始罪(\θ)& = \压裂{b} {c} = \压裂{4}{5}\ \ \ cosθ(\)& = \压裂{一}{c} = \压裂{3}{5}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

我们将在总结中进一步研究三角函数在直角三角形上的关系毕达哥拉斯的身份．

现在，假设我们已知直角三角形的一个锐角和三角形的一条边。我们能用三角函数求出三角形其他边的值吗?

考虑下面的直角三角形:

如果这个角 $\θ$= $\压裂{\π}{3}$和边长度 $一个$是 $5$，求边长 $b$．

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我们有

$\开始{对齐}\谭谭(\θ)= \ \离开(\压裂{\π}{3}\右)& = \压裂{b}{} \ \ & = \压裂{b} {5} \ \ \ sqrt{3} & = \压裂{b}{5} \ \ 5 \√{3}& = b。\ \ _ \广场结束{对齐}$