迭代期望定律

的迭代期望定律表示a的期望值随机变量等于随机变量期望值的和条件第二个随机变量。直观地说，该定律指出，一个事件的预期结果可以计算使用生活环境调查预测:它所依赖的事件的可能结果;例如，如果明天下雨的概率取决于今天下雨的概率，并且以下所有条件都是已知的:

• 今天下雨的概率
• 明天下雨的概率鉴于今天下雨了
• 明天下雨的概率鉴于确实如此不今天下雨

明天下雨的概率可以依次考虑这两种情况(今天下雨/今天没下雨)来计算。为了使用具体的数字，假设

• 今天下雨的概率是70%
• 如果今天下雨，明天也会下雨，概率是30%
• 如果今天不下雨，明天有90%的概率会下雨

在这种情况下，明天下雨的概率是

$0.7 \cdot 0.3 + 0.3 \cdot 0.9 = 0.21 + 0.27 = 0.48 = 48$

迭代期望定律是有用的概率分布两者都是随机变量 $X$和一个条件随机变量 $Y | X$的概率分布是已知的，而 $Y$是理想的。这种情况在实践中非常常见，尤其是在经济学而且扑克．

让 $X, Y$是随机变量。然后

$\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X|Y))$

在哪里 $X Y |$是条件概率的分布 $X$鉴于 $Y$．

如果 $Y$取结果 $A_1 A_2 \ldots A_n$在美国，法律可以写成更自然的形式

$\ mathbb {E} [X] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {E} [X] | A_i P (ai)$

这意味着的期望值 $X$能从概率分布中计算出 $X Y |$而且 $Y$，这在理论和实践上都很有用。

例如，假设一个明星篮球运动员在无人防守的情况下有80%的得分(2分)，但在有人防守的情况下只有40%的得分。面对球队当前的对手，玩家将有70%的时间被防守。然后，当玩家射击时，迭代期望定律表明:

$\mathbb{E}[\text{得分}]= \mathbb{E}[\text{得分|受保护}]P(\text{受保护})+\mathbb{E}[\text{得分|不受保护}]P(\text{不受保护})$ $\mathbb{E}[\text{得分}]= 2 \cdot .4 \cdot .7 + 2 \cdot .8 \cdot .3 = .56 + .48 = 1.04$

所以球员每次获得球权的平均得分为1.04分。

这条法则对对方球队有实际的应用:对于每一个防守方案，他们可以计算出对方球队将得到多少分(平均)，只要他们知道

• 每个球员被防守的频率是多少
• 每个球员在防守时的投篮效果如何，在无防守时的投篮效果如何

这样对手就可以选择最好的防守方案。

一个可以简化推理的重要定理是联合分布定律:

$P (A \帽)= P (A) \ cdot P (B |) = P (B) \ cdot P (A | B)$

这个定理在逻辑上说得通:事件的概率 $一个$而且 $B$两者发生的概率是一样的 $一个$发生,那么 $B$发生。概率是 $一个$Occurs很简单 $(一页)$的概率 $B$随后发生的是 $P (B |)$．同样地，顺序可以颠倒，从而得到第二个等式。

注意当 $A、B$是独立的，这个规律变得更熟悉了吗 $P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$．

这个定理很重要，因为它允许计算 $P (A |)$鉴于 $P(A \cap B)$而且 $P (B)$，这是有用的 $P (A |)$用在迭代期望定律中。

这个定律也可以重新排列成贝叶斯定理，其中指出:

$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

这允许与上面相同的计算。

• 条件概率分布
• 贝叶斯定理和条件概率