Lebesgue集成据/h1>
Lebesgue集成据/strong>是定义积分的替代方法据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/measure-theory/" class="wiki_link" title="测度理论“target="_blank">测度理论据/a>它被用来集成比据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-integral/" class="wiki_link" title="黎曼积分“target="_blank">黎曼积分据/a>甚至是据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-stieltjes-integral/" class="wiki_link" title="riemann-stieltjes积分“target="_blank">riemann-stieltjes积分据/a>.Lebesgue积分背后的想法是通过将其除以垂直条带来近似总区,而是通过将其划分为水平条来近似于总面积。这对应于询问“每个人据span class="katex">
- value,多少据span class="katex">
-值产生这个值?”,而不是询问“每个值”据span class="katex">
- value,什么据span class="katex">
- 它会产生价值吗?“据/p>
因为勒贝格积分的定义方式与结构无关据span class="katex">
,它能够集成许多功能,不能集成其他方式。此外,Lebesgue积分可以在一个完全抽象的集合中定义积分,从而产生据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/probability-theory/" class="wiki_link" title="概率论“target="_blank">概率论据/a>.据/p>
直觉据/h2>
勒贝格积分是通过计算一个基于据span class="katex"> - 而不是据span class="katex"> - 值。据/p>
让据/p>
价值是什么据span class="katex">
在这种情况下,考虑面积的两种方法之间的区别是没有意义的,但正如下面的示例所示,情况并非总是如此。据/p>
让据/p>
价值是什么据span class="katex">
从本质上讲,Lebesgue积分正在寻找函数的频率达到某个值而不是特定点的函数的值。根据Reinhard Siegmund-Schultze据sup>据一种href="#citation-1" class="citation-link">[1]据/a>,Lebesgue自己在一封信中向Paul Montel,写作中解释了这个想法据/p>
“据em>我必须付一笔钱,这笔钱是我在口袋里收集的。我从口袋里拿出钞票和硬币,按照找到它们的顺序把它们交给债权人,直到我把它们的总数加起来。这是黎曼积分。但我可以换一种方式。在我把所有的钱从我的口袋里拿出来后,我按相同的价值订购钞票和硬币,然后我把几堆钱一堆一堆地付给债权人。这是积分。据/em>“据/p>
Lebesgue措施据/h2>
要正式地定义LEBESGUE积分,必须正式地确定“集合大小”的概念。这可以用Lebesgue测量的概念来完成。据/p>
间隔的lebesgue衡量据span class="katex">
既然有的话据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="打开套装“target="_blank">打开套装据/a>在据span class="katex"> 是可脱节间隔的可数联盟,此定义可以扩展到任何开放集。据/p>
开集的勒贝格测度据span class="katex">
最后,对于任意集据span class="katex"> ,Lebesgue测量由近似定义据span class="katex"> 开放套装。据/p>
一套的lebesgue衡量据span class="katex"> 是据span class="katex-display">
单点的lebesgue测量据span class="katex">
Lebesgue整合据span class="katex">
通过手中的lebesgue措施,可以定义Lebesgue积分。第一类功能可以定义Lebesgue积分的函数是正的简单功能。据/p>
简单函数是指只具有有限多个不同值的函数。据/p>
这个函数据/p>
很简单,因为它只采用0和1,但函数据span class="katex">
任何积极的简单功能据span class="katex"> 可以写成线性组合据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/characteristic-function/" class="wiki_link" title="特征函数“target="_blank">特征函数据/a>套装,说据span class="katex-display">
Lebesgue积分的属性据/h2>
Lebesgue积分满足几个很好的特性:据/p>
- 线性:据span class="katex-display">
- 单调融合定理据/a>:如果据span class="katex">
- 主导收敛定理据/a>:如果据span class="katex">
参考文献据/h2>
- Gowers,T.,Leader,I.和Barrow-Green,J.据em>普林斯顿伴侣数学据/em>.据/li>