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勒贝格积分 因为勒贝格积分的定义方式与结构无关
勒贝格积分的工作原理是根据 让
f 价值是什么
这个图由两条线段组成,所以它下面的面积可以看作是两个矩形,所以积分是有值的 勒贝格积分用另一种方式思考这个问题:函数 在这种情况下,思考该领域的两种方式之间的区别是没有意义的,但正如下面的例子所示,情况并非总是如此。 让
f 价值是什么 如果我们尝试在这里使用黎曼积分,因为每个区间都包含无限多个有理数和无理数,这个函数的图不能用矩形来近似,所以面积不能用黎曼积分来计算。但是从勒贝格积分的角度来看,因为 有理数是可数的,无理数是不可数的,所以有理数的度量 从本质上讲,勒贝格积分关注的是一个函数达到某个值的频率,而不是一个函数在某一点上的值。莱茵哈德·西格蒙德-舒尔茨说<吃晚饭><一个href="#citation-1" class="citation-link">[1] "
为了正式地定义勒贝格积分,“集合的大小”的概念必须被形式化。这可以通过勒贝格度量的概念来实现。 区间的勒贝格度量 因为任何<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="开集"target="_blank">开集 开集的勒贝格测度 最后,对于任意集合 勒贝格度量集合的勒贝格度量 勒贝格度量单点的勒贝格度量
有了勒贝格度量,就可以定义勒贝格积分。勒贝格积分可以定义的第一类函数是正的简单函数。 简单函数是只包含有限个不同值的函数。 这个函数
f 很简单,因为它只取值0和1,但是函数呢 任意正的简单函数 对于正的简单函数 也就是说,每个集合的大小乘以值 这个思想可以推广到一个负的简单函数 最后,求任意函数的勒贝格积分 对于一个函数 概括一下,勒贝格积分是用直观的方式定义简单函数,然后用简单函数逼近一般函数,将其推广到一般函数。 如何定义集合上的勒贝格积分 勒贝格积分也可以在一般情况下定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/measure-space/?wiki_title=measure space" class="wiki_link new" title="测度空间"target="_blank" rel="nofollow">测度空间
对于简单函数
勒贝格积分满足几个很好的性质:
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